第2讲 常用逻辑用语-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

第 1讲 集 合 一尧单项选择题 1. C揖解析铱A疑B={0袁2}. 2. C揖解析铱M=N袁则 a2=2a袁即 a=2或 a=0袁当 a=2时袁M=N={4袁4} 与集合元素的互异性矛盾袁故 a=0. 猿. A揖解析铱由已知得 B={x|-2约x约1}袁故 A疑B={-1袁0}. 4. 阅揖解析铱集合 B={x|y=ln渊3-x冤}={x|x<3}袁A = x| x-3x+1 >0嗓 瑟 = {x|x<-1袁或 x>3}袁所以图中阴影部分表示的集合为渊 UA冤疑 B={x|-1臆x臆3}疑{x|x<3}={x|-1臆x<3}. 5. C揖解析铱因为集合 A={x|x2-x-6约0}={x|-2约x约3}袁B={x|x2逸4}= {x|x臆-2或 x逸2}袁所以 A疑B=咱2袁3冤. 6. A揖解析铱因为 A={x|-x2-x+2约0}={x|x>1或 x约-2}袁B={x|2x-5> 0}= x|x> 52嗓 瑟袁所以 B哿A . 7. A揖解析铱A={x|log2x臆1}={x|0约x臆2}袁又 B={y|y=2x袁x臆2}={y|0约y臆4}袁所以 A哿B袁则 A胰B=B袁A疑B=A袁A胰渊 R B冤=渊-肄袁2暂胰渊4袁+肄冤. 8. D揖解析铱A越{2袁原3}援 当 a越0时袁B越 袁满足 B哿A曰当 a屹0时袁 ax原1越0 的解为 x越 1a 袁由 B哿A袁可得 1a 越原3 或 1a 越2袁所以 a越原 1猿 或 a越 12 援 综上可知袁a的值为原 13 或 12 或 0援 9. D揖解析铱x2-3x+2跃0袁解得 x约1或 x跃2袁故 A =渊-肄袁1冤胰渊2袁 +肄冤袁B=R袁所以 B A=咱1袁2暂.10. C揖解析铱M={0袁1袁2袁3袁5袁11}袁所以 M的非空真子集的个数 是 26-2=62. 11. A揖解析铱A疑B= 袁则 2a逸a+2或 2a约a+2袁 2a逸-3袁 a+2臆5袁嗓 即 a逸2或- 32 臆 a约2袁则实数 a的取值范围为咱- 32 袁+肄冤. 12. D揖解析铱因为M={1袁2}袁所以 A={x|x哿M}={ 袁{1}袁{2}袁{1袁2}}袁所 以咱A暂=4袁又因为 A茚B =1袁所以咱B暂=3 或咱B暂=5. 方程 x渊x2-1冤=0的解为-1袁0袁1曰方程 x2-ax+4=0可能有 0个解袁2 个相同的解袁2个不同的解袁所以咱B暂=3或咱B暂=4或咱B暂=5袁 故只需要排除咱B暂=4的情况袁淤当 驻=a2-16=0袁即 a=依4时袁 B={-1袁0袁1袁2}或 B={-1袁0袁1袁-2}曰于若-1是方程 x2-ax+4=0 的根袁则 a=-5袁B={-1袁0袁1袁-4}曰盂若 1是方程 x2-ax+4=0的 根袁则 a=5袁B={-1袁0袁1袁4}袁0不可能是方程 x2-ax+4=0的 根袁综上所述袁当且仅当 a=依4 或 a=依5时袁咱B暂=4袁故 a的 取值范围是{a|a屹依4且 a屹依5}. 二尧多项选择题 13. CD揖解析铱要使 A疑B= 袁则 a+1臆1或 a-1逸5袁解得 a臆0 或 a逸6. 14. BC揖解析铱阴影部分表示的集合是渊 U 渊A疑B冤冤疑B 或者 渊 UA冤疑B.15. ABC揖解析铱淤当 B=C时袁满足 A胰B=A胰C袁但是 B哿A 不 一定成立袁C哿A 也不一定成立袁渊 UA冤疑B=渊 UA冤疑C成立袁 于当 B哿A袁C哿A 时袁此时 A胰B=A胰C=A袁但是 A疑渊 UB冤= A疑渊 UC冤不一定成立袁渊 UA冤疑B=渊 UA冤疑C= 成立袁盂若 C哿B袁渊 BC冤哿A 时袁此时渊 UA冤疑B=渊 UA冤疑C= . 三尧填空题 16. -3揖解析铱-3沂A袁所以 a-2=-3或 a2+4a=-3袁解得 a=-1袁-3袁 根据集合元素互异性袁a=-3. 17. 92 袁+肄蓸 蔀 咱0袁+肄冤揖解析铱A =渊-肄袁0冤胰 92 袁+肄蓸 蔀袁B=咱2袁 +肄冤袁所以 A疑B= 92 袁+肄蓸 蔀袁 RA= 0袁 92蓘 蓡 袁所以渊 RA冤胰B= 咱0袁+肄冤. 18. 0或 98 揖解析铱若 a越0袁则 A越 23嗓 瑟袁符合题意曰若 a屹0袁则由 驻越9原8a越0袁解得 a越 98 援 综上袁a的值为 0或 98 . 19. 0约t约1揖解析铱对于 f渊x冤 逸1袁当 x逸0 时袁 2x2-4x+1 逸1袁 所以 2x2-4x+1逸1或 2x2-4x+1臆-1袁所以 x逸2或 x臆0或 x=1袁因为 x逸0袁所以 x逸2 或 x=1 或 x=0. 当 x约0 时袁 -2x2-4x+1 逸1袁所以-2臆x约0或 x臆-1- 2姨 . 综上可知 B={x|-2臆x臆0或 x臆-1- 2姨 或 x逸2或 x=1}袁因为集合 A疑B只含有一个元素袁所以 t跃0且 t+1约2袁所以 0约t约1. 四尧解答题 20. 渊1冤因为 9沂渊A疑B冤袁所以 9沂B且 9沂A袁所以 2a-1=9 或 a2=9袁所以 a=5或 a=依3. 检验知 a=5或 a=-3. 渊2冤因为{9}=A疑B袁所以 9沂渊A疑B冤袁所以 a=5或 a=-3. 当 a=5时袁A ={-4袁9袁25}袁B={0袁-4袁9}袁此时 A疑B={-4袁9}与 A疑B={9}矛盾袁所以 a=-3. 21. 渊1冤若选淤院a=-1袁A=渊-3袁0冤袁因为 B=咱0袁1暂袁所以 A胰B=渊-3袁1暂. 若选于院a=0袁A=渊-1袁1冤袁因为 B=咱0袁1暂袁所以 A胰B=渊-1袁1暂. 若选盂院a=1袁A=渊1袁2冤袁因为 B=咱0袁1暂袁所以 A胰B=咱0袁2冤. 渊2冤 R B=渊-肄袁0冤胰渊1袁+肄冤袁因为 A疑渊 R B冤=A袁所以 A哿 RB袁当 A= 时袁2a-1逸a+1袁解得 a逸2曰当 A屹 时袁 a<2袁 a+1臆0嗓 或 a<2袁2a-1逸员袁嗓 解得 a臆-1或 1臆a<2. 所以实数 a 的取值范围是渊-肄袁-1暂胰咱1袁+肄冤. 22. 渊1冤当 a=-1时袁B={x|x2=0}={0}袁全集 U={x沂Z|-1臆x<3}= {-1袁0袁1袁2}袁 U B={-1袁1袁2}袁所以 U B的真子集有 袁{-1}袁{1}袁{2}袁{-1袁1}袁{-1袁2}袁{1袁2}. 渊2冤A疑B=B圳B哿A袁即 B 是 A 的子集袁且 A ={-4袁0}袁对于 集合 B袁驻=4渊a+1冤2-4渊a2-1冤=8渊a+1冤袁当 驻约0袁即 a约-1 时袁 B= 袁符合题意曰当 驻=0袁即 a=-1时袁B={0}袁符合题意曰当 驻跃0袁即 a跃-1时袁B中有两个元素袁所以 B={-4袁0}袁解得 a= 1曰综上可知袁a=1或 a臆-1. 第 2讲 常用逻辑用语 一尧单项选择题 1. B揖解析铱命题淤含有存在量词袁是存在量词命题曰命题于盂 榆均为全称量词命题. 2. A揖解析铱命题野埚x跃0袁x2跃x3冶的否定是野坌x跃0袁x2臆x3冶. 3. C揖解析铱全称量词命题的否定是存在量词命题. 4. D揖解析铱野坌x沂R袁埚n沂N*袁使得 n逸x2冶的否定形式是野埚x沂 R袁坌n沂N*袁使得 n约x2冶. 5. B揖解析铱若 m椅茁袁m奂琢袁则平面 琢袁茁可能相交也可能平行曰 若 琢椅茁袁m奂琢袁则有 m椅茁. 6. C揖解析铱因为 a跃b袁又 c屹0袁则 c2跃0袁能推出 ac2 跃 bc2 袁则充分 性成立曰又由 ac2 跃 bc2 袁有 c2跃0袁则 a跃b袁则必要性成立袁故 a跃b 是 ac2 跃 bc2 的充要条件. 参考答案与解析 精讲精练 197 7. A揖解析铱当 12 臆x臆2 时袁log2 12 臆f渊x冤臆log22袁2伊 12 +a臆 g渊x冤臆4+a袁即 f渊x冤的值域为咱-1袁1暂袁g渊x冤的值域为咱1+a袁4+ a暂. 若存在 x1袁x2沂 12 袁2蓘 蓡袁使得 f渊x1冤=g渊x2冤袁则咱1+a袁4+a暂疑 咱-1袁1暂屹 袁若咱1+a袁4+a暂疑咱-1袁1暂= 袁则 1+a>1 或 4+ a<-1袁得 a>0或 a<-5袁故实数 a的取值范围是咱-5袁0暂. 8. D揖解析铱 3x+1 臆2可变形为 1-2xx+1 臆0袁解得 x逸 12 或 x约-1袁 由于 0约x约 12 袁-1约x臆 12 均推不出 x逸 12 或 x约-1袁A尧B不合 题意曰C中条件和野 3x+1 臆2冶等价袁为充要条件袁不合题意曰D 中 x跃1时袁一定有 x逸 12 或 x约-1成立袁反之不成立袁故 x跃1 是野 3x+1 臆2冶的一个充分不必要条件. 9. A揖解析铱p圯q圳s圯r坩q袁则 p圯s成立袁但 s 推不出 p袁则 p 是 s 的充分不必要条件. 10. D揖解析铱B={x|x2+2ax+a2-1=0}={-渊a+1冤袁-渊a-1冤}袁A ={0袁2}袁 若 A疑B={2}袁则-渊a+1冤=2或-渊a-1冤=2袁解得 a=-3或 a=-1袁 当 a=-3时袁B={2袁4}袁满足 A疑B={2}袁当 a=-1 时袁B={0袁2}袁 不满足 A疑B={2}袁所以野A疑B={2}冶是野a=-1冶的既不充分也 不必要条件. 11. B揖解析铱 a+b + b = a 袁则 a+b = a - b 淤袁若 a椅 b且正向共线时袁淤式不成立袁充分性不成立袁若淤式成立袁 则 a2+b2+2a窑b= a 2+ b 2-2 a b 袁即 cos掖a窑b业=-1袁故 掖a窑b业=仔袁即 a椅b袁必要性成立袁综上所述袁野a椅b冶是 野 a+b + b = a 冶的必要不充分条件. 12. A揖解析铱f渊x冤=-x2+bx+c袁开口向下袁且对称轴为 x= b2 袁要使 方程 f渊x冤=0有两个不同实数根袁只需 f b2蓸 蔀 >0袁要使方程 f渊f渊x冤冤=0恰有两个不同实数根袁设两根分别为 x1袁x2且 x1< x2袁则满足 x1<f渊x冤max=f b2蓸 蔀<x2袁所以 f f b2蓸 蔀蓸 蔀>0袁所以必要 性成立袁反之袁若 f f b2蓸 蔀蓸 蔀 >0袁则 f渊x冤有两个不等的实根袁 且 x1<f b2蓸 蔀 <x2袁若 f渊f渊x冤冤=0袁因为 f b2蓸 蔀 <x2袁所以 f渊x冤=x2 无解袁f b2蓸 蔀>x1袁所以 f渊x冤=x1有两个根袁所以充分性成立. 二尧多项选择题 13. BCD揖解析铱命题 q院埚x跃0袁x2跃x袁则￢q 是坌x跃0袁x2臆x袁A错 误曰当 x=0时袁 x+1 =1袁故命题 p 为假命题袁则￢p 是真命 题袁B正确曰￢q 是坌x跃0袁x2臆x袁当 x=2时袁x2跃x袁故￢q 是假 命题袁q 为真命题袁C尧D正确. 14. ABD揖解析铱方程 x2-2x=0的根为 2或 0袁A正确曰x>2且 y> 3圯x+y>5袁但是 x+y>5不能推出 x>2且 y>3袁B正确曰当 a屹 0时袁b2-4ac<0袁方程 ax2+bx+c=0无解袁C错误曰若 p 是 q 的 充分不必要条件袁则 q 是 p的必要不充分条件袁D正确. 15. BCD揖解析铱ln渊a+b冤跃1圯a+b跃e袁显然由 a+b跃1不一定能推 出 a+b跃e袁A不符合题意曰当 a+b跃1时袁则有渊 a + b 冤2= a 2+ b 2+2 a 窑 b 跃a2+b2+2ab跃1圯 a + b 跃1袁当 a=1袁 b=-1时袁显然 a + b 跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁B符 合题意曰当 a+b跃1时袁由 3a+3b逸2 3a窑3b姨 =2 3a+b姨 跃2 3姨 跃1袁当 a=1袁b=-1时袁显然 3a+3b跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁 C符合题意曰当 a+b跃1时袁ea+b跃e跃1袁当 a=1.1袁b=-1时袁显然 ea+b跃1成立袁但是 a+b跃1不成立袁D符合题意. 三尧填空题 16. 存在 x沂R袁3x<0揖解析铱全称量词命题的否定是存在量词 命题. 17. 必要不充分揖解析铱当 x跃1时袁x跃2不一定成立袁即充分性不 成立袁当 x跃2时袁x跃1一定成立袁即必要性成立. 18. 渊1冤 12 渊2冤 12 袁+肄蓸 蔀 渊或其他合理答案冤揖解析铱渊1冤若 A 是 B的充要条件袁即 A =B袁则 b= 12 . 渊2冤若 A 是 B的充分 不必要条件袁则 b>0袁且 1b <2袁整理得 b> 12 . 19. 咱-1袁1暂揖解析铱因为函数 f渊x冤=2x-a袁所以 x1沂咱0袁1暂时袁f渊x1冤沂咱1-a袁2-a暂袁因为 g渊x冤=1+x3袁所以 x2沂咱0袁1暂时袁g渊x2冤沂咱1袁2暂袁因为 f渊x1冤=g渊x2冤成立袁所以咱1-a袁2-a暂疑咱1袁2暂屹 袁 所以 1-a沂咱1袁2暂或 2-a沂咱1袁2暂袁解得 a 的取值范围是 咱-1袁1暂. 四尧解答题 20. 渊1冤A={x|x2-3x-10臆0}={x|-2臆x臆5}袁因为 p 是真命题袁所 以 B哿A袁且 B屹 袁所以 m+1臆2m-1袁 m+1逸-2袁 2m-1臆5袁嗓 解得 2臆m臆3. 渊2冤q 为真命题袁则 A疑B屹 袁因为 B屹 袁所以 m逸2袁所 以 -2臆m+1臆5袁 m逸2袁嗓 所以 2臆m臆4. 21. 渊1冤因为 p 是 q 的必要不充分条件袁所以命题 q 中变量的 取值集合是命题 p 中变量取值集合的真子集袁所以 m逸1 或 m+3臆-4袁即 m的范围为{m|m臆-7或 m逸1}. 渊2冤证明院若 ac约0袁则 驻=b2-4ac跃0袁方程有两个实根 x1袁x2袁根 据根与系数的关系得 x1x2= ca 约0袁所以方程有两个异号实 根袁充分性成立曰若方程 ax2+bx+c=0渊a屹0冤有两个异号实根 x1袁x2袁则 x1x2= ca 约0袁即 ac约0袁必要性成立曰所以 ac约0是一元 二次方程 ax2+bx+c=0渊a屹0冤袁有两个异号实根的充要条件. 22. 渊1冤由 x2-x-m=0可得 m=x2-x= x- 12蓸 蔀 2 - 14 袁因为-1<x<1袁 所以- 14 臆m<2袁故 M= m|- 14 臆m<2嗓 瑟 . 渊2冤若 x沂N是 x沂M的必要条件袁则 M哿N. 淤当 a>2-a即 a>1时袁N={x|2-a<x<a}袁则 2-a<- 14 袁 a逸2袁 a>1袁 扇 墒 设缮设 即 a> 94 曰于当 a<2-a 即 a<1时袁N={x|a<x<2-a}袁则 a<1袁 a<- 14 袁 2-a逸2袁 扇 墒 设缮设 即 a<- 14 曰盂当 a= 2-a即 a=1时袁N= 袁此时不满足条件. 综上可得 a> 94 或 a<- 14 . 第 3讲 不等式 一尧单项选择题 1. C揖解析铱P-Q=a2-2a+1=渊a-1冤2逸0袁故 P逸Q. 2. D揖解析铱由 a>1袁b<1袁得 a-1>0袁b-1<0袁故渊a-1冤渊b-1冤=ab-a- b+1<0袁即 ab<a+b-1. 3. C揖解析铱不等式 x2-3x-4<0袁解得-1<x<4. 4. B揖解析铱因为 x>0袁y>0袁且 x+y=4袁所以 xy臆 渊x+y冤24 = 4 2 4 =4袁 当且仅当 x=y=2时袁等号成立. 5. B揖解析铱因为-1臆a+2b臆3袁所以-3臆-渊a+2b冤臆1袁又-5臆 2a+b臆1袁所以-8臆2a+b-渊a+2b冤臆2袁即-8臆a-b臆2袁故 a-b 的最大值是 2. 198 一尧单项选择题 1. 下列命题中存在量词命题的个数是 渊 冤 淤有些自然数是偶数曰于正方形是菱形曰盂能被 6整除的数也能被 3整除曰榆对于任意 x沂R袁 总有 x 逸0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 命题野埚x>0袁x2>x3冶的否定是 渊 冤 A. 坌x>0袁x2臆x3 B. 坌x臆0袁x2臆x3 C. 埚x>0袁x2臆x3 D. 埚x臆0袁x2臆x3 3. 命题野坌x逸0袁x3垣x逸0冶的否定是 渊 冤 A. 坌x<0袁x3垣x<0 B. 坌x<0袁x3垣x逸0 C. 埚x逸0袁x3垣x<0 D. 埚x逸0袁x3垣x逸0 4. 命题野坌x沂R袁埚n沂N*袁使得 n逸x2冶的否定形式是 渊 冤 A. 坌x沂R袁埚n沂N*袁使得 n<x2 B. 坌x沂R袁坌n沂N*袁使得 n<x2 C. 埚x沂R袁埚n沂N*袁使得 n<x2 D. 埚x沂R袁坌n沂N*袁使得 n<x2 5. 设 琢袁茁是两个不同的平面袁m是直线且 m奂琢. 野m椅茁冶是野琢椅茁冶的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若 c屹0袁则野a>b冶是 ac2 > bc2 的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数 f渊x冤=log2x袁g渊x冤=2x+a袁若存在 x1袁x2沂 12 袁2蓘 蓡使得 f渊x1冤=g渊x2冤袁则 a的取值范围是 渊 冤 A. 咱-5袁0暂 B. 渊-肄袁-5暂胰咱0袁+肄冤 C. 渊-5袁0冤 D. 渊-肄袁-5冤胰渊0袁+肄冤 8援 野 3x+1 臆2冶的一个充分不必要条件是 渊 冤 A. 0<x< 12 B. -1<x臆 12 C. x<-1或 x逸 12 D. x>1 9. 已知 p 是 q 的充分不必要条件袁q 是 s 的充要条件袁s 是 r的充分不必要条件袁r是 q 的必要不 充分条件袁则 p 是 s 的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知集合 A={0袁2}袁B={x x2+2ax+a2-1=0}袁则野A疑B={2}冶是野a=-1冶的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知平面向量 a袁b均为非零向量袁则野a椅b冶是野 a+b + b = a 冶的 渊 冤 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第 2讲 常用逻辑用语 72 12. 已知函数 f渊x冤=-x2+bx+c袁则野f f b2蓸 蔀蓸 蔀>0冶是野方程 f渊x冤=0有两个不同实数根袁且方程 f渊f渊x冤冤=0 恰有两个不同实数根冶的 渊 冤 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二尧多项选择题 13. 已知命题 p院坌x沂R袁 x+1 >1袁命题 q院埚x>0袁x2>x袁则 渊 冤 A. 劭q 是坌x臆0袁x3臆x B. 劭p 是真命题 C. p 和劭q 都是假命题 D. 劭p 和 q 都是真命题 14. 下列说法正确的是 渊 冤 A. 野x2-2x=0冶是野x=2冶的必要不充分条件 B. 野x>2且 y>3冶是野x+y>5冶的充分不必要条件 C. 当 a屹0时袁野b2-4ac<0冶是野方程 ax2+bx+c=0有解冶的充要条件 D. 若 p 是 q 的充分不必要条件袁则 q 是 p 的必要不充分条件 15. 若 a袁b沂R袁则使野a+b>1冶成立的一个必要不充分条件是 渊 冤 A. ln渊a+b冤>1 B. a + b >1 C. 3a+3b>1 D. ea+b>1 三尧填空题 16. 命题野任意 x沂R袁3x逸0冶的否定是 . 17. 野x>1冶是野x>2冶的 条件. 18. 已知集合 A={x x>2}袁B={x bx>1}袁其中 b 为实数. 渊1冤若 A 是 B的充要条件袁则 b= . 渊2冤若 A 是 B的充分不必要条件袁则 b 的取值范围是 . 19. 已知函数 f渊x冤=2x-a袁g渊x冤=1+x3袁若存在 x1袁x2沂咱0袁1暂袁使得 f渊x1冤=g渊x2冤成立袁则实数 a的取值 范围是 . 四尧解答题 20. 已知集合 A={x x2-3x-10臆0}袁B={x m+1臆x臆2m-1}袁且 B屹 . 渊1冤若命题 p院野坌x沂B袁x沂A冶是真命题袁求实数 m的取值范围. 渊2冤若命题 q院野埚x0沂A袁x0沂B冶是真命题袁求实数 m的取值范围. 73 21. 渊1冤已知 p院x>m+3或 x<m袁q院-4<x<1袁且 p 是 q 的必要不充分条件袁求 m的取值范围. 渊2冤求证院ac<0是一元二次方程 ax2+bx+c=0渊a屹0冤有两个异号实根的充要条件. 22. 已知野埚x沂渊-1袁1冤袁使等式 x2-x-m=0成立冶是真命题. 渊1冤求实数 m的取值集合 M. 渊2冤设不等式渊x-a冤渊x+a-2冤<0的解集为 N袁若 x沂N是 x沂M的必要条件袁求 a的取值范围. 74