第3讲 不等式-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

一尧单项选择题 1. 已知 a为实数袁且 P=a2袁Q=2a-1袁P袁Q的大小关系是 渊 冤 A. P>Q B. P<Q C. P逸Q D. P臆Q 2. 若 a跃1袁b约1袁下列式子中正确的是 渊 冤 A. 1a 跃 1b B. ba 跃1 C. a 跃 b D. ab约a+b-1 3. 不等式 x2-3x-4<0的解集为 渊 冤 A. 渊-肄袁-1冤胰渊4袁+肄冤 B. 渊-4袁1冤 C. 渊-1袁4冤 D. 渊-肄袁-4冤胰渊1袁+肄冤 4. 已知正数 x袁y满足 x+y=4袁则 xy的最大值为 渊 冤 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知-5臆2a+b臆1袁-1臆a+2b臆3袁则 a-b 的最大值是 渊 冤 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知 a>0袁b>0袁则 a+b2 袁 ab姨 袁 a 2+b22姨 袁 2aba+b 中最大的是 渊 冤 A. a2+b22姨 B. ab姨 C. a+b2 D. 2aba+b 7. 已知渊a+1冤2逸渊a+1冤3袁且 0<b< a 袁则下列式子中正确的是 渊 冤 A. a-b>0 B. a+b<0 C. 1a > 1b D. a2<b2 8. 若正实数 x袁y满足 1x+1 + 9y =1袁则 x+y的最小值是 渊 冤 A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 9. 不等式渊a原2冤x2垣2渊a原2冤x原4<0袁对一切 x沂R恒成立袁则实数 a的取值范围是 渊 冤 A援 渊原肄袁2暂 B援 渊原2袁2暂 C援 渊原2袁2冤 D援 渊原肄袁2冤 10. 已知 a>0袁b>0袁且 1a + 2b =1袁则 2a-1 + 1b-2 的最小值为 渊 冤 A. 2 B. 2姨 C. 3 2姨2 D. 1+ 3 2姨4 11. 关于 x的不等式渊ax-1冤2<x2恰有 2个整数解袁则实数 a的取值范围是 渊 冤 A. 渊- 32 袁- 43 暂胰渊 43 袁 32 暂 B. 渊- 32 袁- 43 暂胰咱 43 袁 32 冤 C. 咱- 32 袁- 43 冤胰渊 43 袁 32 暂 D. 咱- 32 袁- 43 冤胰咱 43 袁 32 冤 12. 已知{x a约x约b}是关于 x的一元二次不等式 nx2-2x+1约0的解集袁则 4a+3b 的最小值为 渊 冤 A援 52 +2 6姨 B援 5+2 6姨 C援 72 +2 3姨 D援 7+2 3姨 第 3讲 不等式 75 二尧多项选择题 13. 已知 x+y+z=0袁x>y>z袁则下列不等式一定成立的是 渊 冤 A. xy>xz B. xy>yz C. x2+z2>y2 D. y y >z z 14. 已知函数 f渊x冤=ax2+bx-3袁下列结论中正确的是 渊 冤 A. 不等式 f渊x冤<0的解集可以是{x x>3} B. 不等式 f渊x冤>0的解集可以是 C. 函数 f渊x冤在渊0袁+肄冤上可以有两个零点 D. 野方程 f渊x冤=0有一个正根和一个负根冶的充要条件是野a>0冶 15. 已知 a>0袁b>0袁a+b=3袁则 渊 冤 A. ab 的最大值为 94 B. a姨 + b姨 的最小值为 2姨 C. ba + 3+bb 的最小值为 4 D. a 2 a+1 + b 2 b+1 的最小值为 95 三尧填空题 16. 若 3臆a臆6袁1臆b臆2袁则 a-b 的范围为 . 17. 若 x>-1袁则 x+ 1x+1 的最小值是 袁此时 x= . 18. 已知关于 x的不等式 ax2+bx+c约0的解集为 x x约-2或 x跃- 12嗓 瑟 袁其中 a袁b 为实数袁则 ax2-bx+ c跃0的解集为 . 19. 设 max{a袁b袁c}为实数 a袁b袁c 中最大的数. 若 x>0袁y>0袁z>0袁则 max xz+ 1y 袁x+ 1yz 袁 yx + 1z嗓 瑟的最 小值为 . 四尧解答题 20. 渊1冤比较 x2+4y2+1与 2渊x+2y-1冤的大小. 渊2冤已知 a>b>0袁c<d<0袁e<0袁求证院 ea-c 逸 eb-a . 21. 观察下面的解答过程院 已知正实数 a袁b 满足 a+b=1袁求 1a + 2b 的最小值. 解院因为 a+b=1袁所以 1a + 2b =渊a+b冤 1 a + 2b蓸 蔀 =3+ ba + 2ab 逸3+2 ba 窑2ab姨 =3+2 2姨 袁当且仅当 b a = 2ab 袁结合 a+b=1得 a= 2姨 -1袁b=2- 2姨 时等号成立袁所以 1a + 2b 的最小值为 3+2 2姨 . 请类比以上方法袁解决下面的问题院 76 渊1冤已知正实数 x袁y满足 1x + 1y =1袁求 x+4y的最小值. 渊2冤已知正实数 x袁y满足 x+y=1袁求 12x+1 + 2y+1 的最小值. 22. 已知函数 f渊x冤=x2-渊a+4冤x+4a袁 渊1冤解关于 x的不等式 f渊x冤<0. 渊2冤若关于 x的不等式 f渊x冤+4x<0的解集为渊m袁n冤渊m>0袁n>0冤袁求 m+4n的最小值. 77 7. A揖解析铱当 12 臆x臆2 时袁log2 12 臆f渊x冤臆log22袁2伊 12 +a臆 g渊x冤臆4+a袁即 f渊x冤的值域为咱-1袁1暂袁g渊x冤的值域为咱1+a袁4+ a暂. 若存在 x1袁x2沂 12 袁2蓘 蓡袁使得 f渊x1冤=g渊x2冤袁则咱1+a袁4+a暂疑 咱-1袁1暂屹 袁若咱1+a袁4+a暂疑咱-1袁1暂= 袁则 1+a>1 或 4+ a<-1袁得 a>0或 a<-5袁故实数 a的取值范围是咱-5袁0暂. 8. D揖解析铱 3x+1 臆2可变形为 1-2xx+1 臆0袁解得 x逸 12 或 x约-1袁 由于 0约x约 12 袁-1约x臆 12 均推不出 x逸 12 或 x约-1袁A尧B不合 题意曰C中条件和野 3x+1 臆2冶等价袁为充要条件袁不合题意曰D 中 x跃1时袁一定有 x逸 12 或 x约-1成立袁反之不成立袁故 x跃1 是野 3x+1 臆2冶的一个充分不必要条件. 9. A揖解析铱p圯q圳s圯r坩q袁则 p圯s成立袁但 s 推不出 p袁则 p 是 s 的充分不必要条件. 10. D揖解析铱B={x|x2+2ax+a2-1=0}={-渊a+1冤袁-渊a-1冤}袁A ={0袁2}袁 若 A疑B={2}袁则-渊a+1冤=2或-渊a-1冤=2袁解得 a=-3或 a=-1袁 当 a=-3时袁B={2袁4}袁满足 A疑B={2}袁当 a=-1 时袁B={0袁2}袁 不满足 A疑B={2}袁所以野A疑B={2}冶是野a=-1冶的既不充分也 不必要条件. 11. B揖解析铱 a+b + b = a 袁则 a+b = a - b 淤袁若 a椅 b且正向共线时袁淤式不成立袁充分性不成立袁若淤式成立袁 则 a2+b2+2a窑b= a 2+ b 2-2 a b 袁即 cos掖a窑b业=-1袁故 掖a窑b业=仔袁即 a椅b袁必要性成立袁综上所述袁野a椅b冶是 野 a+b + b = a 冶的必要不充分条件. 12. A揖解析铱f渊x冤=-x2+bx+c袁开口向下袁且对称轴为 x= b2 袁要使 方程 f渊x冤=0有两个不同实数根袁只需 f b2蓸 蔀 >0袁要使方程 f渊f渊x冤冤=0恰有两个不同实数根袁设两根分别为 x1袁x2且 x1< x2袁则满足 x1<f渊x冤max=f b2蓸 蔀<x2袁所以 f f b2蓸 蔀蓸 蔀>0袁所以必要 性成立袁反之袁若 f f b2蓸 蔀蓸 蔀 >0袁则 f渊x冤有两个不等的实根袁 且 x1<f b2蓸 蔀 <x2袁若 f渊f渊x冤冤=0袁因为 f b2蓸 蔀 <x2袁所以 f渊x冤=x2 无解袁f b2蓸 蔀>x1袁所以 f渊x冤=x1有两个根袁所以充分性成立. 二尧多项选择题 13. BCD揖解析铱命题 q院埚x跃0袁x2跃x袁则￢q 是坌x跃0袁x2臆x袁A错 误曰当 x=0时袁 x+1 =1袁故命题 p 为假命题袁则￢p 是真命 题袁B正确曰￢q 是坌x跃0袁x2臆x袁当 x=2时袁x2跃x袁故￢q 是假 命题袁q 为真命题袁C尧D正确. 14. ABD揖解析铱方程 x2-2x=0的根为 2或 0袁A正确曰x>2且 y> 3圯x+y>5袁但是 x+y>5不能推出 x>2且 y>3袁B正确曰当 a屹 0时袁b2-4ac<0袁方程 ax2+bx+c=0无解袁C错误曰若 p 是 q 的 充分不必要条件袁则 q 是 p的必要不充分条件袁D正确. 15. BCD揖解析铱ln渊a+b冤跃1圯a+b跃e袁显然由 a+b跃1不一定能推 出 a+b跃e袁A不符合题意曰当 a+b跃1时袁则有渊 a + b 冤2= a 2+ b 2+2 a 窑 b 跃a2+b2+2ab跃1圯 a + b 跃1袁当 a=1袁 b=-1时袁显然 a + b 跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁B符 合题意曰当 a+b跃1时袁由 3a+3b逸2 3a窑3b姨 =2 3a+b姨 跃2 3姨 跃1袁当 a=1袁b=-1时袁显然 3a+3b跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁 C符合题意曰当 a+b跃1时袁ea+b跃e跃1袁当 a=1.1袁b=-1时袁显然 ea+b跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁D符合题意. 三尧填空题 16. 存在 x沂R袁3x<0揖解析铱全称量词命题的否定是存在量词 命题. 17. 必要不充分揖解析铱当 x跃1时袁x跃2不一定成立袁即充分性不 成立袁当 x跃2时袁x跃1一定成立袁即必要性成立. 18. 渊1冤 12 渊2冤 12 袁+肄蓸 蔀 渊或其他合理答案冤揖解析铱渊1冤若 A 是 B的充要条件袁即 A =B袁则 b= 12 . 渊2冤若 A 是 B的充分 不必要条件袁则 b>0袁且 1b <2袁整理得 b> 12 . 19. 咱-1袁1暂揖解析铱因为函数 f渊x冤=2x-a袁所以 x1沂咱0袁1暂时袁f渊x1冤沂咱1-a袁2-a暂袁因为 g渊x冤=1+x3袁所以 x2沂咱0袁1暂时袁g渊x2冤沂咱1袁2暂袁因为 f渊x1冤=g渊x2冤成立袁所以咱1-a袁2-a暂疑咱1袁2暂屹 袁 所以 1-a沂咱1袁2暂或 2-a沂咱1袁2暂袁解得 a 的取值范围是 咱-1袁1暂. 四尧解答题 20. 渊1冤A={x|x2-3x-10臆0}={x|-2臆x臆5}袁因为 p 是真命题袁所 以 B哿A袁且 B屹 袁所以 m+1臆2m-1袁 m+1逸-2袁 2m-1臆5袁嗓 解得 2臆m臆3. 渊2冤q 为真命题袁则 A疑B屹 袁因为 B屹 袁所以 m逸2袁所 以 -2臆m+1臆5袁 m逸2袁嗓 所以 2臆m臆4. 21. 渊1冤因为 p 是 q 的必要不充分条件袁所以命题 q 中变量的 取值集合是命题 p 中变量取值集合的真子集袁所以 m逸1 或 m+3臆-4袁即 m的范围为{m|m臆-7或 m逸1}. 渊2冤证明院若 ac约0袁则 驻=b2-4ac跃0袁方程有两个实根 x1袁x2袁根 据根与系数的关系得 x1x2= ca 约0袁所以方程有两个异号实 根袁充分性成立曰若方程 ax2+bx+c=0渊a屹0冤有两个异号实根 x1袁x2袁则 x1x2= ca 约0袁即 ac约0袁必要性成立曰所以 ac约0是一元 二次方程 ax2+bx+c=0渊a屹0冤袁有两个异号实根的充要条件. 22. 渊1冤由 x2-x-m=0可得 m=x2-x= x- 12蓸 蔀 2 - 14 袁因为-1<x<1袁 所以- 14 臆m<2袁故 M= m|- 14 臆m<2嗓 瑟 . 渊2冤若 x沂N是 x沂M的必要条件袁则 M哿N. 淤当 a>2-a即 a>1时袁N={x|2-a<x<a}袁则 2-a<- 14 袁 a逸2袁 a>1袁 扇 墒 设缮设 即 a> 94 曰于当 a<2-a 即 a<1时袁N={x|a<x<2-a}袁则 a<1袁 a<- 14 袁 2-a逸2袁 扇 墒 设缮设 即 a<- 14 曰盂当 a= 2-a即 a=1时袁N= 袁此时不满足条件. 综上可得 a> 94 或 a<- 14 . 第 3讲 不等式 一尧单项选择题 1. C揖解析铱P-Q=a2-2a+1=渊a-1冤2逸0袁故 P逸Q. 2. D揖解析铱由 a>1袁b<1袁得 a-1>0袁b-1<0袁故渊a-1冤渊b-1冤=ab-a- b+1<0袁即 ab<a+b-1. 3. C揖解析铱不等式 x2-3x-4<0袁解得-1<x<4. 4. B揖解析铱因为 x>0袁y>0袁且 x+y=4袁所以 xy臆 渊x+y冤24 = 4 2 4 =4袁 当且仅当 x=y=2时袁等号成立. 5. B揖解析铱因为-1臆a+2b臆3袁所以-3臆-渊a+2b冤臆1袁又-5臆 2a+b臆1袁所以-8臆2a+b-渊a+2b冤臆2袁即-8臆a-b臆2袁故 a-b 的最大值是 2. 198 6. A揖解析铱因为 a跃0袁b跃0袁所以 a+b逸2 ab姨 袁当且仅当 a=b 时 取等号袁所以 2aba+b 臆 2ab2 ab姨 = ab姨 袁 a2+b22姨 = 2渊a2+b2冤4姨 逸 渊a+b冤24姨 = a+b2 袁当且仅当 a=b时取等号袁则 2aba+b 臆 ab姨 臆 a+b2 臆 a 2+b22姨 . 7. B揖解析铱因为渊a+1冤2-渊a+1冤3=-a渊a+1冤2逸0袁所以 a臆0袁又 0约 b约 a 袁所以 0约b约-a袁即 a+b约0. 8. A揖解析铱x+y=渊x+1冤+渊y-1冤=咱渊x+1冤+y暂 1x+1 + 9y蓸 蔀-1= 9渊x+1冤y + y x+1 +9逸15袁当且仅当 9渊x+1冤y = yx+1 袁即 y=3x+3时袁等号成立. 9. B揖解析铱根据题意有 a-2约0袁驻约0袁嗓 解得原2<a<2袁另当 a越2时袁原式 化为原4<0袁不等式恒成立袁所以原2<a臆2援 10. A揖解析铱因为 a跃0袁b跃0袁且 1a + 2b =1袁所以 1a =1- 2b = b-2b 袁 所以 a= bb-2 跃0袁所以 b跃2曰所以 a-1= bb-2 -1= b-渊b-2冤b-2 = 2 b-2 >0袁所以 1a-1 = b-22 跃0袁所以 2a-1 + 1b-2 =渊b-2冤+ 1 b-2 逸2 渊b-2冤窑 1b-2姨 =2袁当且仅当 b-2= 1b-2 袁即 b=3 时取野=冶袁所以 2a-1 + 1b-2 的最小值为 2. 11. B揖解析铱渊ax-1冤2约x2 恰有 2 个整数解袁即渊ax-1冤2-x2约0圳 咱渊a+1冤x-1暂咱渊a-1冤x-1暂约0恰有两个解袁所以渊a+1冤渊a-1冤跃 0袁即 a跃1袁或 a约-1. 当 a跃1时袁不等式解为 1a+1 约x约 1a-1 袁 因为 1a+1 沂 0袁 12蓸 蔀袁恰有两个整数解即院1袁2袁所以 2约 1a-1 臆 3袁2a-2约1臆3a-3袁解得院 43 臆a约 32 曰当 a约-1时袁不等式解 为 1a+1 约x约 1a-1 袁因为 1a-1 沂 - 12 袁0蓸 蔀 袁恰有两个整数解 即院-1袁-2袁所以-3臆 1a+1 约-2袁-2渊a+1冤约1臆-3渊a+1冤袁解 得- 32 约a臆- 43 袁综上所述袁 43 臆a约 32 袁或- 32 约a臆- 43 . 12. C揖解析铱由题可知 a袁b 是方程 nx2-2x+1=0的两个实数根袁 且 n跃0袁所以 a+b= 2n 袁ab= 1n 袁所以 a+bab = 1a + 1b =2袁且a跃0袁 b跃0袁所以 4a+3b= 12 渊4a+3b冤 1 a + 1b蓸 蔀 = 12 7+ 3ba + 4ab蓸 蔀逸 12 7+2 3ba 窑4ab姨蓸 蔀= 72 +2 3姨 袁当且仅当 3姨 b=2a时等 号成立袁所以 4a+3b 的最小值为 72 +2 3姨 援 二尧多项选择题 13. ACD揖解析铱因为 x+y+z=0袁x>y>z袁所以 x>0袁z<0袁所以 xy> xz袁A正确曰y的正负不能确定袁所以 xy>xz 不一定成立袁B 错误曰因为 x+y+z=0袁所以 x+z=-y袁所以 x2+2xz+z2=y2袁又因 为 x>0袁z<0袁所以 xz<0袁所以 x2+z2+2xz<x2+z2袁所以 x2+z2>y2袁 C 正确曰当 y逸0 时袁可得 y y =y2逸0袁z z =-z2<0袁所以 y y >z z 袁当 y<0时袁可得 y y =-y2袁z z =-z2袁因为 y>z 且 y<0袁可得-z>-y>0袁可得 z2>y2袁所以-y2>-z2袁所以 y y > z z 袁D正确. 14. BCD揖解析铱若不等式 f渊x冤<0的解集是{x|x>3}袁所以 a=0且 f渊3冤=3b-3=0袁则 b=1袁由 f渊x冤=x-3<0袁解得 x<3袁与题意不 符袁A错误曰令 a=-1袁b=0袁则 f渊x冤=-x2-3<0袁所以 f渊x冤>0的 解集为 袁B正确曰令 a=-1袁b=4袁则 f渊x冤=-x2+4x-3袁由 f渊x冤= 0袁得 x=1或 x=3袁C正确曰方程 f渊x冤有一个正根和一个负根 圳 a屹0袁-3 a <0嗓 圳a>0袁D正确. 15. ACD揖解析铱a袁b 为正实数袁且 a+b=3袁ab臆 a+b2蓸 蔀 2 = 94 袁当 且仅当 a=b= 32 时袁等号成立袁A正确曰 a姨 + b姨 臆 2 a+b2姨 = 6姨 袁当且仅当 a=b= 32 时等号成立袁B错误曰 ba + 3+b b = ba + a+2bb =2+ ba + ab 逸2+2 ba窑ab姨 =4袁当且仅当 a=b= 32 时等号成立袁C正确曰令 m=a+1袁n=b+1袁则 m+n=a+ b+2=5袁所以 a2a+1 + b 2 b+1 = 渊m-1冤 2 m + 渊n-1冤 2 n =m+n+ 1m + 1n - 4 = 1 + 1m + 1n = 1 + m+ n5m + m +n5n = 75 + n5m + m5n 逸 75 + 2 m5n窑 n5m姨 = 95 袁当且仅当 m=n袁即 a+b= 32 时取等号袁D 正确. 三尧填空题 16. 咱1袁5暂揖解析铱由 1臆b臆2袁得-2臆-b臆-1袁又 3臆a臆6袁则 1臆a-b臆5. 17. 1 0揖解析铱若 x>-1袁则 x+1>0袁x+ 1x+1 =x+1+ 1x+1 -1逸 2 渊x+1冤窑 1x+1姨 -1=1袁当且仅当 x+1= 1x+1 袁即 x=0 时袁上 式取得最小值 1. 18. x| 12 约x约2嗓 瑟揖解析铱由题意可得 a<0袁a=c袁2b=5a袁嗓 则 ax2-bx+c>0圳ax2- 5a2 x+a>0袁解得 12 约x约2. 19. 2揖解析铱设 A=max xz+ 1y 袁x+ 1yz 袁 yx + 1z嗓 瑟袁则 A逸xz+ 1y 跃0袁 A逸x+ 1yz 跃0袁且 A逸 yx + 1z 跃0. 因为 A逸xz+ 1y =z x+ 1 yz蓸 蔀袁 所以当 0约z臆1时袁只需考虑 A逸x+ 1yz 跃0袁A逸 yx + 1z 跃0袁而 A逸x+ 1yz 逸x+ 1y 逸2 xy姨 袁且 A逸 yx + 1z 逸 yx +1逸2 yx姨 袁 两式相乘得 A 2逸2 yx姨 窑2 xy姨 =4袁可知 A逸2袁当且仅当 x=y=z=1时袁取等号. 当 z跃1时袁0约x+ 1yz 约xz+ 1y 袁只需考虑 A逸xz+ 1y 袁A逸 yx + 1z 袁两式相乘得 A 2逸 xz+ 1 y蓸 蔀窑 yx + 1z蓸 蔀= x+ 1x +yz+ 1yz 逸4袁所以 A逸2袁当且仅当 x=y=z=1 时取等 号袁结合 z跃1可知等号不能成立袁故 A跃2. 综上所述袁A逸2袁 A 的最小值为 2. 四尧解答题 20. 渊1冤x2+4y2+1-2渊x+2y-1冤=渊x2-2x+1冤+渊4y2-4y+1冤+1=渊x-1冤2+ 渊2y-1冤2+1跃0袁所以 x2+4y2+1跃2渊x+2y-1冤. 渊2冤证明院因为 c约d约0袁a跃b跃0袁可得-c跃-d跃0袁a-c跃b-d跃0袁则 1 b-d 跃 1a-c 跃0袁又 e约0袁所以 ea-c 跃 eb-d . 21. 渊1冤由正实数 x袁y满足 1x + 1y =1袁得 x+4y=渊x+4y冤 1 x + 1y蓸 蔀= 5+ 4yx + xy 逸5+2 4yx 窑xy姨 =9袁当且仅当 4yx = xy 袁结合 1x +1 y =1得 x=3袁y= 32 时等号成立袁所以 x+4y的最小值为 9. 199 渊2冤正实数 x袁y 满足 x+y=1袁得渊2x+1冤+渊2y+2冤=5袁所以 12x+1 + 2y+1 = 12x+1 + 42y+2 = 15 咱渊2x+1冤+渊2y+2冤暂窑 12x+1 + 42y+2蓸 蔀=1+ 15 2y+22x+1 + 4渊2x+1冤2y+2蓸 蔀逸1+ 25 2y+22x+1 窑4渊2x+1冤2y+2姨 = 95 袁当且仅当 2y+22x+1 = 4渊2x+1冤2y+2 袁结 合 x+y=1得 x= 13 袁y= 23 时等号成立袁所以 12x+1 + 2y+1 的 最小值为 95 . 22. 渊1冤因为 f渊x冤=x2-渊a+4冤x+4a=渊x-4冤渊x-a冤袁所以 f渊x冤约0袁即 渊x-4冤渊x-a冤约0袁当 a=4时袁不等式 f渊x冤约0的解集为 曰当 a跃 4时袁不等式 f渊x冤约0的解集为渊4袁a冤曰当 a约4时袁不等式 f渊x冤约 0的解集为渊a袁4冤. 渊2冤关于 x的方程 x2-ax+4a=0有两个不等的正根袁由韦达 定理知 驻=a2-16a跃0袁 m+n=a跃0袁 mn=4a跃0袁嗓 解得 a跃16袁则 1m + 1n = m+nmn = a4a = 14 袁m+4n=4渊m+4n冤 1 m + 1n蓸 蔀=4 5+ 4nm +mn蓸 蔀袁因为 m跃0袁n跃 0袁所以 4nm + mn 逸2 4nm 窑mn姨 =4袁当且仅当 m=2n袁且 1m + 1 n = 14 袁即 m=12袁n=6时袁等号成立袁此时 a=18跃16袁符合条 件袁则 m+4n逸36袁综上袁当且仅当 a=18时袁m+4n取得最小 值 36. 第 4讲 函数的概念和性质 一尧单项选择题 1. D揖解析铱由 x-1>0袁得 x>1. 2. D揖解析铱A尧B尧C选项中函数的定义域不同援 3. A揖解析铱由函数的定义知袁对定义域内的任一自变量 x的 值袁都有唯一的函数值 y与其对应. 4. D揖解析铱由偶函数 f渊x冤袁当 x跃0时袁f渊x冤=x2+x袁当 x约0时袁则-x跃 0袁所以 f渊-x冤=渊-x冤2+渊-x冤=x2-x袁所以 f渊x冤=f渊-x冤=x2-x. 5. D揖解析铱y=2x是指数函数袁不是奇函数曰y=ln x = ln x袁x跃0袁ln渊-x冤袁x约0嗓 是偶函数曰y=tan x是正切函数袁在区间渊-肄袁0冤上不具有单 调性曰设 f渊x冤=x- 2x 袁其定义域为{x|x屹0}袁有 f渊-x冤=-f渊x冤袁f渊x冤 为奇函数袁又由 y=x和 y=- 2x 在区间渊-肄袁0冤上都是增函数袁 故该函数在区间渊-肄袁0冤上单调递增. 6. A揖解析铱因为函数 f 1x +1蓸 蔀=2x+3袁所以 f渊3冤=f 112 +1蓸 蔀=2伊 12 +3=4. 7. C揖解析铱y=x2-2x-3=渊x-1冤2-4袁其顶点坐标为渊1袁-4冤袁当 x=0 时袁y=-3袁即该函数与 y轴的交点为渊0袁-3冤袁设 A =渊0袁-3冤袁 当 x=4时袁y=5袁设 C渊4袁5冤袁直线 l椅x轴且过点渊0袁m冤袁将该 函数在直线 l上方的图象沿直线 l向下翻折袁在直线 l下方 的图象保持不变袁得到一个新图象袁分 3种情况讨论院淤如 图 1袁当 m=0时袁D渊4袁-5冤袁 此时函数最大值为 0袁最 小值为-5曰于如图 2袁当 m= 1时袁此时最小值为-4袁最 大值为 1曰盂当 1约m约5时袁 最大值与最小值之差大于 5袁不合题意曰综上所述袁m 的取值范围为 0臆m臆1. 8. C揖解析铱f渊x冤=x+x2- x-x2 = 2x2袁0臆x臆1袁2x袁x<0或 x>1袁嗓 当 x沂咱0袁1暂时袁 f渊x冤单调递增袁当 x沂渊-肄袁0冤和渊1袁+肄冤时袁f渊x冤也是单调增 函数袁且 f渊0冤=0袁f渊1冤=2袁图象连续袁故函数 f渊x冤在 R上为单 调增函数袁所以野x1<x2冶是野f渊x1冤<f渊x2冤冶的充要条件.9. A揖解析铱因为函数 f渊x+1冤的定义域是咱-2袁2暂袁即-2臆x臆2袁 所以-1臆x+1臆3袁即 f渊x冤的定义域为咱-1袁3暂袁又 2x+1屹0袁所 以 x屹- 12 . 所以函数 g渊x冤= f渊x冤2x+1 的定义域是咱-1袁- 12 冤胰 渊- 12 袁3暂. 10. B揖解析铱由对任意实数 t满足 f渊t冤=f渊4-t冤袁可知 f渊x冤关于 x=2对称袁函数 f渊x冤=x2+bx+c 图象开口向上袁且对称轴为 x= - b2 =2. 所以 f渊x冤在咱2袁+肄冤上单调递增袁而 f渊1冤=f渊4-1冤= f渊3冤袁所以 f渊2冤<f渊1冤<f渊4冤. 11. B揖解析铱因为 f渊1+x冤=f渊1-x冤袁则 f渊2+x冤=f渊-x冤袁又因为 f渊x冤 为偶函数袁则 f渊x冤=f渊-x冤袁可得 f渊2+x冤=f渊x冤袁可知 f渊x冤的一 个周期为 2袁因为 log236=4+log2 94 袁且 log2 94 沂渊1袁2冤袁可得 f渊log236冤=f log2 94蓸 蔀=f log2 49蓸 蔀 =f 2+log2 49蓸 蔀 =f log2 169蓸 蔀 袁且 log2 169 沂渊0袁1冤袁所以 f渊log236冤=f log2 169蓸 蔀=2log2 169 -1= 79 . 12. C揖解析铱设 t= xz姨 渊t跃0冤袁则 f渊t冤= t2+kt+4t2+t+4 = t 2+t+4+kt-t t2+t+4 = 1+ t渊k-1冤t2+t+4 =1+ k-1t+ 4t +1 渊t跃0冤袁令 u=t+ 4t +1袁则 y=1+ k-1u 袁 因为 t跃0袁所以 u=t+ 4t +1逸2 t伊 4t姨 +1=5袁当且仅当 t=2时 等号成立袁当 k-1跃0袁即 k跃1时袁函数 y在咱5袁+肄冤上单调递 减袁则 y沂渊1袁 k+45 暂. 当 k-1=0袁即 k=1时袁y沂{1}袁当 k-1约 0袁即 k约1时袁函数 y在咱5袁+肄冤上单调递增袁则 y沂咱 k+45 袁 1冤袁所以当 k跃1时袁2约f渊x1冤+f渊x2冤臆 2k+85 袁1约f渊x3冤臆 k+45 袁由 于对任意的 x1袁x2袁x3沂渊0袁+肄冤袁都有 f渊x1冤+f渊x2冤-f渊x3冤跃0成 立袁所以 k+45 臆2袁解得 1约k臆6曰当 k =1 时袁f渊x1冤=f渊x2冤= f渊x3冤=1袁显然符合题意曰当 k约1时袁 2k+85 臆f渊x1冤+f渊x2冤约2袁 k+45 臆f渊x3冤约1袁由题意知 1臆 2k+85 袁解得- 32 臆k约1袁综上 所述袁k 的取值范围为咱- 32 袁6暂. 二尧多项选择题 13. ACD揖解析铱令 f渊x冤=0袁即 3x+2x-1 =0袁解得 x=- 23 袁所以 f渊x冤 有且仅有一个零点袁A正确曰函数 f渊x冤= 3x+2x-1 =3+ 5x-1 袁因 为 y= 5x-1 在渊-肄袁1冤和渊1袁+肄冤上单调递减袁所以函数 f渊x冤在 渊-肄袁1冤和渊1袁+肄冤上单调递减袁B错误曰函数 f渊x冤的定义域 为{x|x屹1}袁C正确曰因为函数 y= 5x-1 关于点渊1袁0冤对称袁所 以 f渊x冤=3+ 5x-1 关于点渊1袁3冤对称袁D正确. 14. BCD揖解析铱若 f渊x冤为野理想函数冶袁则 f渊x冤为奇函数且在其 定义域上为减函数袁f 渊x冤= 2x-12x+1 的定义域为 x|x屹- 12嗓 瑟 袁 不是奇函数. x4O y A B C D 图 1 x4O y A B C D l 图 2 200