第十九章 一次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第19章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 2．若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是（    ）． A． B． C． D． 3．若直线经过第一、二、四象限，则，的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， … 0 1 2 … … 4 1 … 4．一次函数（，为常数，且）的部分与的对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．当时，的值为 C．图象不经过第三象限 D．一次函数的图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： 下列说法不正确的是（   ） x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 7．若，则一次函数的图像可能是（   ） A．B．C． D． 8．学校离小林家的路程为2 km，某天他放学后骑自行车回家，骑行了5 min后，因故停留10 min，然后又骑行了5 min到家．下列能大致描述他回家过程中离家的路程s（km）与所用时间t（min）之间关系的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   9．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．将直线向下平移6个单位，得到直线 ． 12．已知一次函数，当时，对应的自变量x的取值范围为 ． 13．一次函数交x轴于点，则关于的方程的解是 ． 14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为 ． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象 18．（8分）在已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 19．（8分）在已知一次函数． (1)它的图象经过一次函数，图象的交点，求m的值． (2)它的图象与坐标轴所围成的图形的面积为8，求m的值． 20．（8分）在如图，在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图是客车、货车离站的路程，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． (1)填空：，两地相距_________千米；货车的速度是_________千米时； (2)求两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式； (3)客、货两车何时距离恰好为千米？ 21．（8分）在为了改善湿地公园生态环境，构建国家文明城市，太和县相关部门现需要购买A，B两种花卉500株，其中花卉每株单价为6元，购买种花卉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：株）之间函数关系如图： (1)求与的函数关系式； (2)若种花卉不超过400株，但不少于种花卉的数量的二分之三，当种花卉购买多少株时，使总费用最低，并求出最低费用． 22．（10分）在如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）求△AOB的面积． （2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式． 23．（10分）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段的长度为．    (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时x的值． 24．（12分）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 25．（14分）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【答案】A 【分析】根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，；常量是， 故选：． 【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键． 2．若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据题意求得，进而求得正比例函数解析式，再将代入解析式即可求得的值． 【详解】设正比例函数为， 当时，， , 解得, , 当 即， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 3．若直线经过第一、二、四象限，则，的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与，的关系，熟练掌握上述关系是解题的关键．注意，在一次函数的图象中，时，图象向右倾斜；时，图象向左倾斜；时，图象与轴正半轴相交；时，图象与轴负半轴相交． 根据一次函数图象在坐标平面内的位置与，的关系直接判断即可得解． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限， 函数图象向右倾斜，图象与轴正半轴相交， ，， 故选：． 4．一次函数（，为常数，且）的部分与的对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（   ） … 0 1 2 … … 4 1 … A．随的增大而减小 B．当时，的值为 C．图象不经过第三象限 D．一次函数的图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，据此可得随的增大而减小，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，的值，根据平移的规律可判断一次函数的图象不是由的图象向下平移1个单位长度得到，从而得出答案，掌握一次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， A、∵， ∴随的增大而减小，故选项不符合题意； B、当时，，故选项不符合题意； C、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项不符合题意； D、的图象向下平移1个单位长度得到， ∴一次函数的图象不是由的图象向下平移1个单位长度得到，故选项符合题意； 故选：D． 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 6．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A 【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可 【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围， ∴当kx+b＜x时，x的取值范围是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键． 7．若，则一次函数的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键．根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵，是一次函数， ∴， ∴一次函数的图象在第一、三，四象限． 故选：A． 8．学校离小林家的路程为2 km，某天他放学后骑自行车回家，骑行了5 min后，因故停留10 min，然后又骑行了5 min到家．下列能大致描述他回家过程中离家的路程s（km）与所用时间t（min）之间关系的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查函数图像，解题的关键是理解题意． 9．在中，，，，，我们把关于的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，一次函数的性质等等，先根据三角形面积公式推出，再把点代入一次函数解析式中得到，据此推出，再由勾股定理得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， 故选：B． 10．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．将直线向下平移6个单位，得到直线 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将直线向下平移6个单位，得到的直线解析式为． 故答案为：． 12．已知一次函数，当时，对应的自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意即得出，解出x的值即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴当时，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．由，得出是解题关键． 13．一次函数交x轴于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，理解一次函数与一元一次方程的关系是解答本题的关键． 令一次函数的值为，此时一次函数转化为所求的方程，因此函数与轴交点的横坐标，即为所求方程的解． 【详解】解：由题意， 当时，函数值为， 当时，， 即方程的解为：， 故答案为：． 14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时． 【答案】4或或 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：由图象可知： 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． 设两车出发后两车相距． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时． 故答案为：或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为和，点P的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知点P在函数的图象上．作点关于的对称点，连接交直线于点P，由轴对称的性质可知此时最小，且最小值为的长．再根据得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】∵点P的坐标为， ∴点P在函数的图象上． 如图，作点关于的对称点，连接交直线于点P，则此时最小，且最小值为的长． ∵点与点关于直线的对称，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理．正确的作出辅助线并掌握轴对称的性质是解题关键． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，分类讨论，如图1，当点落在轴的正半轴上时，如图2，当点落在轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解决此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ， 如图1，当点落在轴的正半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时， ， ， ， ； 如图2，当点落在轴的负半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠， 当点落在轴上时， ， ， ， ， 综上所述，当点落在轴上时，点的坐标为或， 故答案为：或. 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象 【答案】见解析 【分析】根据描点法，分别取出一组对应值，连接原点，可得函数图象. 【详解】解：列表：                                    0 1 0 2 0 0 描点、画图： 【点睛】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律． 18．（8分）在已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及与轴的交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一次函数，当时，函数图像经过原点，据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．当时，图像与轴交点在x轴的上方；当时，图像与轴交点在x轴的下方．据此即可求解． 【详解】（1）解：若函数图像经过原点， 则有： ∴ （2）解：∵图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小， ∴ 解得： ∵m为整数， ∴ 19．（8分）在已知一次函数． (1)它的图象经过一次函数，图象的交点，求m的值． (2)它的图象与坐标轴所围成的图形的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直线上点的坐标特征、求两直线的交点坐标等知识，需要注意的是，将点的坐标转化为线段长度时，要用坐标的绝对值表示线段的长度． （1）可先求出直线与图象的交点，然后把交点坐标代入，即可得到的值； （2）分别求出一次函数与坐标轴的交点，求出面积的表达式为，即可求得． 【详解】（1）解：由， 解得， 一次函数和的交点为， 把，代入， ； （2）解：令，得；令，得， ， ； 20．（8分）在如图，在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图是客车、货车离站的路程，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． (1)填空：，两地相距_________千米；货车的速度是_________千米时； (2)求两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式； (3)客、货两车何时距离恰好为千米？ 【答案】(1)，； (2)货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为； (3)客、货两车小时或小时距离恰好为千米． 【分析】（）由题意可知：之间的距离为千米，之间的距离为千米，所以，两地相距千米；根据货车小时到达站，求得货车的速度； （）由（）中求得的货车的速度，进一步求得货车到达站的时间，得到点坐标，设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为，将两点的坐标代入，利用待定系数法求得函数解析式； （）根据题意列式计算即可解决问题； 本题考查了一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵之间的距离为千米，之间的距离为千米， ∴，两地相距（千米）， 货车的速度是（千米时）， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，， ∴点的坐标为， 设小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为， 将点，点代入，得 ， 解得 ∴货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为； （3）解：由题意可得， 相遇前两车相距30千米用的时间为： （小时）， 相遇后两车相距千米用的时间为： （小时）， 答：客、货两车小时或小时距离恰好为千米． 21．（8分）在为了改善湿地公园生态环境，构建国家文明城市，太和县相关部门现需要购买A，B两种花卉500株，其中花卉每株单价为6元，购买种花卉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：株）之间函数关系如图： (1)求与的函数关系式； (2)若种花卉不超过400株，但不少于种花卉的数量的二分之三，当种花卉购买多少株时，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)购买种花卉400株时，总费用最低为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，解一元一次不等式组等知识点． （1）根据题意分别设函数关系式，再代入图中数据求解即可； （2）设购买B种花卉株，则A种花卉株，根据题意列不等式组，求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）设与的函数关系式为： 将代入得，， 解得：， ； 将代入得， 解得 ， 综上所述，； （2）设购买B种花卉株，A种花卉株； 由题意得： 解得： 当时，两种花卉所需费用记为w： 则 ， ∴当时，元： 答：购买种花卉400株时，总费用最低为元． 22．（10分）在如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）求△AOB的面积． （2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据三角形面积公式求得即可； （2）过点C作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式． 【详解】（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3）， ∴3＝2+b， 解得b＝1， ∴y＝2x+1， 令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1， ∴A ，B（0，1）， ∴OA＝，OB＝1 ∴△AOB的面积＝＝； （2）过点C作CD⊥y轴于D，如图， ∵∠BAC＝45°，BC⊥AB， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， ∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD， ∴∠BAO＝∠CBD， 在△AOB和△BDC中， ， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1， ∴OD＝OB﹣BD＝ ， ∴C ， 设直线l的解析式为y＝mx+n， 把A ，C 代入得， 解得， ∴直线l的解析式为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，本题的关键是过点C作y轴的垂线，得到两个全等的三角形． 23．（10分）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，线段的长度为．    (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时x的值． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分点在上和上分别讨论即可； （2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可； （3）根据函数图象，利用关系，由图象找出的对应值即可． 【详解】（1）解：∵，点为中点， ∴，， ∵点以每秒的速度沿匀速运动到点，运动时间为秒， ∴点运动的路程为， ①当点在上，即当时， ∵ ∴， ②当点在上时，即当时，    ∵， ∴， ∴与的函数关系式为：； （2）列表如下： 0 3 8 3 0 5 函数图象如下：    该函数的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）由（1）可知在中，， ∴直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值， 观察图象，当时，， 当的长度与的长度相等时． 【点睛】本题考查研究函数的一般方法，解题涉及分段函数，一次函数，掌握研究函数的一般方法是解题的关键，还考查了等腰三角形的性质及勾股定理． 24．（12分）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为 【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格和梯形的面积公式求解即可； （2）根据，，即可求解； （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解； ②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一）， 理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F， ∵，， ∵； （2）设、之间的距离为h，∵， ， ， ． （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N， 量出的中点Q，连接，的位置如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵平分梯形的面积， ∴平分五边形的面积， ②由题意得，，，，，， ． 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． 当时，，解得． ． ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 25．（14分）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$