精品解析：浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024年鄞州中学高一上12月数学月考试卷 一、单选题 1. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列命题的否定为假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若 ， 则 的最小值为（ ） A. 16 B. 8 C. 20 D. 12 4. 若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义域为的函数满足，且对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 已知函数恰有两个零点，则实数可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知均为实数，下列命题正确有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 在区间单调递增 C. 在区间有两个极值点 D. 直线是函数的对称轴 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 三、填空题 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则______． 13. 已知函数，则_______. 14. （1）已知对任意及，不等式恒成立，则实数的取值范围是______； （2）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是______； 四、解答题 15. （1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 16. 已知 （1）求值； （2）求的值． 17. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于的不等式； （3）若恒成立，求实数取值范围． 18. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （1）证明：当时，； （2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年鄞州中学高一上12月数学月考试卷 一、单选题 1. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荀子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件定义分析判断即得. 【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远； 不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”， 所以“积小流”是“成江海”的必要条件. 故选：B 2. 下列命题的否定为假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 3. 若 ， 则 的最小值为（ ） A. 16 B. 8 C. 20 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式,应用常值代换法求解即可. 【详解】由题意得 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立,故 最小值为 16 ． 故选:. 4. 若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由确定周期，即可求解. 【详解】因为，所以， 即函数的周期为4，故. 因为函数为偶函数，所以. 当时，，又，所以. 故选：D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断. 【详解】函数定义域为，且， 所以图像关于原点对称，排除A、C；当从正向无限趋近于0时， 也正向无限趋近于零；所以排除D； 故选：B. 6. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 7. 定义域为的函数满足，且对于任意均有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，验证满足各个条件，再根据三角函数的公式，依次计算每个选项得到答案. 【详解】取，，满足，， ，即； ，即， 上述函数满足题设要求， 对选项A：，错误（排除）； 对选项B：，错误（排除）； 对选项C：，故，正确； 对选项D：，错误（排除）. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题函数值的计算，函数值比较大小，其中，构造，可以简化运算，是解题的关键. 二、多选题 8. 已知函数恰有两个零点，则实数可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数图象的两个交点，写出结果即可． 【详解】函数有两个零点， 则的图象有两个交点， 画出函数和的图象，如图 结合图象可知. 故选：ABC 9. 已知均为实数，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，即可判断A,B,C三个选项，对于选项D，用作差法，即可判断. 【详解】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确； 对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误； 对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确； 对于选项D：因为， 又，所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 在区间单调递增 C. 在区间有两个极值点 D. 直线是函数的对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以区间上不单调，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有2个极值点， 所以在区间有两个极值点，故C正确； 对于D，因为， 所以直线是函数的对称轴，故D正确. 故选：ACD. 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数新定义举反例可得A错误；由函数新定义设 可得B正确；由函数新定义化简可得C正确；当 时, 方程有无数解可得D正确； 【详解】A 选项， 时, ，故A 错 误； 选项，设 ， ，又 ， 故 或 1,故 故B正确； C 选项， ， 因为 ，所以 ，故 正确； 选项，当 时, ，故方程存在无数个解，故 正确； 故选： BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，其中B选项可设求解，D选项可取. 三、填空题 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义计算即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 13. 已知函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造，可以证明它是奇函数，从而，所以由即可得解. 【详解】设，则的定义域为，的定义域关于原点对称， 且，即， 则为奇函数，所以，， 因， 所以. 故答案为：1. 14. （1）已知对任意及，不等式恒成立，则实数的取值范围是______； （2）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是______； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用换元法，令，将不等式问题转化为一元二次函数的恒成立问题，即可得答案； （2）先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有2个整数求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知：不等式对于恒成立， 即：对于恒成立， 令，则， ∴在上恒成立， ∵， ∴当时，， ∴，即实数的取值范围是. （2）不等式可化为， ①当时，原不等式等价于，其解集，不满足题意； ②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； ③当时，原不等式等价于，其解集为， ∵其解集中恰有2个整数解， ∴，解得， ④当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； ⑤当时，原不等式等价于，其解集为， ∵其解集中恰有2个整数解， ∴，解得 综上可得：. 故答案为：（1），（2）． 四、解答题 15. （1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用不等式的性质即可求解. 【详解】（1）； （2）令 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为. 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由可得，从而解得的值； （2）利用诱导公式及同角关系即可得到结果. 【详解】（1）因为 所以 解得 因为所以 所以 （2）原式 . 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等. 17. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于不等式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. 【小问2详解】 不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 18. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得出，与联立方程组，即可解出、的解析式； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）分析函数的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，令，可得出对任意的恒成立，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，根据可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 所以， 即，解得，， 因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则，， 所以， ，即， 所以，函数在上为增函数. 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 所以，即， 即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （1）证明：当时，； （2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，“和谐区间”为 【解析】 【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明. （2）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间. 【小问1详解】 由题意，得，所以， 所以当时，． 【小问2详解】 对于函数，有， ①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”； ②同理时，也不存在， 下面讨论， ③若，则，故最小值为，于是， 所以， 所以最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意． ④若，当时，同理可得，舍去， 当时，在上单调递减， 所以，于是， 若，即，则， 故， 与矛盾； 若，同理，矛盾， 所以，即， 由（1）知当时，， 因为，所以，从而，，从而，矛盾， 综上所述，有唯一的“和谐区间”． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $