贵州省江口中学2024届高三数学押题卷2

贵州省江口中学2024届高三数学复习卷（2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于　　 A．2023 B．2024 C．2025 D．2048 2．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是　　 A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5 3．，为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为　　 A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 4．已知，表示两条直线，，，表示三个平面，则下列是真命题的有　　个． ①若，，，则； ②若，相交且都在，外，，，，，则； ③若，，则； ④，，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则的值为　　 A． B．1 C．4 D． 6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则　　 A． B． C．3 D．7 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 8．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间　　 A．， B．， C． D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 10．若的三个内角，，的正弦值为，，，则　　 A．，，一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．，，一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 11．已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，，，且，则下列说法正确的是　　 A．存在实数，使得 B． C． D．为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为复数的共轭复数，若复数满足，则　　． 13．正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 　　，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 　　． 14．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性． 16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （1）求的概率分布； （2）求的数学期望． 参考数据：． 17．（15分）在三棱柱中，，，点为中点． （1）求的长； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知为曲线上任意一点，直线，与圆相切，且分别与交于，两点，为坐标原点． （1）若为定值，求的值，并说明理由； （2）若，求面积的取值范围． 19．（17分）已知，，，为有穷正整数数列，且，集合，0，．若存在，，2，，，使得，则称为可表数，称集合，，，2，，为可表集． （1）若，，，2，，，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，2，，，证明：； （3）设，，2，，，若，2，，，求的最小值． 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于　　 A．2023 B．2024 C．2025 D．2048 【解析】：， 则． 故选：． 2．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是　　 A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5 【解析】：将这12个数据从小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 由，可知这组数据的第25百分位数为， 由，可知这组数据的第50百分位数为， 由，可知这组数据的第75百分位数为，所以这组数据的四分位数不可能是9.9． 故选：． 3．，为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为　　 A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【解析】：由圆的方程得到圆心坐标为，半径， 由为圆内一点得到：， 则圆心到已知直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为：相离． 故选：． 4．已知，表示两条直线，，，表示三个平面，则下列是真命题的有　　个． ①若，，，则； ②若，相交且都在，外，，，，，则； ③若，，则； ④，，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】：对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，满足条件，但它们不平行，故①错； 对于②，若，相交且都在，外，，，，， 由面面平行的判定定理可得，设，相交确定的平面为，则有，， 则有，故②对； 对于③，若，，则或、相交，由于可和交线平行，故③错； 对于④，若，，，则或、相交，由于、可和交线平行，故④错． 故选：． 5．已知，则的值为　　 A． B．1 C．4 D． 【解析】：在中， 而， 由二项式定理知展开式的通项为， 令， 解得， 令， 则， 故， 同理令， 解得， 令， 解得， 故， 故． 故选：． 6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则　　 A． B． C．3 D．7 【解析】：向量在向量上的投影向量， 则， 向量， 则， 故， ，， 则，解得， ， ． 故选：． 7．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】：如图：因为过的直线交椭圆于，两点，若， 所以， 所以，， 又因为，所以， 所以是的平分线，又因为， 所以， 所以，．所以，， 点在椭圆：上，所以， 解得，， 所以． 故选：． 8．已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间　　 A．， B．， C． D．， 【解析】：当时，因为此时的最小值为， 所以，即． 若，此时能取到最小值，即， 整理得：， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值， 则需满足，即， 所以或者， 所以所有满足条件的的积属和， 故满足的区间为， 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是　　 A． B． C． D． 【解析】：，， 则，对都成立， 又，所以， 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是． 故选：． 10．若的三个内角，，的正弦值为，，，则　　 A．，，一定能构成三角形的三条边 B．一定能构成三角形的三条边 C．，，一定能构成三角形的三条边 D．一定能构成三角形的三条边 【解析】：对于，由正弦定理得， 所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，故正确， 对于，由正弦定理得， 例如，，，则， 由于，，故不能构成三角形的三条边长，故错误， 对于，由正弦定理得， 例如：、、，则、、， 则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，故不正确； 对于，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且， 所以，故正确． 故选：． 11．已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，，，且，则下列说法正确的是　　 A．存在实数，使得 B． C． D．为定值 【解析】：由方程，可得． 令，则有，即． 令函数，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，作出图象如图所示， 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，或，， 令，若，， 则故． 若，，则，无解， 综上：，故正确； 由图结合单调性可知，故正确； 若（1），则，又，故不正确； ， 故正确， 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为复数的共轭复数，若复数满足，则　　． 【解析】：对于方程，△， 由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根， 由韦达定理可得． 故答案为：． 13．正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 　　，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 　　． 【解析】：如图，取的中点，连接，，取的中点，连接，． 由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为， 则正八面体的体积为． 此正八面体的外接球的球心为，半径为， 到平面的距离等于到平面的距离， 在中，过作的垂线，垂足为，则平面． 由，得， 平面截正八面体的外接球所得截面是圆， 其半径， 所以所得截面的面积为． 故答案为：；． 14．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，　　． 【解析】：因为，且， 若， 此时在趋向于0时，函数值趋向，而趋向于， 所以在上不能恒成立， 则， 不妨设，函数定义域为， 可得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 当时，，趋向正无穷时，趋向正无穷， 所以，使得， 此时， 当时，，； 当，时，，， 所以当时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增， 所以， 要使对恒成立， 需满足恒成立， 此时， 即， 当且仅当，即时等号成立， 又， 则， 整理得， 解得， 则． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性． 【解析】：（1）根据题意可得，（2）， 由已知（2）， ，得， ， 曲线在点，（2）处的切线方程为， 化简得． （2）， 令得或， ①当，即时，单调递减区间为， 单调递增区间为，， ②当，即时，单调递增区间为，无单调递减区间， ③当 即时，单调减区间为，单调增区间为，， 综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，． 16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （1）求的概率分布； （2）求的数学期望． 参考数据：． 【解析】：（1）某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立， 设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数， 将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为1，2，3，，90， 从而，，，，，， 所以的概率分布为； （2）的数学期望 ， ， ， ， 因为，所以． 17．（15分）在三棱柱中，，，点为中点． （1）求的长； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】：（1）取的中点，连接，， 因为△和均是边长为2的等边三角形， 所以，，且， 因为，所以，即， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，， 所以． （2）由（1）知，，，，，0，，，0，，，2，， 所以，1，，，0，，，2，， 所以，1，， 因为为中点，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，0，， 设直线与平面所成角为，则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18．（17分）已知为曲线上任意一点，直线，与圆相切，且分别与交于，两点，为坐标原点． （1）若为定值，求的值，并说明理由； （2）若，求面积的取值范围． 【解析】：（1）由题意，设，，，， 当直线斜率不为0时，直线，因为直线与圆相切， 所以，即，分 联立得，， 所以，，分 ， 所以， 因为， 所以，分 所以只需，所以或；分 当直线斜率为0时，，也符合上式． 综上，或．分 （2）当时，由（1）知，，即，同理，即，，三点共线， 所以，分 当直线斜率不为0时，由（1）可知，， 故，分 因为，， 令， 所以分 所以当时，的最小值为2， 当时，的最大值为， 当直线斜率为0时，， 综上，的取值范围为，．分 19．（17分）已知，，，为有穷正整数数列，且，集合，0，．若存在，，2，，，使得，则称为可表数，称集合，，，2，，为可表集． （1）若，，，2，，，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，2，，，证明：； （3）设，，2，，，若，2，，，求的最小值． 【解析】：（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当，时，有，，0，， 显然若，，，3，4，5，7，8，9，时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即，0，使得， 所以，且，0，成立，故， 所以若，2，，，则，，，，，即，，，中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素，所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而，即当时，取，，， 时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，1，，2，，，，使， 所以， 令 则有，0，，，2，，， 设， 由的任意性，对任意的，， 都有，，0，，，2，，， 又因为， 所以对于任意的，，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为8． 《初、高中数学教研微信系列群》简介： 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