第04讲 多边形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第04讲 多边形 课程标准 学习目标 多边形的相关概念 1.掌握多边形的内角和公式 2 掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题 知识点01 多边形内角和的应用 (1) 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. (2) 在平面内,边相等,角也都相等的多边形叫作正多边形. (3)n边形的内角和等于(n-2)·180° 【即学即练1】 ．一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答，对于定理的理解是解决本题的关键． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 【即学即练2】 若一个n边形的内角和是，则n的值为（    ） A． B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和公式，根据边形内角和为直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵n边形的内角和是， ∴， 解得：， 故选：B． 知识点02 多边形外角和的应用 (1)在多边形的每个顶点处取一个外角,它们的和叫作这个多边形的外角和. (2)任意多边形的外角和等于360° 【即学即练1】 一个多边形的每一个外角都等于．则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的外角的个数为， ∴这个多边形的边数是9， 故选：D． 【即学即练2】 下列多边形的内角和比它的外角和多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意有， 解得：， 即这个多边形是五边形， 故选：C． 题型01 多边形的概念与分类 【典例1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 【变式1】下列图形为正多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键：边长相等，内角也相等的多边形叫做正多边形． 根据正多边形的定义对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．不是多边形，故不符合题意； B．边长不相等，不是正多边形，故不符合题意； C．边长不相等，不是正多边形，故不符合题意； D．边长相等，内角也相等，是正多边形，故符合题意； 故选：D． 【变式2】下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解：正多边形的各条边都相等，各个角都相等，A，B正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，C正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故D错误． 故选：D． 【变式3】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 题型02 多边形的周长 【典例1】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式1】学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质和求多边形的周长，直接利用平移的性质将原图形平移为矩形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，这个多边形的周长为， 故答案为：． 【变式2】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 【变式3】正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 题型03 多边形内角和问题 【典例1】图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（   ） A．135 B．120 C．112.5 D．112 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用等知识．根据六边形的内角和列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故选：C． 【变式1】如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式．边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】如图，已知五边形中，，则图形中 x 的值是（   ） A．75 B．80 C．85 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，平行线的性质，根据平行线的性质，求出的度数，求出五边形的内角和，再减去其他四个角的度数，即可求解． 【详解】解：∵五边形， ∴内角和为：， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式3】正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的定义，多边形的外角和；由多边形的内角得每个外角为，由多边形的外角和，即可求解；理解正多边形的定义，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：正多边形的一个内角为， 正多边形的每个外角为， 正多边形的边数为：， 故选：A． 题型04 正多边形的内角问题 【典例1】正五边形的内角和等于 ． 【答案】/540度 【分析】根据多边形的内角和公式即可求解， 本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 【详解】解：五边形的内角和， 故答案为：． 【变式1】若一个正n边形，绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为 （写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一5的倍数即可） 【分析】此题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案． 【详解】解：， 有一个正n边形，绕某一点旋转后能与自身重合，n可能的值为5， 故答案为：5（答案不唯一）． 【变式2】如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 【答案】 /80度 /180度 【分析】本题考查了多边形的外角和，以及三角形的内角和． （1）根据图1可求出的度数，根据图2可求出的度数，进而可得答案； （2）利用的外角和是，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）由图1可知，恰好是正六边形的一个外角，则， 由图2可知，恰好是正九边形的一个外角，则， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵的外角和是， ∴， ∴． 故答案为：． 题型05 多边形截角后的内角和问题 【典例1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】5，6，7 【分析】本题考查了多边形内角和．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 【变式1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【变式2】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 【变式3】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 题型06 复杂图形的内角和 【典例1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式2】如图，在多边形中，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键； 本题连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ， ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 题型07 正多边形的外角问题 【典例1】正九边形每个外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键．根据多边形的外角和是360度求解即可． 【详解】解：正九边形每个外角的度数是， 故选：A． 【变式1】若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 题型08 平面镶嵌 【典例1】下面四种正多边形平面镶嵌，每个顶点处正多边形不完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面镶嵌，根据图形逐项分析即可得出答案，掌握一个顶点处的度数是解此题的关键． 【详解】解：A、如图中点处， ， 由两个正六边形和两个正三角形围城，则，不符合题意； B、如图中点处， ， 由一个正方形和两个正八边形围城，则，不符合题意； C、如图中点处， ， 由两个正六边形和两个正三角形围城，则，不符合题意； 而D选项符合题意， 故选：D． 【变式1】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 【答案】D 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)，根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A选项，三角形内角和是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； B选项，正方形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； C选项，正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故该选项不符合题意； D选项，正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 【变式3】【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 题型09 多边形外角和的实际应用 【典例1】“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和是，由多边形的外角和是进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 【变式2】“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键．根据多边形的外角和为，再结合图形即可解答． 【详解】解：多边形的外角和为， ， ，， ． 故选：A． 题型10 多边形内角和与外角和综合 【典例1】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和，根据多边形的外角和是求出多边形的边数，再用多边形的内角和公式求出多边形的内角和即可． 【详解】解：多边形的边数为， 这个多边形的内角和是， 故选：B． 【变式1】如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握多边形外角和为． 根据多边形外角和为360度求出，再根据三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，八边形中，、的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，先求出，再求出五边形的内角和，即可得解． 【详解】解：∵，，，的外角和等于， ∴， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选：A． 【变式3】一个多边形的边数从减少到（，且为正整数），下列说法正确的是（   ） A．内角和、外角和都不变 B．内角和不变、外角和减少 C．内角和减少、外角和不变 D．内角和、外角和都减少 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式、外角和定理求解即可． 此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式、外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设多边形的边数为， 则多边形的内角和公式为，多边形的外角和为， 一个多边形的边数从减少到（，且为正整数）， 则内角和减少 、外角和不变， 故选：C． 一、单选题 1．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除． 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：A、正三角形每个内角是，能整除，能密铺，故选项不符合题意； B、正方形的每个内角是，能整除，4个能密铺，故选项不符合题意； C、正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺，故选项符合题意； D、正六边形的每个内角是，能整除，3个能密铺，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设这个多边形的边数为，列式得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， ， 故选： B． 3．从一个多边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线和边数的关系，从一个顶点出发可以画出条对角线，为多边形的边数． 根据从一个顶点出发，可以画条对角线，计算即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， ， 故选： D． 4．若正多边形的内角和是，则该正多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角和．边形的内角和可以表示成，根据题意列方程，求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和为解答即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据题意列方程，得， 解得， ∴该正多边形的边数是9， ∵多边形的外角和为， ， ∴该正多边形的一个外角为． 故选：B． 5．如图是一个正六边形，该正六边形所有的对角线条数之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查正多边形对角线的条数，掌握分析方法，从每一个顶点连成对角线的条数出发，确定是否重复即可确定答案，熟练掌握多边形对角线条数分析方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 不妨从点出发，可以连接的对角线有共3条； 同理，从其它的顶点出发，可以连接的对角线都是3条； 按照这样计算，共连成对角线条， 由于对角线和是同一条，则按照上述情况计算的对角线条数出现了重复计数， 正六边形所有的对角线条数之和为条， 故选：D． 6．如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和“一个多边形的内角和等于，其中为多边形的边数，，且为整数”，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式求解即可得． 【详解】解：由六边形的内角和得：这个多边形的内角和度数为， 故选：A． 7．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】解：A．正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，，故正方形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； B．正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角，的整数倍与的整数倍的和不等于，选项符合题意； C．正六边形的每个内角为，，故正六边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； D．正十二边形的每个内角为，，故正十二边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意． 故选：B． 8．下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线段中点定义判断①；根据线段最短判断②；根据正多边形的定义判断③；根据三棱柱的定义可判断④；根据有理数加法法则可判断⑤；根据多形式的定义可判断⑥． 【详解】解：①当点三点在同一直线上时，如果，那么点是线段的中点，故原说法错误； ②两点之间线段最短，故原说法错误； ③各条边都相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，故原说法错误； ④三棱柱有六个顶点，九条棱，该说法正确； ⑤两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如，故原说法错误； ⑥多项式是三次三项式，该说法正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段、线段中点、正多边形、三棱柱，有理数的加法，多项式的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9．如图，正五边形中，以为一边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．根据正五边形内角和为，得到，，结合是等边三角形，得到是等腰三角形，求出，即可解答， 【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，等边的边长为5，点D，P，L分别在边，，上，（），按如图方式作边长均为3的等边，，，点F，R．N分别在射线,,上． 结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，； 结论Ⅱ：当点D与点B重合时，，，围成的三角形的周长为3． 针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形，关键是掌握等边三角形的判定和性质，正多边形的判定方法．由等边三角形的判定和性质，正多边形的判定，即可解决问题． 【详解】解：由题意得到：，，是等边三角形， ∵， ∴当时，六边形是正六边形， ∵等边的边长为5， ， ∴， ， ∴结论Ⅰ不对； ∵, 是边长为3的等边三角形， ∴， 显然四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∵， ∴， 显然是等边三角形， ∴，，围成的三角形的周长为3． ∴结论Ⅱ正确， 故选：C 二、填空题 11．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则 ． 【答案】336 【分析】本题主要考查了多边形外角和，邻补角定义，先根据多边形外角和为，求出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：336． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】考查了多边形内角与外角，一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是，则内角和是，边形的内角和可以表示成，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得． ∴这个多边形的边数是10．， 故答案为：． 13．如图，点，分别在四边形的边，上，将沿直线翻折，点恰好落在边上，若，，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，四边形的内角和，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】解：将沿直线翻折，点恰好落在边上， ∴， ，， ， ， ， ， 故答案为： 14．如图，以正五边形的边为边，顶点为顶点，在正五边形的外部作正方形和等边三角形，则的度数是 ． 【答案】/102度 【分析】本题主要考查了正多边的内角和定理，周角定理，等边三角形等知识，先分别求出正五边形的一个内角，等边三角形的一个内角，方形的一个内角，最后再根据周角为360度计算即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角为：，等边三角形的一个内角为，正方形的一个内角为：， ∴， 故答案为：． 15．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 16．为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和的计算是解题的关键，由城五边形是正五边形，，再根据四边形为正方形，得到，，从而推出，，进而得到． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：99 17．一个正三角形与一个正五边形按照如图所示放置，正三角形的一条边与正五边形的一条边完全重合，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了多边形的内角问题，正三角形的性质，解题的关键是确定正五边形的一个内角的度数． 求得正五边形的一个内角和正三角形的一个内角后相减即可确定答案． 【详解】解：正五边形内角和为：， 正五边形一个内角为：， 等边三角形一个内角为：， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质证为等边三角形，证．又证三点共线，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、C、E三点在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式及外角和是，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 20．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】这个多边形的边数为5，内角和为 【分析】本题考查了多边形的内角和、一元一次不等式的应用，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．设这个多边形的边数为，这个外角为，根据多边形的内角和公式列出等量关系，整理得，由解得，得出，即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为，这个外角为， 由题意得，， 整理得：， ， ， ， 又为正整数， ， 这个多边形的内角和为． 这个多边形的边数为5，内角和为． 21．如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，延长交于点M． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2)9 【分析】（1）先根据多边形内角和公式和正六边形定义得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得到，再根据角度和差证明即可； （2）根据三角形的外角定理求出，再根据30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵六边形是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ 即是直角三角形； （2）解：在中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，三角形的内角和定理、三角形的外角性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以 两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 多边形 课程标准 学习目标 多边形的相关概念 1.掌握多边形的内角和公式 2 掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题 知识点01 多边形内角和的应用 (1) 在平面内,由一些线段 相接组成的 图形叫作多边形. (2) 在平面内,边相等,角也都 的多边形叫作正多边形. (3)n边形的内角和等于 【即学即练1】 一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 若一个n边形的内角和是，则n的值为（    ） A． B．9 C．8 D．7 知识点02 多边形外角和的应用 (1)在多边形的每个顶点处取一个外角,它们的和叫作这个多边形的外角和. (2)任意多边形的外角和等于 【即学即练1】 一个多边形的每一个外角都等于．则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【即学即练2】 下列多边形的内角和比它的外角和多的是（   ） A． B． C． D． 题型01 多边形的概念与分类 【典例1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】下列图形为正多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【变式3】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 多边形的周长 【典例1】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【变式1】学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为 ．    【变式2】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【变式3】正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 题型03 多边形内角和问题 【典例1】图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（   ） A．135 B．120 C．112.5 D．112 【变式1】如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知五边形中，，则图形中 x 的值是（   ） A．75 B．80 C．85 D．不能确定 【变式3】正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．7 D．4 题型04 正多边形的内角问题 【典例1】正五边形的内角和等于 ． 【变式1】若一个正n边形，绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为 （写出一个即可）． 【变式2】如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 题型05 多边形截角后的内角和问题 【典例1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【变式1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【变式2】在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【变式3】已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 题型06 复杂图形的内角和 【典例1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在多边形中，，，则 ． 【变式3】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 题型07 正多边形的外角问题 【典例1】正九边形每个外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 题型08 平面镶嵌 【典例1】下面四种正多边形平面镶嵌，每个顶点处正多边形不完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(   ) A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形 【变式2】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【变式3】【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 题型09 多边形外角和的实际应用 【典例1】“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（    ） A． B． C． D． 【变式2】“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型10 多边形内角和与外角和综合 【典例1】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，是五边形的三个外角，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，八边形中，、的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】一个多边形的边数从减少到（，且为正整数），下列说法正确的是（   ） A．内角和、外角和都不变 B．内角和不变、外角和减少 C．内角和减少、外角和不变 D．内角和、外角和都减少 一、单选题 1．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 2．如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 3．从一个多边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 4．若正多边形的内角和是，则该正多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个正六边形，该正六边形所有的对角线条数之和为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 7．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（   ） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形 8．下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，正五边形中，以为一边作等边三角形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 点D，P，L分别在边，，上，（），按如图方式作边长均为3的等边，，，点F，R．N分别在射线,,上． 结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，； 结论Ⅱ：当点D与点B重合时，，，围成的三角形的周长为3． 针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对 二、填空题 11．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则 ． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ． 13．如图，点，分别在四边形的边，上，将沿直线翻折，点恰好落在边上，若，，则 ． 14．如图，以正五边形的边为边，顶点为顶点，在正五边形的外部作正方形和等边三角形，则的度数是 ． 15．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 16．为筹备学校秋季运动会，小明制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是 °． 17．一个正三角形与一个正五边形按照如图所示放置，正三角形的一条边与正五边形的一条边完全重合，则 ． 18．如图，在中，，以为边向形外作等边，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长 ． 三、解答题 19．（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 20．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求这个多边形的边数及内角和． 21．如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，延长交于点M． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 22．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$