8.1 平方根 课时1 平方根 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.1 平方根 课时1 平方根 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 平方根的定义 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 2. 新课导入 4. 知识点2 平方根的性质 9. 拓展与延伸 5. 知识点3 平方根的表示 8. 对接中考 1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系. 2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根. 学习目标 新课导入 【问题】当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v (单位:m/s) 时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v²=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R ≈ 6.4×106 (单位:m)，怎样求v呢? 这就要用到平方根的概念 新课讲解 知识点1 平方根的定义 【思考】如果一个数的平方等于9，这个数是多少? 32=9，所以这个数可以是3；(-3)2=9，所以这个数也可以是-3. 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9. 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3. x2 1 16 36 49 x 完成下列表格： 1或-1 4或-4 6或-6 7或-7 或 新课讲解 【平方根定义】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.   例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根. 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方. 新课讲解 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 观察下图，你发现了什么? 平方与开平方互为逆运算 想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它 新课讲解 例 1. 求下列各数的平方根： (1)121； (2)2 ； (3)－(－4)3. 方法点拨：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定. 解：(1)因为(±11)2=121，所以121 的平方根是±11. (2)2= ，因为(±)2= ，所以2 的平方根是± . (3) －(－ 4)3=64，因为(±8)2=64，所以－(－ 4)3 的平方根是±8. 新课讲解 练一练 1. 求下列各数的平方根: (1) 64； (2) ； (3) 0.01. 解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8； (2)因为(±)2=100，所以100的平方根是±； (3)因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1. 求一个正数的平方根主要分两步： (1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个； (2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根. 方法归纳 新课讲解 练一练 2. 下列说法正确的是________. ① -3 是 9 的平方根； ② 25 的平方根是 5； ③ -36 的平方根是 -6； ④ 平方根等于 0 的数是 0. ①④ 新课讲解 3. 如果x2＝a，那么下列说法错误的是(　 　) A. 若x确定，则a的值是唯一的 B. 若a确定，则x的值是唯一的 C. a是x的平方 D. x是a的平方根 B 练一练 新课讲解 知识点2 平方根的性质 【思考】正数的平方根有什么特点? 从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数. 【思考】0的平方根是多少? 因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0， 所以0的平方根是0. 【思考】负数有平方根吗? 正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 新课讲解 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数； 2. 0的平方根是0； 3. 负数没有平方根. 归纳 新课讲解 例 2. 判断下列说法是否正确： (1) 0 的平方根是 0. (2) 1 的平方根是 1. (3) -1 的平方根是 -1. (4) 0.01 是 0.1 的一个平方根. 1 的平方根是±1 负数没有平方根 0.1 是 0.01 的一个平方根 新课讲解 例 3. 一个正数的平方根是2a－1 和a－5，这个正数是多少？ 解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值. 解：根据题意，得(2a－1)＋(a－5)=0， 解得a=2. ∴这个正数为(2a－1)2=(2×2－1)2=9. 新课讲解 【变式】已知2a－1 与－a＋2 是m 的平方根，求m 的值. 解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值. 解：根据题意，分以下两种情况： 当2a－1=－a＋2 时，a=1， ∴ m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1； 当(2a－1)＋(－a＋2)=0 时，a=－1， ∴ m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9. 故m 的值为1 或9. 新课讲解 练一练 1. 判断题. (1)1的平方根是1； (2)-1的平方根是-1； (3)0.5是0.25的一个平方根； (4)0的平方根是 0. 新课讲解 2. 一个正数的两个平方根分别是 2a＋1 和 a－4，求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是 2a＋1 和 a－4， 则有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0， 解得 a＝1. 所以这个数为 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 练一练 新课讲解 知识点3 平方根的表示 a 的平方根 平方根号 被开方数 读作：正、负根号 a (a≥0) (x≥0，a≥0) 根指数为 2，省略不写 2 x =± 新课讲解 表示 a 的正的平方根 表示 a 的负的平方根 读作“正、负根号” 一个非负数的平方根的表示方法： 只有当 a ≥ 0 时才有意义；a ＜ 0 时无意义. a﹙a≥0﹚的平方根表示为± 记作± 新课讲解 【思考】只有当a大于或等于0 时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么? 因为在我们认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，即当a小于0时，没有意义. 新课讲解 例 4. 下列各数有平方根吗?如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2. 解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根； (3)因为(-4)2=16是正数，所以(-4)2有两个平方根，±=±=±4. 新课讲解 例 5. 求下列各式的值： 解：(1) = 6 . (1) ； (2) ； (3) ± . (2) = - 0.9 . (3) ± = ± . 新课讲解 例 6. 求下列各式中x 的值： (1)x2=361； (2)81x2－49=0； (3)(3x－1)2=(－5)2. 方法点拨：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值. 解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19. (2)整理81x2－49=0，得x2= ，所以x=±=±. (3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以3x－1=±5. 当3x－1=5 时，x=2； 当3x－1=－5 时，x=－ . 综上所述，x=2 或x=－ . 新课讲解 利用平方根的性质解方程的一般步骤： 1. 移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边； 2. 系数化为1，将方程化为“x²=m(m≥0)或(ax+b) ²=m(m≥ 0) ”的形式； 3. 根据平方根的性质求出未知数的值.（即x=±或ax+b=±） 归纳 新课讲解 练一练 1. ±各表示什么意义？ 解：表示 7 的正的平方根 ±表示 7 的平方根 表示 7 的负的平方根 新课讲解 练一练 2. 求下列各式中x的值: (1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81； 解：(1)原式可变形为x2=， 因为(±)2=， 所以x=±. (2)因为(±9)2=81， 所以x+1=9或x+1=-9， 解方程，得x=8或x=-10. 所以x=8或x=-10. 课堂小结 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. ±（a大于或等于0） 表示 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根. 开平方与平方互为逆运算 运算 概念 性质 当堂小练 1. 下列说法正确的有（ 　　） ①－2是－4的一个平方根； ②a2的平方根是a； ③2是4的一个平方根； ④4的平方根是－2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 当堂小练 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 0 的平方根是 0 B. -22 的平方根是 2 C.正数的平方根互为相反数 D.一个正数的正的平方根一定大于这个数的相反数 B 当堂小练 3.“36的平方根是±6”用数学式子表示正确的是( ) A.=6 B.=6 C. =±6 D. =±6 D 当堂小练 4. 判断下列说法是否正确，如果错误，请说明理由. (1)1的平方根是1. (2)2是4的一个平方根. (3) -5是25的平方根. (4)64的平方根是±8. (5)-16的平方根是-4 (6)0的平方根是0. 1的平方根是±1 负数没有平方根 当堂小练 5. 求下列各数的平方根： (1) ； (2) 62； (3)0.49 解：(1)因为(±)2=，所以的平方根是±；即； (2)因为62=36，(±6)2=36，所以62的平方根是±6； 即； (3)因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7； 即0.7 当堂小练 6. 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) 因为 62=36，所以 . (2) 因为 0.92=0.81 ，所以 . (3) 因为 ，所以 . 当堂小练 7. 求下列各式中x的值. (1)9x2－25=0； (2)4(x－2)2－9=0. 当堂小练 解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5， 则有(2a-1)+(a-5)=0， 解得a=2. 所以2a-1=3， 所以这个正数为32=9. 8. 已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数. 互为相反数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 当堂小练 9. 若与是同一个数的平方根，则的值是( ) A．－3 B．－1 C．1 D．－3或1 D 对接中考 1. 若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 D (3+1)3=64 同类项 m =3，n =1 拓展与延伸 1. 已知 x - 1 的其中一个平方根为 2，3x + y -1 的平方根 为 ±4，求 3x + 5y 的平方根. 解：由题意，得 x - 1 = 22，3x + y - 1 = (±4)2， 解得 x = 5，y = 2. ∴ 3x + 5y = 25. ∴ 3x + 5y 的平方根为±5. 拓展与延伸 2. 已知2a－1 的算术平方根是3，3a＋b－1的平方根是±4，c 是 的整数部分， 求a＋2b－c 的平方根. 解：∵2a－1的算术平方根是3， ∴2a－1＝32＝9. ∴a＝5. ∵3a＋b－1的平方根是±4， ∴3a＋b－1＝(±4)2＝16. 解：(1) 9x2－25＝0， 移项得9x2＝25， ∴x2＝， ∴x＝±＝±. (2) 4(x－2)2－9＝0，移项得4(x－2)2＝9， ∴(x－2)2＝，∴x－2＝±＝±. 当x－2＝时，x＝；当x－2＝－时，x＝. ∴x＝或x＝. 把a＝5代入，得3×5＋b－1＝16，解得b＝2. ∵9<13<16， ∴3<<4. ∴的整数部分c＝3. ∴a＋2b－c＝5＋2×2－3＝6. ∴a＋2b－c的平方根是±. $$