第04讲 实数及其简单运算（6个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第04讲 实数及其简单运算 课程标准 学习目标 ①无理数的概念及其常见的形式 ②实数的概念及其分类 ③实数与数轴 ④实数的性质 ⑤实数的大小比较 ⑥实数的运算 1. 掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。 2. 掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。 3. 掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。 4. 掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。 5. 掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。 6. 掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。能够熟练运用。 知识点01 无理数的概念 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有 根号 ，且被开方数开方 开不尽 。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 【即学即练1】 1．在3.14，，，，，中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【解答】解：，，是无理数； 故选：B． 知识点02 实数及其分类 1. 实数的概念： 有理数 与 无理数 统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 【即学即练1】 2．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，，﹣2.555555…，3.01，+9，4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），+10%，． 无理数集合：{ 　4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），　…}； 负有理数集合：{ 　﹣7，﹣22，﹣2.555555…　…}； 正分数集合：{ 　，3.01，+10%　…}； 非负整数集合：{ 　0，+9　…}． 【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【解答】解：无理数集合：{4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），}； 负有理数集合：{﹣7，﹣22，﹣2.555555……}； 正分数集合：{，3.01，+10%…}； 非负整数集合：{0，+9…}； 故答案为：4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），，； ﹣7，﹣22，﹣2.555555…； ，3.01，+10%； 0，+9． 知识点03 实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是 一一对应 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 2. 利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数 大 。 【即学即练1】 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．ab﹣1＜0 【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解． 【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知0＜a＜1，b＜﹣1，|a|＜|b|， A、a+b＜0，选项说法错误，不符合题意； B、a﹣b＞0，选项说法错误，不符合题意； C、ab＜0，选项说法错误，不符合题意； D、ab﹣1＜0，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 知识点04 实数的性质 1. 相反数： 只有 符号不同 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。 若与互为相反数，则 0 。 2. 绝对值： 实数到原点的距离用 || 来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个 非负数 ，即|| ≥ 0； ②互为相反数的两个数绝对值 相等 。 3. 倒数： 非零实数的倒数为 。 若与互为倒数，则 1 。 【即学即练1】 4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1）；（2）1；（3）3﹣π． 【分析】根据相反数的意义，倒数的定义，绝对值的性质，可得答案． 【解答】解：（1）的相反数8，倒数是，绝对值是8； （2）1的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）3﹣π的相反数是﹣3+π，倒数是，绝对值是π﹣3． 知识点05 实数的大小比较 1. 估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 2. 作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ； ②若，则 ； ①若，则 ； 3. 平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 越大 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 越小 。 4. 其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 【即学即练1】 5．三个数﹣π，﹣3，的大小关系是（　　） A．﹣π＜﹣3 B．﹣π3 C．﹣3＜﹣π D．3＜﹣π 【分析】先对无理数进行估算，再利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”的法则比较大小即可． 【解答】解：﹣π≈﹣3.14，1.732， 因为3.14＞3＞1.732． 所以﹣π＜﹣3． 故选：A． 知识点06 实数的简单运算 1. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【即学即练1】 6．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式、计算绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可； （2）先化简二次根式、立方根和乘方，再计算括号内的，最后计算乘法和加减即可． 【解答】解：（1）原式＝51﹣3﹣1 ； （2）原式＝﹣1+（﹣4+8）×9 ＝﹣1+6×9 ＝﹣1+54 ＝53． 题型01 对无理数的判断 【典例1】在下列各数中是无理数的有（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），结合有理数概念逐项判断即可解题． 【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】在，π，，0这四个数中，无理数的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：2， 在，π，，0这四个数中，无理数有π，共1个． 故选：A． 【变式2】在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案． 【解答】解：无理数有1.010010001…，π，共2个， 故选：B． 题型02 对实数进行分类 【典例1】已知下列实数： ①0，②，③，④，⑤3.2，⑥．（只需填写序号） 其中整数有：　①③　，分数有：　⑤⑥　，无理数有：　②④　． 【分析】根据整数、分数、无理数的定义分类即可． 【解答】解：， 整数有：①③； 分数有：⑤⑥； 无理数有：②④； 故答案为：①③，⑤⑥，②④． 【变式1】将下列各数填入相应的集合中： ﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π 有理数集合：{ 　﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，+10%　……}； 无理数集合：{ 　4.020020002…，﹣2π　……}； 整数集合：{ 　﹣7，0，+9　……}； 分数集合：{ 　﹣22，﹣2.55555……，3.01，+10%　……}． 【分析】找出给定数列中有理数、无理数、整数以及分数，此题得解． 【解答】解：在﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π中， 有理数有：﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，+10%； 无理数有：4.020020002…，﹣2π； 整数有：﹣7，0，+9； 分数有：﹣22，﹣2.55555……，3.01，+10%． 故答案为：﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，+10%；4.020020002…，﹣2π；﹣7，0，+9；﹣22，﹣2.55555……，3.01，+10%． 【变式2】把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　②③　…}； 负分数集合：{ 　⑤⑦　…}； 正有理数集合：{ 　③⑥　…}； 无理数集合：{ 　①④　…}． 【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可． 【解答】解：整数集合：②③． 负分数集合：⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④． 【变式3】以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 【分析】根据实数的分类解答即可． 【解答】解：无理数家族：，﹣π，2.101101110…； 有理数家族：，0，； 整数：，0， 分数：． 题型03 实数与数轴的关系的应用 【典例1】如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】先观察A、B、C、D四个点表示的数在数轴上的大小，然后估算的大小，从而进行判断即可． 【解答】解：A．∵观察数轴可知点A表示的数是小于2且大于1，，∴实数在数轴上的对应点不是点A，故此选项不符合题意； B．∵观察数轴可知点B表示的数是小于3且大于2，，∴实数在数轴上的对应点不是点B，故此选项不符合题意； C．∵观察数轴可知点C表示的数是小于4且大于3，，∴实数在数轴上的对应点可能是点C，故此选项符合题意； D．∵观察数轴可知点A表示的数是小于5且大于4，，∴实数在数轴上的对应点不是点D，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点如图，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．0 C．a+b＜0 D．b﹣a＜0 【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，再根据实数的相关运算法则逐项判断即可． 【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|， 那么ab＜0，则A不符合题意； 0，则B符合题意； a+b＞0，则C不符合题意； b﹣a＞0，则D不符合题意； 故选：B． 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．﹣2b D．2b 【分析】根据图示，可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，据此化简|a+b|﹣|a﹣b|即可． 【解答】解：∵﹣1＜a＜0＜1＜b， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴|a+b|﹣|a﹣b| ＝（a+b）+（a﹣b） ＝2a 故选：A． 【变式3】如图，一个边长为1的正方形ABCD放置在数轴上，边AD与数轴重合，点A对应数字1．现将正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动，那么2025对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据由于正方形的顶点每4次循环一次得出规律即可求解． 【解答】解：∵点A对应的数1，正方形ABCD的边长为1， ∴点D对应的数字为2， ∵正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动时，周期为4， ∴2025÷4＝506...1， ∴2025对应的点是点A， 故选：A． 题型04 实数的性质的应用 【典例1】实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相反数的定义，即可求解． 【解答】解：实数的相反数是， 故选：B． 【变式1】已知实数a＝|﹣2024|，则实数a的倒数为（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可． 【解答】解：a＝|﹣2024|＝2024，2024的倒数为， 故选：B． 【变式2】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与 D．|﹣3|与3 【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再利用互为相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：A．﹣3与3，两数是互为相反数，故此选项符合题意； B．﹣3与3，两数相等，故此选项不合题意； C．3与，两数不是互为相反数，故此选项不合题意； D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意； 故选：A． 【变式3】若和互为相反数，求x：y的值为（　　） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【分析】利用相反数的定义得出关于x，y的等式，进而求出答案． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴3y﹣1+1﹣2x＝0， 则2x＝3y， ∴x：y＝3：2． 故选：B． 题型05 对实数进行大小比较 【典例1】下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣5 B． C．1 D．π 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣51＜π， ∴最小的数是：﹣5． 故选：A． 【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的意义进行比较，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，且﹣a＜b，据此把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列即可． 【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b， ∴﹣a＞0，﹣b＜0， ∵﹣a＜b， ∴﹣b＜a， ∴﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：B． 【变式3】若a，b＝﹣||，c，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】根据实数大小的比较方法比较即可． 【解答】解：∵a，b＝﹣||，c2， ∵2， ∴b＜a＜c， 故选：B． 题型06 实数的简单运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据数的开方法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3 ＝﹣2； （2）原式 ＝3． 【变式1】计算： （1）； （2）|1|． 【分析】（1）原式利用立方根，二次根式性质计算即可得到结果； （2）原式利用算术平方根，立方根，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝4+3﹣（﹣1）＝8； （2）原式＝7﹣313． 【变式2】定义新运算：a※b＝ab+a﹣b，a▽b＝a2，a，b是实数，如：2※（﹣3）＝2×（﹣3）+2﹣（﹣3）＝﹣1，2▽5＝22． （1）求（﹣2）※（﹣1）的值； （2）求[1※（﹣3）]▽（﹣2）的值． 【分析】（1）根据已知条件a※b＝ab+a﹣b，把所求算式中的数代入进行计算即可； （2）先根据a※b＝ab+a﹣b，把a，b表示的数代入求出1※（﹣3），再根据a▽b＝a2，求出答案即可． 【解答】解：（1）∵a※b＝ab+a﹣b， ∴（﹣2）※（﹣1） ＝（﹣2）×（﹣1）+（﹣2）﹣（﹣1） ＝2+（﹣2）+1 ＝1； （2）∵a※b＝ab+a﹣b， ∴1※（﹣3） ＝1×（﹣3）+1﹣（﹣3） ＝﹣3+1+3 ＝3﹣3+1 ＝1， ∵a▽b＝a2， ∴[1※（﹣3）]▽（﹣2） ＝1▽（﹣2） ． 1．下列四个数：2，，，﹣1，其中最小的数是（　　） A．2 B． C． D．﹣1 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵1＜2， ∴最小的数是：． 故选：B． 2．下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，3是整数，属于有理数； 在实数，0，，，，，0.101001中，是无理数的有：，，，共3个． 故选：B． 3．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用实数的运算法则，合并同类项法则，求平方根、求立方根的方法来判断即可． 【解答】解：325，A选项计算结果错误； 5，B选项计算结果错误； 3，C选项计算结果错误； 4，D选项计算结果正确； 故选：D． 4．下列各数中与最接近的是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解答】解：∵， ∴2.54， ∴与最接近的是4， 故选：B． 5．下列说法： ①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数； ②任何正数都有两个互为相反数的平方根； ③立方根等于本身的数有1，0，﹣1； ④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】分别根据倒数的定义，平方根、立方根和算术平方根的定义判断即可． 【解答】解：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数，此说法正确； ②任何正数都有两个互为相反数的平方根，此说法正确； ③立方根等于本身的数有1，0，﹣1，此说法正确； ④一个数的算术平方根一定比原数小，此说法错误，比如，0的算术平方根是0，故符合题意； 故选：D． 6．若的整数部分用a表示，小数部分用b表示，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可． 【解答】解：∵的整数部分用a表示， ∴a＝1， 小数部分用b表示， 则， ， 故选：A． 7．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0 【分析】根据数轴上的点确定a、b的正负以及两数绝对值的大小，再通过加法、乘法的符号法则得结论． 【解答】解：由数轴知：a＜0＜b，|a|＜|b| 由于a＜b，故选项A错误； 由于|a|＜|b|，故选项B错误； 由于|a|＜b，a＜b，所以﹣a＜b，故选项C正确； 由于|a|＜|b|，a＜0＜b，|，所以a+b＞0，故选项D错误． 故选：C． 8．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．6 【分析】首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出a的值是多少，进而求出c的值是多少；然后根据c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，求出m的值为多少即可． 【解答】解：∵AB＝8， ∴6﹣a＝8， 解得a＝﹣2， ∵a+c＝0， ∴c＝2， ∵c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解， ∴2（m﹣4）+16＝0， 解得m＝﹣4． 故选：A． 9．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与数轴上的点B重合，则点B对应的实数为（　　） A．π﹣1 B．π+1 C．2π﹣1 D．2π+1 【分析】因为圆从原点沿数轴向右滚动一周，可知AB＝2π，再根据数轴的特点即可解答． 【解答】解：∵直径为2个单位长度的圆从表示﹣1 的点沿数轴向右滚动一周， ∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示﹣1的点的右侧． ∴A点对应的数是2π﹣1． 故选：C． 10．已知，实数a，b在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（　　） A．b﹣1 B．﹣2a+b+1 C．﹣2a﹣b+1 D．b+1 【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【解答】解：由数轴得a＜0＜b且|a|＞|b|， ∴2a＜0，|2a|＞|b|， ∴2a+b＜0， ∴ ＝﹣a+1+（﹣a）﹣（﹣2a﹣b） ＝﹣a+1﹣a+2a+b ＝b+1； 故选：D． 11．比较大小： 　＜　．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】应用放缩法，判断出与2.5的关系，进而判断出与的关系即可． 【解答】解：∵，2.5， ∴2.5， ∴， ∴． 故答案为：＜． 12．的立方根是　　，的平方根是　±3　，的绝对值是　2　． 【分析】直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：的立方根是； 的平方根是±3； ， 故答案为：，±3，． 13．已知整数m满足，则m的值为 　3　． 【分析】估算的大小，结合m为整数，即可求解． 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴34， ∵m为整数， ∴m＝3， 故答案为：3． 14．规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝　3　． 【分析】根据题中给到的新运算，先计算a★b然后直接代入数据计算（a★b）★b即可． 【解答】解：∵a★ba2 32 ＝7﹣9 ＝﹣2， ∴（a★b）★b ＝7﹣4 ＝3． 故答案为：3． 15．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 　①②④　（写出正确的序号）． 【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断； ④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断； ⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断． 【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则1，本选项正确； ②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确； ③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误； ④a＜b， ∴a﹣3＜b﹣3， ∵ab＜0， ∴a＜0，b＞0， 当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|， ∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意； 所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|， ∴3﹣a＜b﹣3， 则a+b＞6， 本选项正确； 则其中正确的有3个． 故答案为：①②④． 16．把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣2.4，3，，，，0，，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣|﹣4|，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）． 正有理数集合：{　　…}． 负分数集合：{　　…}． 无理数集合：{　（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）　…}． 【分析】根据实数的分类解题即可． 【解答】解：﹣（﹣2.28）＝2.28，﹣|﹣4|＝﹣4， 正有理数集合：； 负分数集合：； 无理数集合：（，0.141041004⋯（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1））． 17．计算： （1）5﹣（﹣2）+（﹣3）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【解答】解：（1）5﹣（﹣2）+（﹣3） ＝5+2﹣3 ＝4； （2）原式 ＝1﹣1+3 ＝3； （3）原式 ＝2+4﹣9 ＝﹣3； （4）原式＝﹣1×（﹣8）+3﹣（﹣4）×4 ＝8+3+16 ＝27． 18．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，|b|＝1，|c|＝5，且b与c乘积小于0，b+c＞0，请回答问题． （1）请直接写出a、b、c的值：a＝ 　﹣1　，b＝ 　﹣1　，c＝ 　5　，d＝ 　0　． （2）计算a×b﹣c+d的值． （3）若x是c的算术平方根的小数部分，求2x+6的值． 【分析】（1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案； （2）将（1）中数值代入计算即可； （3）根据x是c的算术平方根的小数部分，c＝5，得，再代入2x+6计算即可． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，d的相反数是它本身， ∴a＝﹣1，d＝0， ∵|b|＝1，|c|＝5，且b与c乘积小于0，b+c＞0， ∴b＝﹣1，c＝5． 故答案为：﹣1，﹣1，5，0； （2）由（1）得：a＝﹣1，b＝﹣1，c＝5，d＝0， ∴a×b﹣c+d ＝（﹣1）×（﹣1）﹣5+0 ＝1﹣5 ＝﹣4； （3）∵x是c的算术平方根的小数部分，c＝5， ∴， ∴的整数部分是2， ∴， ∴． 19． 例：∵9，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为2． 请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． （1）的相反数是 　　，的整数部分是 　3　；8的整数部分是 　4　，8的整数部分是 　11　； （2）已知8的小数部分是m，8的小数部分是n．若（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 【分析】（1）仿照题中给出的方法解答即可； （2）结合（1）中的结论即可求出m、n的值，再根据平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）的相反数是， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的整数部分是4， ∵， ∴， ∴的整数部分是11， 故答案为：，3，4，11； （2）∵的整数部分是4， ∴的小数部分是，即m， ∵的整数部分是11， ∴的小数部分是，即n， ∴m+n， ∵（x﹣1）2＝m+n， ∴（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝±1， ∴x＝2或x＝0． 20．（1）用“＞”、“＜”或“＝”填空：　＜　　＜　　＜　； （2）由（1）可知： ①　　； ②　　； ③　　； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【分析】（1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【解答】解：（1）∵1＜2＜3＜4， ∴； 故答案为：＜，＜，＜； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ② ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数及其简单运算 课程标准 学习目标 ①无理数的概念及其常见的形式 ②实数的概念及其分类 ③实数与数轴 ④实数的性质 ⑤实数的大小比较 ⑥实数的运算 1. 掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。 2. 掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。 3. 掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。 4. 掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。 5. 掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。 6. 掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。能够熟练运用。 知识点01 无理数的概念 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有 ，且被开方数开方 。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 【即学即练1】 1．在3.14，，，，，中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点02 实数及其分类 1. 实数的概念： 与 统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 【即学即练1】 2．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，，﹣2.555555…，3.01，+9，4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），+10%，． 无理数集合：{ 　 　…}； 负有理数集合：{ 　 　…}； 正分数集合：{ 　 　…}； 非负整数集合：{ 　 　…}． 知识点03 实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 2. 利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数 。 【即学即练1】 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．ab﹣1＜0 知识点04 实数的性质 1. 相反数： 只有 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。 若与互为相反数，则 。 2. 绝对值： 实数到原点的距离用 来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个 ，即|| 0； ②互为相反数的两个数绝对值 。 3. 倒数： 非零实数的倒数为 。 若与互为倒数，则 。 【即学即练1】 4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1）；（2）1；（3）3﹣π． 知识点05 实数的大小比较 1. 估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 2. 作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ； ②若，则 ； ①若，则 ； 3. 平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 。 4. 其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 【即学即练1】 5．三个数﹣π，﹣3，的大小关系是（　　） A．﹣π＜﹣3 B．﹣π3 C．﹣3＜﹣π D．3＜﹣π 知识点06 实数的简单运算 1. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【即学即练1】 6．计算： （1）； （2）． 题型01 对无理数的判断 【典例1】在下列各数中是无理数的有（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【变式1】在，π，，0这四个数中，无理数的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 对实数进行分类 【典例1】已知下列实数： ①0，②，③，④，⑤3.2，⑥．（只需填写序号） 其中整数有：　 　，分数有：　 　，无理数有：　 　． 【变式1】将下列各数填入相应的集合中： ﹣7，0，﹣22，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π 有理数集合：{ 　 　……}； 无理数集合：{ 　……}； 整数集合：{ 　 ……}； 分数集合：{ 　 　……}． 【变式2】把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【变式3】以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧． 题型03 实数与数轴的关系的应用 【典例1】如图，实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点如图，则下列结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．0 C．a+b＜0 D．b﹣a＜0 【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．﹣2b D．2b 【变式3】如图，一个边长为1的正方形ABCD放置在数轴上，边AD与数轴重合，点A对应数字1．现将正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动，那么2025对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型04 实数的性质的应用 【典例1】实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知实数a＝|﹣2024|，则实数a的倒数为（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【变式2】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与 D．|﹣3|与3 【变式3】若和互为相反数，求x：y的值为（　　） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 题型05 对实数进行大小比较 【典例1】下列四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣5 B． C．1 D．π 【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【变式3】若a，b＝﹣||，c，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 题型06 实数的简单运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）|1|． 【变式2】定义新运算：a※b＝ab+a﹣b，a▽b＝a2，a，b是实数，如：2※（﹣3）＝2×（﹣3）+2﹣（﹣3）＝﹣1，2▽5＝22． （1）求（﹣2）※（﹣1）的值； （2）求[1※（﹣3）]▽（﹣2）的值． 1．下列四个数：2，，，﹣1，其中最小的数是（　　） A．2 B． C． D．﹣1 2．下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各数中与最接近的是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．下列说法： ①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数； ②任何正数都有两个互为相反数的平方根； ③立方根等于本身的数有1，0，﹣1； ④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．若的整数部分用a表示，小数部分用b表示，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 7．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0 8．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．6 9．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与数轴上的点B重合，则点B对应的实数为（　　） A．π﹣1 B．π+1 C．2π﹣1 D．2π+1 10．已知，实数a，b在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（　　） A．b﹣1 B．﹣2a+b+1 C．﹣2a﹣b+1 D．b+1 11．比较大小： 　 　．（填“＞”、“＜”或“＝”） 12．的立方根是　 ，的平方根是　 　，的绝对值是　 　． 13．已知整数m满足，则m的值为 　 　． 14．规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝　 　． 15．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 　 　（写出正确的序号）． 16．把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣2.4，3，，，，0，，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣|﹣4|，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）． 正有理数集合：{　 　…}． 负分数集合：{　 …}． 无理数集合：{　 　…}． 17．计算： （1）5﹣（﹣2）+（﹣3）； （2）； （3）； （4）． 18．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，|b|＝1，|c|＝5，且b与c乘积小于0，b+c＞0，请回答问题． （1）请直接写出a、b、c的值：a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　，d＝ 　 　． （2）计算a×b﹣c+d的值． （3）若x是c的算术平方根的小数部分，求2x+6的值． 19． 例：∵9，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为2． 请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． （1）的相反数是 　 　，的整数部分是 　 　；8的整数部分是 　 　，8的整数部分是 　 　； （2）已知8的小数部分是m，8的小数部分是n．若（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 20．（1）用“＞”、“＜”或“＝”填空：　 　　 　　 　； （2）由（1）可知： ①　 　； ②　 ； ③　 ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$