第10讲 平面向量-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

DE= 12 袁AE= 3姨2 袁S吟ACD= 12窑 3姨2 CD= 3姨2 袁解得 CD= 2袁所以 BD=2袁BE= 52 袁故 tan B= AEBE = 3姨5 . 渊2冤AD = 12 渊AB +AC 冤袁AD 2= 14 渊c2+b2+2bccos A冤袁AD=1袁 b2+c2=8袁则 1= 14 渊8+2bccos A冤袁所以 bccos A =-2 淤袁S吟ABC= 12 bcsin A= 3姨 袁即 bcsin A=2 3姨 于袁由淤于解得 tan A= - 3姨 袁所以 A= 2仔3 袁所以 bc=4袁又 b2+c2=8袁所以 b=c=2. 22. 渊1冤sin 2B= 3姨7 bcos B=2sin Bcos B袁因为 A 为钝角袁所以 B为锐角袁cos B屹0袁所以 sin B= 3姨14 b袁在吟ABC中袁由正 弦定理得 asin A = bsin B 袁因为 a=7袁所以 sin A= 3姨2 袁因为 A 为钝角袁所以 A= 2仔3 . 渊2冤若选条件淤袁因为 b=7袁a=7袁所以 B=A= 2仔3 袁与 A +B+C= 仔矛盾袁此时吟ABC不存在袁故条件淤不符合要求. 若选条件于袁因为 cos B= 1314 袁所以 sin B= 1-cos2B姨 = 3 3姨14 袁在吟ABC中袁由正弦定理得 asin A = bsin B 袁所以 b= asin A 窑sin B=3袁又 sin C=sin渊A+B冤=sin Acos B+cos A sin B= 5 3姨14 袁所以吟ABC的面积为 S= 12 absin C= 15 3姨4 . 若选条件盂袁因为 csin A = 52 3姨 袁所以 c=5袁由余弦定理 得 a2=b2+c2-2bccos A袁解得 b=3袁所以吟ABC 的面积为 S= 12 bcsin A= 15 3姨4 . 第 10讲 平面向量 一尧单项选择题 1援 C揖解析铱渊AB +CD 冤+BC =AB +BC +CD =AD 曰渊AM +MB 冤+ 渊BC +CD 冤=AB +BD =AD 曰渊AC +AB 冤+渊AD -CB 冤=2AC + AD 曰OC -OA +CD =AC +CD =AD . 2. D揖解析铱当 x=1袁y=-2时袁则 b=渊2袁-2冤袁a椅b不成立袁a窑b=2- 2=0袁则 a彝b袁D正确. 3. B揖解析铱因为 AB椅悦阅袁AB越圆悦阅袁所以吟阅韵悦易吟月韵粤袁且 粤韵越圆韵悦袁则粤韵 越圆韵悦 越 圆猿 粤悦 袁所以韵悦 越 1猿 粤悦 袁而粤悦 越粤阅 垣 阅悦 越粤阅 垣 12 粤月 越葬垣 12 遭袁所以韵悦 越 13 粤悦 越 1猿 葬垣 1远 遭. 4. B揖解析铱由题可知粤月 越渊圆袁员冤袁悦阅 越渊缘袁缘冤袁所以向量粤月在悦阅 方向上的投影向量为 粤月窑悦阅 悦阅 2 悦阅 = 10+525+25 渊缘袁缘冤= 32 袁 32蓸 蔀 . 5. B揖解析铱向量 a袁b满足 a =1袁 a+2b =2袁且渊b-2a冤彝b袁可 得 a2+4a窑b+4b2=4袁b2-2a窑b=0袁可得 6b2=3袁所以 b = 2姨2 . 6. D揖解析铱因为向量 a = b =1袁 c = 2姨 袁且 a+b+c=0袁所 以-c=a+b袁所以 c2=a2+b2+2ab袁即 2=1+1+2伊1伊1伊cos掖a袁b业袁 解得 cos掖a袁b业=0袁所以 a彝b袁又 a-c=2a+b袁b-c=a+2b袁所以 渊a-c冤窑渊b-c冤=渊2a+b冤窑渊a+2b冤=2a2+2b2+5a窑b=4袁 a-c = b-c = 4a2+4a窑b+b2姨 = 5姨 袁所以 cos掖a-c袁b-c业= 渊a-c冤窑渊b-c冤 a-c b-c = 45 . 7. B揖解析铱正方形 ABCD 的边长是 2袁E 是 AB 的中点袁所以 EB窑EA =-1袁EB彝AD 袁EA 彝BC 袁BC窑AD =2伊2=4袁则EC窑 ED =渊EB +BC 冤窑渊EA +AD 冤=EB窑EA +EB窑AD +EA窑BC + BC窑AD =-1+0+0+4=3. 8. A揖解析铱如图袁根据题意可得蚁APO= 45毅袁设蚁OPC=琢袁则-仔4 臆琢臆仔4 袁所 以PA窑PD = PA 窑 PD 窑cos 琢+仔4蓸 蔀= 1伊 2姨 cos 琢cos 琢+仔4蓸 蔀 =cos2琢-sin 琢窑 cos 琢= 1+cos 2琢-sin 2琢2 = 12 + 2姨2 cos 2琢+ 仔4蓸 蔀 袁又- 仔4 臆 琢臆仔4 袁所以当 2琢+ 仔4 =0袁琢=- 仔8 袁cos 2琢+ 仔4蓸 蔀 =1 时袁PA窑 PD取得最大值 12 + 2姨2 . 9. D揖解析铱因为向量 a袁b袁c两两所成的角相等袁所以向量 a袁b袁 c两两所成的角为 0或 2仔3 . 当向量 a袁b袁c两两所成的角为 0时袁 a+b+c = a + b + c =3+4+5=12曰当向量 a袁b袁c两 两所成的角为 2仔3 时袁a窑b= a 伊 b 伊cos 2仔3 =-6袁a窑c= a 伊 c 伊cos 2仔3 =- 152 袁b窑c= b 伊 c 伊cos 2仔3 =-10袁故 a+b+c = 32+42+52-2伊6-2伊10-2伊 152姨 = 3姨 .10. B揖解析铱不妨设 A渊2x袁2y冤袁B渊-1袁 0冤袁C 渊1袁0冤袁D 渊0袁0冤袁E 渊x袁y冤袁淤 AB =渊-1-2x袁-2y冤袁CE =渊x-1袁y冤袁 若AB窑CE =0袁 则-渊1+2x冤渊x-1冤- 2y2=0袁即-渊1+2x冤渊x-1冤=2y2袁满 足条件的渊x袁y冤存在袁例如 0袁 2姨2蓸 蔀袁所以淤成立曰于F为 AB中点袁渊CB +CA 冤=2CF 袁 CF与 AD的交点即为重心 G袁因为 G 为 AD 的三等分点袁 E为 AD中点袁所以CE与CG 不共线袁即于不成立. 11. A揖解析铱画出图形如图袁AP窑AB = AP AB cos掖AP 袁AB 业袁它的几何 意义是 AB 的长度与AP在AB 向量 的投影的乘积袁显然袁P在 C处时袁取 得最大值袁 AC cos蚁CAB=3袁可得 AP窑AB最大值为 6袁在 F处取得最 小值袁 AF cos蚁BAF=-1袁AP窑AB最小值为-2袁所以AP窑 AB的取值范围是渊-2袁6冤. 12. C揖解析铱BM =2MA 袁CN =2NA 袁 所以 BMMA = CNNA =2袁所以 BC椅 MN袁且 BC=3MN袁又 MN2=OM2+ ON2-2OM窑ON窑cos 120毅=7袁所以 MN= 7姨 袁BC=3 7姨 袁所以 cos蚁OMN= OM2+MN2-ON22OM窑MN = 2 7姨 袁所以BC窑OM = BC 伊 OM cos渊仔-蚁OMN冤=-6. 二尧多项选择题 x1 C D-1 B G E A F 1 y C D B P琢O 2姨 A r=1 月粤 悦孕云 阅耘 C B N O M A 210 13. BCD揖解析铱若 b=0袁则 a袁c不一定平行袁A错误曰因为 1伊6屹 -3伊2袁即 a袁b不共线袁故 a袁b可作为平面向量的基底袁B正 确曰a在 b上的投影向量为 a窑bb 2窑b= 45窑渊4袁3冤= 165 袁 125蓸 蔀袁 C正确曰 m-n = m2+n2-2m窑n姨 = 7姨 袁D正确. 14. AC揖解析铱 OP1 = cos2琢+sin2琢姨 =1袁 OP2 = cos2茁+渊-sin 茁冤2姨 =1袁A正确曰 AP1 = 渊cos 琢-1冤2+sin2琢姨 = cos2琢+sin2琢-2cos 琢+1姨 = 2-2cos 琢姨 袁 AP2 = 渊cos 茁-1冤2+渊-sin 茁冤2姨 = cos2茁+sin2茁-2cos 茁+1姨 = 2-2cos 茁姨 袁B错误曰OA窑OP3 =1伊cos渊琢+茁冤+0伊sin渊琢+茁冤= cos渊琢+茁冤袁OP1窑OP2 =cos 琢cos 茁-sin 琢sin 茁=cos渊琢+茁冤袁C正确曰 OA窑OP1 =1伊cos 琢+0伊sin 琢=cos 琢袁OP2窑OP3 =cos 茁窑cos渊琢+ 茁冤-sin 茁sin渊琢+茁冤=cos咱茁+渊琢+茁冤暂=cos渊琢+2茁冤袁D错误. 15. ABD揖解析铱因为AE = 13 EB 袁所以AE = 14 AB . 又因为 D是 边 AC的三等分点且靠近点 C袁所以AD = 23 AC 袁所以DE = DA +AE =- 23 AC + 14 AB 袁A正确曰设CO =姿CE 袁则CO =姿CA + 姿4 AB =3姿CD + 姿4 渊AC +CB 冤= 9姿4 CD + 姿4 CB 袁因为 B袁O袁 D三点共线袁所以 9姿4 + 姿4 =1袁解得 姿= 25 袁故 S吟BOC= 25 S吟BCE= 25 伊 34 S吟ABC= 310 伊 3姨4 伊42= 6 3姨5 袁B正确曰因为OE = 34窑 OA + 14 OB 袁所以 2OE = 32 OA + 12窑 OB 袁 所以 32 OA + 12 OB +3OC = 2OE +3OC =0袁C 错误曰以线段 BC 的中点为坐标原点袁BC所在直线为x 轴袁 线段 BC的垂直平分线为 y轴袁 建立平面直角坐标系袁则点 A渊0袁2 3姨 冤袁B渊-2袁0冤袁C渊2袁0冤袁 设点 P渊x袁y冤袁则PA =渊-x袁2 3姨 -y冤袁PB =渊-2-x袁-y冤袁PC = 渊2-x袁-y冤袁则渊PA +PB 冤窑PC =2 x- 12蓸 蔀 2 +2 y- 3姨2蓸 蔀 2 - 6逸-6袁当且仅当 x= 12 袁y= 3姨2 时取等号袁所以最小值为 -6袁D正确. 三尧填空题 16. 15揖解析铱由 a椅b袁可得 2k-5伊6=0袁解得 k=15. 17援 2 3姨 揖解析铱 a垣2b 越 渊a垣2b冤2姨 越 a2+4a窑b+4b2姨 = 22+4伊2伊1伊cos 60毅+4伊12姨 =2 3姨 援 18援 23 AB + 13 AC 揖解析铱AD =AB +BD =AB + 13 BC =AB + 13窑 渊BA +AC 冤= 23 AB + 13 AC . 19. 43 - 518 揖解析铱BE =BA +AD +DE = BA +BC + 23 DC =BA +BC - 23 CD =BA + BC - 23 BA = 13 BA +BC 袁所以 姿= 13 袁滋= 1袁姿+滋= 43 袁如图所示袁设BF =mBE 渊0臆 m臆1冤袁则AF =AB +BF =-BA +mBE =-BA +m 13 BA +BC蓸 蔀= 13 m-1蓸 蔀BA +mBC 袁因为 G 为 AF中点袁所以DG =DA + AG =- BC + 12 AF =- BC + 12 窑 13 m-1蓸 蔀BA +mBC蓘 蓡 = 16 m- 12蓸 蔀BA + 12 m-1蓸 蔀 BC 袁因为正方形 ABCD 的边长 为 1袁所以BA 2=BC 2=1袁BA窑BC =0袁所以AF窑DG = 13 m-1蓸 蔀BA +mBC蓘 蓡窑 16 m- 12蓸 蔀BA + 12 m-1蓸 蔀BC蓘 蓡 = 59 m2- 43 m+ 12 袁对于函数 y= 59 m2- 43 m+ 12 袁对称轴为 m= 65 袁所以函数 y= 59 m2- 43 m+ 12 在咱0袁1暂上单调递减袁所以 当 m=1时袁函数 y取得最小值- 518 袁即AF窑DG 的最小值 为- 518 . 四尧解答题 20援 渊1冤渊2a原3b冤窑渊2a垣b冤越4 a 2原4a窑b原3 b 2越64原4a窑b原27越61袁 a窑b越原6袁cos 兹越 a窑ba b 越 -64伊3 越原 12 援 又 0臆兹臆仔袁所以 兹越 2仔3 援 渊2冤 a垣b 2越渊a垣b冤2越 a 2垣2a窑b垣 b 2越13袁所以 a垣b 越 13姨 援 渊3冤因为AB与BC的夹角 兹越 2仔3 袁蚁ABC越仔原 2仔3 越 仔3 援 所 以 S吟ABC越 12 AB BC 窑sin蚁ABC越3 3姨 援 21. 渊1冤因为 b彝c袁所以 b窑c=0袁即 b窑咱姿a+渊1-姿冤b暂=0袁所以 姿a窑 b+渊1-姿冤b2=0袁因为 a窑b= a 窑 b 窑cos 135毅=-1袁所以-姿+ 2渊1-姿冤=0袁解得 姿= 23 . 渊2冤 c 2= 姿a+渊1-姿冤b 2=姿2a2+2姿渊1-姿冤a窑b+渊1-姿冤2b2=5姿2- 6姿+2=5 姿- 35蓸 蔀 2 + 15 袁故当 姿= 35 时袁 c 最小为 5姨5 袁此 时 c= 35 a+ 25 b袁则 b窑c=b窑 35 a+ 25 b蓸 蔀= 35 a窑b+ 25 b2= 15 袁 又 c 窑 b = 10姨5 袁所以 cos掖c袁b业= c窑bc 窑 b = 10姨10 袁 所以向量 b与 c夹角的余弦值为 10姨10 . 22. 渊1冤当 兹=90毅时袁e2=渊0袁1冤袁所以AB窑e2=4伊0+5伊1=5袁 AB = 42+52姨 = 41姨 袁 e2 =1袁所以 cos掖AB 袁e2业= AB窑e2 AB 窑 e2 = 5 41姨41 . 渊2冤淤 a = e1 且掖a袁e1业=掖a袁e2业=掖e1袁e2业袁可得 兹=120毅袁a=-渊e1+e2冤=渊-1袁-1冤.于向量 a绕其起点逆时针旋转 90毅得 到向量 b袁设OB =b袁以OB 为对角线袁 OM袁ON为邻边作平行四边形 OMBN袁 如图所示袁因为蚁NOB=蚁MOB=30毅袁 OB =1袁所以 OM=ON= 3姨3 袁所以 B点的坐标为 3姨3 袁- 3姨3蓸 蔀袁即 b= 3姨3 袁- 3姨3蓸 蔀 . 第 11讲 复 数 一尧单项选择题 1. B揖解析铱由已知得 a2-3a+2=0袁a-1屹0袁解得 a=2. 2. A揖解析铱渊1+3i冤渊3-i冤=3-i+9i+3=6+8i袁则在复平面内袁渊1+3i冤窑 渊3-i冤对应的点的坐标为渊6袁8冤袁位于第一象限. 3. C揖解析铱由已知得 A渊6袁5冤袁B渊-2袁3冤袁C渊2袁4冤袁点 C对应的复 数是 2+4i. BA G F CED b e1 a B M NO e2 xCB P A y 211 第 10讲 平面向量 一尧单项选择题 1. 下列式子中不能化简为AD的是 渊 冤 A. 渊AB +CD 冤+BC B. 渊AM +MB 冤+渊BC +CD 冤 C. 渊AC +AB 冤+渊AD -CB 冤 D. OC -OA +CD 2. 已知平面向量 a=渊1袁1冤袁b=渊x+1袁y冤袁则 渊 冤 A. 野x=1袁y=-2冶是野a椅b冶的必要条件 B. 野x=1袁y=-2冶是野a椅b冶的充分条件 C. 野x=1袁y=-2冶是野a彝b冶的必要条件 D. 野x=1袁y=-2冶是野a彝b冶的充分条件 3. 如图袁在梯形 ABCD中袁AB椅CD袁且 AB=2CD袁对角线 AC袁BD相交于 点 O. 若AD =a袁AB =b袁则OC = 渊 冤 A. a3 - b6 B. a3 + b6 C. 2a3 + b3 D. 2a3 - b3 4. 已知点 A渊-1袁1冤袁B渊1袁2冤袁C渊-2袁-1冤袁D渊3袁4冤袁则向量AB在CD方向上的投影向量为 渊 冤 A. 12 袁 12蓸 蔀 B. 32 袁 32蓸 蔀 C. 52 袁 52蓸 蔀 D. - 12 袁- 12蓸 蔀 5. 已知向量 a袁b满足院 a =1袁 a+2b =2袁且渊b-2a冤彝b袁则 b = 渊 冤 A. 12 B. 2姨2 C. 3姨2 D. 1 6. 向量 a = b =1袁 c = 2姨 袁且 a+b+c=0袁则 cos掖a-c袁b-c业= 渊 冤 A. - 15 B. - 25 C. 25 D. 45 7. 正方形 ABCD的边长是 2袁E是 A B的中点袁则EC窑ED = 渊 冤 A. 5姨 B. 3 C. 2 5姨 D. 5 8. 已知已O的半径为 1袁直线 PA 与已O相切于点 A袁直线 PB与已O交于 B袁C两点袁D 为 BC的 中点袁若 PO = 2姨 袁则PA窑PD的最大值为 渊 冤 A. 1+ 2姨2 B. 1+2 2姨2 C. 1+ 2姨 D. 2+ 2姨 9. 已知平面向量 a袁b袁c满足 a =3袁 b =4袁 c =5袁且 a袁b袁c两两所成的角相等袁则 a+b+c = 渊 冤 A. 3姨 B. 12或 2姨 C. 2姨 D. 12或 3姨 10. 在吟ABC中袁D为 BC中点袁E为 AD中点袁则以下结论院淤存在吟A BC袁使得AB窑CE =0曰于存 在吟A BC袁使得CE 椅渊CB +CA 冤曰它们的成立情况是 渊 冤 A. 淤成立袁于成立 B. 淤成立袁于不成立 C. 淤不成立袁于成立 D. 淤不成立袁于不成立 11. 已知 P是边长为 2的正六边形 ABCDEF内的一点袁则AP窑AB的取值范围是 渊 冤 A. 渊-2袁6冤 B. 渊-6袁2冤 C. 渊-2袁4冤 D. 渊-4袁6冤 12. 在如图的平面图形中袁已知 OM=1袁ON=2袁蚁MON=120毅袁BM =2MA 袁 CN =2NA 袁则BC窑OM的值为 渊 冤 A. -15 B. -9 C. -6 D. 0 BA O CD CO A B M N 99 二尧多项选择题 13. 下列四个命题中为真命题的是 渊 冤 A. 已知平面向量 a袁b袁c袁若 a椅b袁b椅c袁则 a椅c B. 若 a=渊1袁-3冤袁b=渊2袁6冤袁则 a袁b可作为平面向量的基底 C. 若 a=渊5袁0冤袁b=渊4袁3冤袁则 a在 b上的投影向量为 165 袁 125蓸 蔀 D. 若 m =2袁 n =3袁m窑n=3袁则 m-n = 7姨 14. 已知 O为坐标原点袁点 P1渊cos 琢袁sin 琢冤袁P2渊cos 茁袁-sin 茁冤袁P3渊cos渊琢+茁冤袁sin渊琢+茁冤冤袁A渊1袁0冤袁则 渊 冤 A. OP1 = OP2 B. AP1 = AP2 C. OA窑OP3 =OP1窑OP2 D. OA窑OP1 =OP2窑OP3 15. 已知 P为吟ABC所在平面内一点袁且 AB=BC=4袁蚁ABC=60毅袁D 是边 AC的三等分点且靠近 点 C袁AE = 13 EB 袁BD与 CE交于点 O. 设三角形 BOC的面积为 S吟BOC袁则下列选项正确的是 渊 冤 A. DE =- 23 AC + 14 AB B. S吟BOC= 6 3姨5 C. 32 OA + 12 OB +3OC = 3姨2 D. 渊PA +PB 冤窑PC的最小值为-6 三尧填空题 16. 已知 k沂R袁a=渊2袁5冤袁b=渊6袁k冤袁a椅b袁则 k 的值为 . 17. 已知向量 a袁b的夹角为 60毅袁 a 越2袁 b 越1袁则 a垣2b 越 . 18. 吟ABC中袁BD = 13 BC 袁则AD = 渊用AB和AC表示冤. 19. 在正方形 ABCD中袁边长为 1袁E为线段 CD的三等分点袁EC = 12 DE 袁BE =姿BA +滋BC 袁则 姿+ 滋= 曰若 F为线段 BE上的动点袁G 为 AF中点袁则AF窑DG 的最小值为 . 四尧解答题 20. 已知 a 越4袁 b 越3袁渊2a原3b冤窑渊2a垣b冤越61援 渊1冤求 a与 b的夹角 兹. 渊2冤求 a垣b . 渊3冤若AB 越a袁BC 越b袁求吟ABC的面积援 100 21. 已知向量 a与 b的夹角为 135毅袁且 a =1袁 b = 2姨 袁若 c=姿a+渊1-姿冤b袁姿沂R. 渊1冤当 b彝c时袁求实数 姿的值. 渊2冤当 c取最小值时袁求向量 b与 c夹角的余弦值. 22. 如图袁坐标系 xOy中袁与 x轴尧y轴正方向同向的单位向量分别是 e1袁e2袁e1与 e2不共线袁记 e1袁 e2的夹角为 兹曰若OP =xe1+ye2袁则把渊x袁y冤叫做OP在坐标系 xOy中的坐标袁记作OP =渊x袁y冤. 渊1冤若 兹=90毅袁AB =渊4袁5冤袁求 cos掖AB 袁e2业. 渊2冤若存在向量 a袁令 a = e1 且掖a袁e1业=掖a袁e圆业=掖e1袁e圆业袁 淤求 兹的值及 a的坐标曰 于若向量 a绕其起点逆时针旋转 90毅得到向量 b袁求 b的坐标. O y x 兹 101