第7讲 三角函数及其图象和性质-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

第 7讲 三角函数及其图象和性质 一尧单项选择题 1. 若 琢是第一象限角袁则下列各角中第四象限的角是 渊 冤 A. 90毅-琢 B. 90毅+琢 C. 360毅-琢 D. 180毅+琢 2. 半径为 2的圆上长度为 4的圆弧所对的圆心角是 渊 冤 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 在平面直角坐标系 xOy中袁角 琢以 Ox为始边袁终边与单位圆交于点 3姨3 袁- 6姨3蓸 蔀 袁则 cos 琢= 渊 冤 A. - 3姨3 B. 3姨3 C. - 6姨3 D. 6姨3 4. 已知 琢是第四象限角袁若 cos 琢= 15 袁则 tan 琢= 渊 冤 A. 2姨4 B. - 2姨4 C. 2 6姨 D. -2 6姨 5. 已知函数 f渊x冤=tan渊棕x+渍冤 棕>0袁 渍 <仔2蓸 蔀的部分图象如图袁则 f 5仔18蓸 蔀 = 渊 冤 A. - 3姨3 B. - 3姨 C. 3姨 D. 2+ 3姨 6. 函数 y=cos x+仔3蓸 蔀 袁x沂 -仔2 袁0蓘 蓡的值域是 渊 冤 A. 12 袁1蓘 蓡 B. 3姨2 袁1蓘 蓡 C. 12 袁 3姨2蓘 蓡 D. - 3姨2 袁1蓘 蓡 7. 函数 f渊x冤越cos渊棕x垣渍冤的部分图象如图所示袁则 f渊x冤的单调递减区 间为 渊 冤 A援 k仔原 14 袁k仔垣 34蓸 蔀 袁k沂Z B援 2k仔原 14 袁2k仔垣 34蓸 蔀 袁k沂Z C援 k原 14 袁k垣 34蓸 蔀 袁k沂Z D援 2k原 14 袁2k垣 34蓸 蔀 袁k沂Z 8. 设函数 f渊x冤=sin 2x+仔6蓸 蔀 袁则下列结论正确的是 渊 冤 A. f渊x冤的图象关于直线 x=- 仔12 对称 B. f渊x冤的图象关于点 仔6 袁0蓸 蔀对称 C. 把 f渊x冤的图象向左平移仔6 个单位长度袁得到一个偶函数的图象 D. f渊x冤在区间 0袁仔3蓘 蓡上为增函数 y x5414O 1 仔2 xO y 仔6 89 9. 野渍越k仔垣仔2 渊k沂Z冤冶是野函数 f渊x冤越cos渊棕x垣渍冤是奇函数冶的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图袁一个半径为 2的水轮袁圆心 O距离水面 1米袁水轮做匀速圆周运 动袁每分钟逆时针旋转 4圈. 水轮上的点 P到水面的距离 y渊单位院米冤 与时间 x渊单位院秒冤满足 y=A sin渊棕x+渍冤+k渊A>0冤袁则 渊 冤 A. 棕= 2仔15 B. A =3 C. k=2 D. 渍=0 11. 已知函数 f渊x冤=sin 棕x+1渊棕>0冤在区间渊0袁仔冤上有且仅有 2个零点袁则 棕的取值范围是 渊 冤 A. 咱 72 袁 112 冤 B. 渊 72 袁 112 暂 C. 咱3袁5冤 D. 渊3袁5暂 12. 已知函数 f渊x冤= 2姨 sin x+仔4蓸 蔀的定义域为咱a袁b暂袁值域为 - 2姨2 袁 2姨蓘 蓡袁则 b-a的取值范围是 渊 冤 A. 仔2 袁 4仔3蓘 蓡 B. 仔2 袁 5仔3蓘 蓡 C. 5仔6 袁 5仔3蓘 蓡 D. 2仔3 袁 4仔3蓘 蓡 二尧多项选择题 13. 下列函数中袁最小正周期为 1的是 渊 冤 A. y=cos渊2仔x冤 B. y=sin渊2仔x冤 C. y=tan渊2仔x冤 D. y=sin渊2仔x冤cos渊2仔x冤 14. 如图袁在平面直角坐标系中袁以原点 O为圆心的圆与 x轴正半轴交于点 A渊1袁0冤. 已知点 B渊x1袁 y1冤在圆 O上袁点 T的坐标是渊x0袁sin x0冤袁则下列说法中正确的是 渊 冤 A. 若蚁AOB=琢袁则ACB蓻=琢 B. 若 y1=sin x0袁则 x1=x0 C. 若 y1=sin x0袁则ACB蓻=x0 D. 若ACB蓻=x0袁则 y1=sin x0 15. 已知点 P= 3仔8 袁1蓸 蔀是函数 f渊x冤=sin 棕x+仔4蓸 蔀+b渊棕>0冤的图象的一个对称中心袁则 渊 冤 A. f x- 3仔8蓸 蔀-1是奇函数 B. 棕=- 23 + 83 k袁k沂N* C. 若 f渊x冤在区间 3仔8 袁 11仔8蓸 蔀上有且仅有 2条对称轴袁则 棕=2 D. 若 f渊x冤在区间 仔5 袁 2仔5蓸 蔀上单调递减袁则 棕=2或 棕= 143 三尧填空题 16. 已知 cos 琢= 35 袁琢是第四象限角袁则 tan 琢= . 17. 函数 y=tan x的定义域为 曰若 tan x=2袁则 5cos x-sin xsin x+2cos x = . 1 Oy P O y C A B渊x1袁y1冤 x -1 1 x0 T渊x0袁sin x0冤 90 18. 已知函数 f渊x冤=sin 棕x渊棕>0冤在区间 -仔6 袁仔3蓘 蓡的最小值为-1袁则 棕的取值范围是 . 19. 已知函数 f渊x冤=sin渊棕x+渍冤 棕>0袁 渍 臆仔2蓸 蔀 袁x=-仔8 为 f渊x冤的零点袁x=仔8 为 f渊x冤图象的对称 轴袁且 f渊x冤在 仔18 袁仔6蓸 蔀上不单调袁则 棕的最小值为 . 四尧解答题 20. 如图袁已知单位圆 O与 x轴正半轴相交于点 M袁点 A袁B在单位圆上袁其中点 A 在第一象限袁 且蚁AOB=仔2 袁记蚁MOA=琢袁蚁MOB=茁. 渊1冤若 琢=仔6 袁求点 A袁B的坐标. 渊2冤若点 A 的坐标为 45 袁m蓸 蔀 袁求 sin 琢-sin 茁的值. 21. 在函数 f渊x冤=Asin渊棕x+渍冤 其中 A>0袁棕>0袁0<渍<仔2蓸 蔀的图象与 x轴的交点中袁相邻两个交点之 间的距离为仔2 袁且图象上一个最低点为 M 2仔3 袁-2蓸 蔀 . 渊1冤求 f渊x冤的解析式. 渊2冤当 x沂 仔12 袁仔2蓘 蓡时袁求 f渊x冤的值域. O y A B x M 91 22. 已知函数 f渊x冤=3sin渊2x+渍冤渊0<渍<仔冤的图象经过点 5仔8 袁-3蓸 蔀 . 渊1冤求 f渊x冤在区间 0袁仔2蓘 蓡的最大值和最小值. 渊2冤记关于 x的方程 f 仔8 + x2蓸 蔀 =2在区间 0袁 25仔6蓘 蓡的解从小到大依次为 x1袁x2袁噎袁xn袁试确定 正整数 n的值袁并求 x1+2x2+2x3+噎+2xn-1+xn的值. 92 单调递减袁在渊 12 袁a+2暂上单调递增袁根据二次函数性质可 知端点 x=a与对称轴的距离比端点 x=a+2与对称轴的距离 小袁所以咱f渊x冤暂max=f渊a+2冤=2a2+6a+3曰当 a+1= 12 时袁即 a=- 12 袁 函数 f渊x冤在咱a袁 12 暂上单调递减袁在渊 12 袁a+2暂上单调递增袁 根据二次函数性质可知端点 x=a与对称轴的距离和端点 x=a+2与对称轴的距离相等袁所以咱f渊x冤暂max=f渊 32 冤=f渊- 12 冤= 12 曰综上所述袁咱f渊x冤暂max= 2a2-2a-1袁a约- 12 袁 2a2+6a+3袁a逸- 12 . 扇 墒 设缮设 渊3冤因为函数 g渊x冤=f渊x冤-tx+t有两个不相等的不动点 x1袁x2袁 且 x1跃0袁x2跃0袁所以 g渊x冤=x袁即方程 2x2-渊3+t冤x+t-1=0有两 个不相等的正实根 x1袁x2袁所以 驻=渊3+t冤2-8渊t-1冤跃0袁 x1+x2= 3+t2 跃0袁 x1x2= t-12 跃0袁 扇 墒 设设缮设设 解得 t跃 1. x1x2 + x2 x1 = x12+x22x1x2 = 渊x1+x2冤2-2x1x2 x1x2 = 渊x1+x2冤2x1x2 -2= 渊t+3冤24 t-12 - 2= t-12 + 8t-1 +2袁因为 t跃1袁所以 t-12 跃0袁 8t-1 跃0袁所以 t-12 + 8 t-1 逸2 4姨 =4袁当且仅当 t-12 = 8t-1 袁即 t=5时等号成立袁 所以 x1x2 + x2x1 逸4+2=6袁所以 x1 x2 + x2x1 的最小值为 6. 第 7讲 三角函数及其图象和性质 一尧单项选择题 1. C揖解析铱因为 琢是第一象限的角袁所以-琢是第四象限角袁则 由任意角的定义知袁360毅-琢是第四象限角. 2. B揖解析铱半径为 2的圆上长度为 4的圆弧所对的圆心角是 42 =2. 3. B揖解析铱因为角 琢以 Ox为始边袁终边与单位圆交于点 3姨3 袁- 6姨3蓸 蔀袁所以由三角函数的定义知袁cos 琢=x= 3姨3 . 4. D揖解析铱因为 cos 琢= 15 袁sin2琢+cos2琢=1袁所以解得 sin2琢= 2425 袁 又 琢是第四象限角袁sin 琢<0袁所以 sin 琢=- 2 6姨5 袁所以 tan 琢= sin 琢cos 琢 =-2 6姨 . 5. B揖解析铱由函数的图象知袁 T2 =仔2 -仔6 =仔3 袁解得 T= 2仔3 袁所 以 棕=仔T = 32 袁把 仔2 袁0蓸 蔀代入解析式袁解得 渍=k仔- 3仔4 袁k沂 Z袁因为 渍 <仔2 袁取 k=1袁得 渍=仔4 袁所以 f渊x冤=tan 32 x+仔4蓸 蔀袁 则 f 5仔18蓸 蔀=tan 32 伊 5仔18 +仔4蓸 蔀=tan 2仔3 =- 3姨 . 6. A揖解析铱因为 x沂 -仔2 袁0蓘 蓡袁所以 x+仔3 沂 -仔6 袁仔3蓘 蓡袁因为 y= cos x+仔3蓸 蔀袁所以 y沂 cos 仔3 袁cos 0蓘 蓡袁即 y沂 12 袁1蓘 蓡 . 7. D揖解析铱由图象知袁周期 T越2伊 54 原 14蓸 蔀 越2袁所以 2仔棕 越2袁所 以 棕越仔援 由 仔伊 14 垣渍越仔2 垣2k仔袁k沂Z袁不妨取 渍越仔4 袁所以 f渊x冤越 cos 仔x垣仔4蓸 蔀 援 由 2k仔<仔x垣仔4 <2k仔垣仔袁k沂Z袁得 2k原 14 <x<2k垣 34 袁k沂Z袁所以 f渊x冤的单调递减区间为 2k原 14 袁2k垣 34蓸 蔀袁k沂Z援 8. C揖解析铱对于函数 f渊x冤=sin 2x+仔6蓸 蔀 袁令 x=- 仔12 袁求得 f渊x冤= 0袁不是最值袁故 f渊x冤的图象不关于直线 x=- 仔12 对称袁A 错 误曰令 x=仔6 袁求得 f渊x冤=1袁为最大值袁故 f渊x冤的图象关于直线 x=仔6 对称袁B错误曰把 f渊x冤的图象向左平移仔6 个单位长度袁 得到函数 y=sin 2x+ 仔2蓸 蔀 =cos 2x 的图象袁C 正确曰在区间 0袁仔3蓘 蓡上袁2x+仔6 沂 仔6 袁 5仔6蓘 蓡袁f渊x冤没有单调性袁D错误. 9. C揖解析铱若 渍越k仔垣 仔2 渊k沂Z冤袁则 f渊x冤越cos渊棕x垣渍冤越cos渊棕x垣 k仔垣仔2 冤越依sin 棕x袁函数 f渊x冤为奇函数袁所以充分性成立曰反之袁 若函数 f渊x冤越cos渊棕x垣渍冤是奇函数袁则 棕伊0垣渍越k仔垣 仔2 渊k沂 Z冤袁即 渍越k仔垣仔2 渊k沂Z冤袁所以必要性成立袁C正确援 10. A揖解析铱由题意可得 3=A+k袁-1=-A+k袁嗓 解得 A =2袁k=1袁B尧C错误曰 又水轮每分钟旋转 4圈袁所以 T= 604 = 2仔棕 袁所以 棕= 2仔15 袁A 正确曰未指明初始位置袁渍的值无法确定袁D错误. 11. B揖解析铱棕>0袁0约x约仔圯0约棕x约棕仔袁令 f渊x冤=sin 棕x+1=0袁得 sin 棕x=-1袁因为 f渊x冤=sin 棕x+1渊棕>0冤在区间渊0袁仔冤上有且 仅有 2个零点袁所以 sin 棕x=-1在区间渊0袁仔冤上有 2个根袁 所以 72 仔约棕仔臆 112 仔袁解得 72 约棕臆 112 袁则 棕的取值范围 是渊 72 袁 112 暂. 12. D揖解析铱由 2k仔-仔2 臆x+仔4 臆2k仔+仔2 渊k沂Z冤袁解得 2k仔- 3仔4 臆x臆2k仔+ 仔4 渊k沂Z冤袁所以 f渊x冤的单调递增区间为 2k仔- 3仔4 袁2k仔+仔4蓘 蓡渊k沂Z冤袁同理得 f渊x冤的单调递减区间为 2k仔+仔4 袁2k仔+ 5仔4蓘 蓡渊k沂Z冤. f渊x冤的值域为 - 2姨2 袁 2姨蓘 蓡袁 则 f渊x冤的最大值为 2姨 袁此时 x=2k仔+ 仔4 渊k沂Z冤曰最小值 为- 2姨2 袁此时 x=2k仔- 5仔12 或 x=2k仔+ 11仔12 渊k沂Z冤. 当 b-a 取最小值时袁f渊x冤在区间咱a袁b暂上为单调函数袁取 b=仔4 袁则 a=- 5仔12 袁此时 b-a= 8仔12 = 2仔3 曰当 b-a取最大值时袁f渊x冤在区 间咱a袁b暂上先增后减袁且 f渊a冤=f渊b冤=- 2姨2 袁取 a=- 5仔12 袁则 b= 11仔12 袁此时 b-a= 16仔12 = 4仔3 . 综上所述袁b-a的取值范围 是 2仔3 袁 4仔3蓘 蓡 . 二尧多项选择题 13. AB揖解析铱y=cos渊2仔x冤的最小正周期为 2仔2仔 =1袁A 正确曰函 205 数 y=sin渊2仔x冤的最小正周期为 2仔2仔 =1袁B 正确曰函数 y= tan渊2仔x冤的最小正周期为 仔2仔 = 12 袁C错误曰函数 y=sin渊2仔x冤窑 cos渊2仔x冤= 12 sin渊4仔x冤袁最小正周期为 2仔4仔 = 12 袁D错误. 14. AD揖解析铱由于单位圆的半径为 1袁根据弧长公式有ACB蓻 = 1窑琢=琢袁A正确曰由于 B是蚁AOB的一边与单位圆的交点袁 y1是对应蚁AOB的正弦值袁即 y1=sin x0袁所以 x1是对应蚁AOB 的余弦值袁即 x1=cos x0袁B错误曰当 y1=sin x0时袁蚁AOB=x0+ 2k仔袁k沂Z袁C错误曰反过来袁当蚁AOB=x0袁即ACB蓻 =x0时袁y1= sin x0一定成立袁D正确. 15. BC揖解析铱点 P 3仔8 袁1蓸 蔀是函数 f渊x冤=sin 棕x+仔4蓸 蔀 +b渊棕>0冤 的图象的一个对称中心袁所以 b=1袁且 sin 3棕仔8 +仔4蓸 蔀 =0袁 所以 3棕仔8 +仔4 =k仔袁k沂Z袁即 棕=- 23 + 8k3 袁k沂N鄢袁B正确曰 f渊x冤=sin - 23 + 8k3蓸 蔀x+仔4蓘 蓡+1袁k沂N鄢袁故 f x- 3仔8蓸 蔀-1= sin - 23 + 8k3蓸 蔀 x- 3仔8蓸 蔀+仔4蓘 蓡=sin - 23 + 8k3蓸 蔀x+仔渊1-2k冤2蓘 蓡袁 k沂N鄢. 由于 1-2k 是奇数袁所以 f x- 3仔8蓸 蔀-1是偶函数袁A 错误曰由 3仔8 约x约 11仔8 袁可得 3棕仔8 + 仔4 约棕x+ 仔4 约 11棕仔8 + 仔4 . 将 棕=- 23 + 8k3 袁k沂N鄢代入袁整理得 k仔< - 23 + 8k3蓸 蔀x+ 仔4 <k仔+ 8k仔3 - 2仔3 . 由于 f渊x冤在区间 3仔8 袁 11仔8蓸 蔀上有且 仅有 2条对称轴袁所以 3仔2 < 8k仔3 - 2仔3 臆 5仔2 袁解得 1316 < k臆 1916 袁由于 k沂N鄢袁所以 k=1袁对应 棕=- 23 + 83 =2袁C正 确曰由仔5 <x< 2仔5 袁可得 棕仔5 +仔4 约棕x+ 仔4 约 2棕仔5 + 仔4 . 将 棕=- 23 + 8k3 袁k沂N鄢代入袁整理得 8仔15 k+ 7仔60 < - 23 + 8k3蓸 蔀x+ 仔4 < 16仔15 k- 仔60 . 则 16仔15 k- 仔60 - 8仔15 k+ 7仔60蓸 蔀臆仔袁解得 1臆k臆 178 袁而 k沂N鄢袁所以 k=1或 k=2袁k=1时袁 8仔15 k+ 7仔60 袁 16仔15 k- 仔60蓸 蔀 = 39仔60 袁 21仔20蓸 蔀 袁符合单调性袁 k=2时袁 8仔15 k+ 7仔60 袁 16仔15 k- 仔60蓸 蔀= 71仔60 袁 127仔60蓸 蔀 袁不符 合单调性袁所以 k=2舍去. 所以 棕=- 23 + 83 伊1=2袁D错误. 三尧填空题 16. - 43 揖解析铱因为 cos 琢= 35 袁琢是第四象限角袁则 sin 琢= - 1-cos2琢姨 =- 45 袁可得 tan 琢= sin 琢cos 琢 =- 43 . 17. x|x屹k仔+仔2 袁k沂Z嗓 瑟 34 揖解析铱若 tan x=2袁则 5cos x-sin xsin x+2cos x = 5-tan xtan x+2 = 5-22+2 = 34 . 18. 咱3袁+肄冤揖解析铱由题意可知袁棕窑 -仔6蓸 蔀臆-仔2 或 棕窑仔3 逸 3仔2 袁 解得 棕逸3. 19. 10揖解析铱设函数 f渊x冤的最小正周期为 T袁因为 x=-仔8 为 f渊x冤 的零点袁x=仔8 为 f渊x冤图象的对称轴袁所以 仔8 - - 仔8蓸 蔀 = T4 + kT2 袁所以 棕=4k+2渊k沂Z冤袁因为 f渊x冤在 仔18 袁仔6蓸 蔀上不单 调袁所以仔6 - 仔18 > T2 袁所以仔9 > 12 伊 2仔棕 袁解得 棕>9袁当 棕=10 时袁由 x=-仔8 为 f渊x冤的零点可得 10伊 - 仔8蓸 蔀+渍=k仔袁解得 渍= k仔+ 5仔4 渊k沂Z冤袁因为 渍 臆仔2 袁所以 渍= 仔4 . 因为 f渊x冤= sin 10x+仔4蓸 蔀在 仔18 袁仔6蓸 蔀上不单调袁所以 棕的最小值为 10. 四尧解答题 20. 渊1冤若 琢=仔6 袁则点 A 3姨2 袁 12蓸 蔀袁B - 12 袁 3姨2蓸 蔀 . 渊2冤若点 A 的坐标为 45 袁m蓸 蔀 袁因为 45蓸 蔀 2 +m2=1袁点 A 在第 一象限袁所以 m= 35 袁则 sin 琢= 35 袁cos 琢=sin 茁= 45 袁所以 sin 琢-sin 茁=- 15 . 21. 渊1冤由题意可得 A =2袁 T2 =仔棕 =仔2 袁即 棕=2袁又 M 2仔3 袁-2蓸 蔀 在图象上袁得-2=2sin 4仔3 +渍蓸 蔀 袁 4仔3 +渍= 3仔2 +2k仔袁k沂Z袁 由 0约渍约仔2 袁可得 渍=仔6 袁f渊x冤=2sin 2x+ 仔6蓸 蔀 . 渊2冤因为 x沂 仔12 袁仔2蓘 蓡 袁所以 2x+仔6 沂 仔3 袁 7仔6蓘 蓡 袁由正弦 函数的图象得值域为咱-1袁2暂. 22. 渊1冤因为函数的图象经过点 5仔8 袁-3蓸 蔀袁所以 3sin 5仔4 +渍蓸 蔀= -3袁即 sin 5仔4 +渍蓸 蔀=-1袁所以 5仔4 +渍=2k仔+ 3仔2 袁k沂Z袁解得 渍=2k仔+仔4 袁k沂Z袁又因为 0约渍约仔袁所以 渍=仔4 袁所以 f渊x冤= 3sin 2x+仔4蓸 蔀 袁因为 0臆x臆仔2 袁所以 仔4 臆2x+仔4 臆 5仔4 袁当 2x+ 仔4 = 5仔4 袁即 x= 仔2 时袁f渊x冤取得最小值为- 3 2姨2 袁当 2x+仔4 =仔2 袁即 x=仔8 时袁f渊x冤取得最大值为 3. 渊2冤f 仔8 + x2蓸 蔀 =3sin x+仔2蓸 蔀 =3cos x=2袁解得 cos x= 23 袁结合 余弦函数 y=cos x的图象袁又 cos 25仔6 = 3姨2 > 23 袁可得方 程 cos x= 23 在区间 0袁 25仔6蓘 蓡上有 4个解袁即 n=4袁且 x1+x2= 2仔袁x2+x3=4仔袁x3+x4=6仔袁所以 x1+2x2+2x3+噎+2xn-1+xn=渊x1+ x2冤+渊x2+x3冤+渊x3+x4冤=12仔. 第 8讲 三角恒等变换 一尧单项选择题 1. C揖解析铱sin 仔2 + 3仔5蓸 蔀=cos 3仔5 . 2. C揖解析铱原式越原渊cos215毅原sin215毅冤越原cos 30毅越原 3姨2 援 3. B揖解析铱原式越sin 163毅sin 223毅+cos 163毅cos 223毅=cos渊223毅- 163毅冤=cos 60毅= 12 . 206