第05讲 平行四边形的性质-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第05讲 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 平行四边形的性质 1、通过观察和度量，准确叙述平行四边形的概念和性质，并应用平行四边形的概念及其性质进行计算和证明。 2、综合运用平行四边形的性质解决问题，加强对“数形结合”“化归”等数学思想与方法的体会，提升推理能力、逻辑思维能力和直观想象能力。 知识点01 平行四边形边的性质 (1)两组对边分别 的四边形叫作平行四边形. (2)平行四边形 ABCD记作“□ABCD”. (3)平行四边形的 相等. 【即学即练1】 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 知识点02 平行四边形角的性质 平行四边形的对角 . 【即学即练1】 如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：． 知识点03 平行四边形对角线的性质 (1) 平行四边形的对角线互相 . (2)平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形分成四个 相等的三角形. 【即学即练1】 如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 题型01 利用平行四边形的性质求解 【典例1】如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【变式2】如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 题型02 利用平行四边形的性质证明 【典例1】如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点，于点．证明：． 【变式1】如图，在中，于点，于点，求证：． 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【变式3】已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 题型03 平行四边形性质的其他应用 【典例1】为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【变式1】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式3】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 一、单选题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 2．如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 5．如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 6．如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．8 8．如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．在平行四边形中，，则与之间的距离为 12．如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 13．在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 14．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 15．如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 16．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    三、解答题 17．如图，的对角线相交于点，两条对角线的和为的长为，求的周长． 18．如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 19．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 20．如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 21．如图，在平行四边形中， ，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)． 22．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 23．如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示．） (2)当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行四边形的性质 课程标准 学习目标 平行四边形的性质 1、通过观察和度量，准确叙述平行四边形的概念和性质，并应用平行四边形的概念及其性质进行计算和证明。 2、综合运用平行四边形的性质解决问题，加强对“数形结合”“化归”等数学思想与方法的体会，提升推理能力、逻辑思维能力和直观想象能力。 知识点01 平行四边形边的性质 (1)两组对边分别平行 的四边形叫作平行四边形. (2)平行四边形 ABCD记作“□ABCD”. (3)平行四边形的对边 相等. 【即学即练1】 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 知识点02 平行四边形角的性质 平行四边形的对角相等. 【即学即练1】 如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行四边形得到，，，结合，根据平行线的性质得到，即可证明全等． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点03 平行四边形对角线的性质 (1) 平行四边形的对角线互相平分. (2)平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形. 【即学即练1】 如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的定义得，，由平行四边形的性质得，，然后根据证明，进而可得结论成立． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：垂直平分 ，． 四边形是平行四边形， ，． 在与中 ． ， ． 题型01 利用平行四边形的性质求解 【典例1】如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式1】如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 【变式2】如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 题型02 利用平行四边形的性质证明 【典例1】如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点，于点．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ． ，， ． ． ． 【变式1】如图，在中，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由此可证 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ． 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【变式3】已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两条直线平行，内错角相等，即可得．先证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型03 平行四边形性质的其他应用 【典例1】为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【变式1】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 【变式2】有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 【变式3】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 一、单选题 1．平行四边形一定具有的特征是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【详解】A.平行四边形的对边相等，四边不一定相等，此项不符合题意； B.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，此项不符合题意； C.平行四边形的对角相等，但四个角不一定是直角，此项不符合题意； D.平行四边形的对角线互相平分，此项符合题意； 故选：D 2．如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 根据根据平角等于列式计算求出的度数，再平行四边形的对角相等，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：A． 3．如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 4．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 6．如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，，，，进而判断①；若，则，显然与已知条件不符，可判断②；证明，得到，，可判断③；再证明，得到，可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， 故①正确； 若，则，显然与已知条件不符， 与不一定相等， 故②不正确； ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； 在和中， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 7．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：B． 8．如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上定理与性质是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ②如图，延长，交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ④设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：C． 9．如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长， 故选：D． 10．如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键． 由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得 ；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故正确； ， ，故正确； ，， ， ，故错误； ，，， ， ， ， ， ，故错误； 故选：B． 二、填空题 11．在平行四边形中，，则与之间的距离为 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据题意作图过点作于点，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下，，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴与之间的距离为， 故答案为： ． 12．如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 13．在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则 ． 【答案】/145度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．角平分线的尺规作图可得，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 【答案】2或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题根据 分情况讨论：当时，作于点， 于点，得到，，，得到； 当时，作于点，于点，由题意得到，证明，得到，求出，即可得到的值；求出，得到，得到答案即可． 【详解】解：平行四边形，，， ，， 为等腰三角形， 当时， 如图，作于点， 于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 当时， 如图，作于点，于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，连接，作于点，于点， ， ， ， ， 不是等腰三角形； 故答案为：或． 16．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 根据，不妨设，当在之间时，由翻折的性质知：，可得，，由三线合一得到，继而由可求解；当在的延长线上时，同理可求解． 【详解】解：当在之间时，作下图，    根据，不妨设， 由翻折的性质知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， ∵过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图，    根据，不妨设， 同理知：， ∵过作的垂线交于， ， 故答案为：或． 三、解答题 17．如图，的对角线相交于点，两条对角线的和为的长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，因为四边形为平行四边形，，，即可作答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ． 的周长为． 18．如图，在平行四边形中，，，，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会作垂线构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，利用平行四边形和直角三角形的性质可得，得到，进而得到，在中利用勾股定理求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点作交延长线于点，则有， 平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 19．如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 20．如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 21．如图，在平行四边形中， ，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义； （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， 依题意，，， ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ， ， ， ； 当点在边的延长线上时，， ， ， 综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形 （3）如图，连接交于， 线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 必过的中点， ， ， ， 在和中， ， ， 依题意，，， ，， ， ， 时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 故答案为： 22．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)平行四边形面积为． 【分析】（）根据线段中点的定义得到，根据平行四边形的性质得到 ，，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （）由（）知，根据等腰三角形的性质得到 ，过点作于，求得，根据勾股定理和平行四边形的面积公式即可得到结论； 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为线段的中点； （2）解：由（）知， ∵， ∴， 过点作于， ∴， 在和中，， 即 解得， ∴ ∴， ∴平行四边形面积． 23．如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示．） (2)当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)t的值为 或1或4 【分析】（1）点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，进行计算即可得； （2）若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，则，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当点P在线段上，且，则，进行计算即可得，当点P在线段上，且，过点P作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点P在线段的延长线上，且，过点E作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【详解】（1）解：点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， 由（1）得，， 根据题意得，， ∴当时，， 当时，， 综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，或． （3）解：过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当点P在线段上，且， 则， ∴， ， 当点P在线段上，且，如图所示，过点P作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 当点P在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或1或4． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$