18.1.1平行四边形的性质（第2课时 平行四边形对角线的性质）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第2课时 平行四边形对角线的性质 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点） 2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点） 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么? 情景导入 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什么关系? 猜一猜 OA=OC,OB=OD 怎样证明这个猜想呢？ 新知探究 5 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形形状的土地．由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图这样分的：       可是当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的土地比其他人少．老人这样分地合理吗？ 观察 A B C D O 1 3 2 4 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 平行四边形的对角线互相平分. 【提示】 三角形中线等分面积. A B C D O 1 3 2 4 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 在△ABD中，OB = OD， OA 是 BD 边上的中线， 所以 S△ABO = S△DAO . 同理可得： S△ABO = S△BCO = S△CDO = S△DAO . 说一说，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 它们的面积有什么关系？ 归纳： 平行四边形的两条对角线将它分成的四个三角形的面积都相等. A B C D O 1 3 2 4 A B C D O 1 3 2 4 想一想 △ABD 的面积与 △CDB 的面积有什么关系？ △ABC 的面积与△CDA 的面积呢？ 因为 S△ABD = S△ABO + S△DAO ， S△CDB = S△BCO + S△CDO ， 所以 S△ABD = S△CDB . 同理可得，S△ABC = S△CDA . 发现：任意相邻两个小三角形组成的大三角形的面积也相等. 思考 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（　　） A.26 B.34 C.40 D.52 B 做一做 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（　　） A.9 B.18 C.27 D.36 B A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 同例3易证明OE=OF还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 归纳 议一议 A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， 根据勾股定理得 ∴BC=AD=8,CD=AB=10. 是直角三角形. 又∵OA=OC, 例2　如图，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及　ABCD的面积． 例题讲解 变式题 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． 已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解. 归纳 A B D O E F A B C D O E F C A B C D O E F 思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？ 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 归纳 同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等. 讨论 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 还可结合全等来证哟. 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等. 归纳 问题 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 应用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 概念归纳 1. 如图，在 □ ABCD 中，BC = 10，AC = 8，BD = 14，△AOD 的周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？ A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4， OD＝ OB ＝ 7， ∴ l△AOD＝ AD+OA+OD＝10+4+7＝21， ∵ AB=CD，BC=BC，BD – AC=14 – 8 = 6， ∴△DBC 的周长较长，长 6. △ABO 与△ADO 的周长呢？ 归纳：相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差. 课堂练习 20 2. 如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过 点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF. A B C D E F O 【思路分析】 △AOE ≌△COF OE = OF 21 A B C D E F O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质） ∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等） 在△AOE和△COF中， ∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚ OA = OC ∠EAO = ∠FCO ∴ △AOE≌△COF （ASA ） ∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等） 2. 如图， □ ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，EF 过 点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F . 求证 OE = OF. 22 1.如图，的对角线与相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C （第1题） A. B. C. D. 分层练习 23 （第2题） 2.如图，在中，对角线， 相交于点，，， 则 的长可能是( ) D A.10 B.8 C.7 D.6 24 （第3题） 3. 如图，在中，对角线 与相交于点，已知 的周长为15，，，则 的长为( ) B A.5 B.6 C.8 D.9 25 （第4题） 4.[2024· 杭州西湖区期中] 如图， 的对角线与相交于点， ，若，，则 的长是( ) C A.16 B.18 C.20 D.22 26 5.如图，在中，对角线，相交于点，且 ，的 面积为48，，则 的长为( ) B A.6 B.8 C.12 D.13 27 阳光透过长方形玻璃射到地面上，地面上出现一个光影（如图）， 连接,交于点 ，则图中的全等三角形共有___对. 4 （第6题） 28 7.如图，在中，和交于点，过点的直线分别与 ， 交于点，，若的面积为3，则四边形 的面积等于___. 6 （第7题） 29 8. 如图，的对角线，相交于点， ，是上两点，连接, , 请从下列条件中选择一个条件作为题设，一个条件作为结论，组成一个真命题， 并证明. ；； . 30 解：③作为题设，②作为结论. 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 在和中， ， .（答案不唯一） 31 9.[2024· 重庆沙坪坝区期末] 如图，在中，，交于点 ， 交于点，连接，若的周长为14，则 的周长为( ) C A.7 B.14 C.28 D.56 32 10.如图，在中，对角线与 交于点，， 点为 的中点，若，则 的长为( ) C A. B.9 C. D.10 33 [解析] 点拨：四边形 是平行四边形， ，，， . ， . 为的中点，, ， ， ， ， . 34 （第11题） 11.[2024· 阜阳颍州区期中] 如图， 的对角线， 相交于点，过点作于点 ，延长交于点， ， ，则 的面积为( ) D A.18 B.24 C.32 D.42 35 [解析] 点拨：四边形是平行四边形， ， ， . 又， ， ， . ， ， ， ，， ， 的面积为 . 36 12.如图，在中， ，，为 边上一动点， 以，为边作，则对角线 长度的最小值为____. （第12题） 37 [解析] 点拨：如图，设，交于点 ， 四边形 是平行四边形， ， . ， ， 最短时 最短. 过点作于点 ，易知当在的位置时， 最短. ， 是等腰直角三角形. ， ， 的最小值 . 38 13.如图，在中，过对角线与的交点任意作一条直线 ，分别交 ，于， 两点. （1）与 相等吗？试说明理由. 39 解： .理由如下： 四边形 是平行四边形， , . 在和中， . . 40 （2）若直线分别交和的延长线于点,,与 相等吗？试说明理由. 解： .理由如下： 四边形 是平行四边形, , . 在和中， . 41 如图①，在中，,相交于点，过点 的直线交于点， 交于点 . （1）求证： ； 证明： 四边形 是平行四边形, , . 在和中， ，, . 42 （2）直线是否将 的面积二等分？若是，请说明理由； 解：直线将 的面积二等分.理由: 四边形是平行四边形，, ， ,， . 由（1）可知，，同理得 . ， ， . 直线将 的面积二等分. 43 （3）张大爷有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井 ，如图②，张大爷 计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地 共用这口水井，即两块地的分割线经过点 ，请你作图帮助张大爷把地分开. 解：如图,连接,,与交于点,作直线,同（2）可知直线 将的面积二等分，即直线 把菜园平均分成面积相等的两块. 44 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC, AB=CD. 角 平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D. 对角线 平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC= AC, OB=OD= BD 平行四边形的性质 A B C D A B C D O 课堂小结 45 $$