（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积-六年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）苏教版

苏教版六年级数学下册同步精讲 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积 内容导航 · 思维导图 2 · 知识梳理 2 · 考点精讲 5 · 考点一：圆柱体积公式推导相关问题 5 · 考点二：求圆柱体积 8 · 考点三：求圆柱容积 10 · 考点四：圆柱体积公式的相关应用 11 · 考点五：根据实际情况求圆柱体积相关问题 12 · 考点六：圆柱体积相关的扩倍与缩倍问题 14 · 考点七：横切中的圆柱体积相关问题 16 · 考点八：竖切中的圆柱体积相关问题 17 · 考点九：圆柱的展开图与圆柱体积相关问题 19 · 考点十：圆柱体积中比相关问题 21 · 考点十一：旋转形成圆柱体积相关问题 22 · 考点十二：长方体正方体削成圆柱最大体积问题 24 · 考点十三：运用转化法解决有关瓶子倒置圆柱体积相关问题 27 · 考点十四：排水法求圆柱体积相关问题 29 思维导图 知识梳理 1.圆柱的体积 （1）圆柱转化成近似的长方体 把圆柱的底面平均分成16份，切开后照下图的样子拼一拼。 拼成了一个近似的长方体。 如果把圆柱的底面平均分成32份、64份……切开后拼成的物体会有什么变化? 如果把圆柱的底面平均分成64份、128份……那么切开后拼成的物体形状就越来越接近长方体(把圆柱分成若干等份时，一般分成偶数份)。也可以说把圆柱的底面平均分成的份数越多，切开后拼成的物体的形状就越接近长方体。 （2）拼成的长方体和圆柱之间的关系 圆柱的形状改变，但体积不变。 ①拼成的长方体的体积=圆柱的体积。 ②拼成的长方体的底面积=圆柱的底面积。 ③拼成的长方体的高=圆柱的高。 注意：拼成的长方体与圆柱的表面积不相等 （3）圆柱的体积 ① 将圆柱转化为长方体推导出圆柱的体积公式，体现了“转化”的思想。 ②计算圆柱的体积时，如果已知半径，利用公式V=πr²h计算；已知直径，利用公式计算；已知周长，利用公式计算。 注意：①将圆柱切拼成近似的长方体后，体积和高都不变，表面积增加了长方体左、右面的面积(增加的面积=圆柱的底面半径×圆柱的高×2=2rh)。 ②圆柱形容器的容积的计算方法与体积相同，只是要从容器里面测量计算所需要的数据。一般地，一个物体的体积都比其容积大。 （4）计算圆柱的体积可以利用下面的计算公式计算。 V=Sh(已知底面积和高，求体积) =m²h(已知底面半径和高，求体积) =π(d÷2)²h(已知底面直径和高，求体积) =π(C÷π÷2)²h(已知底面周长和高，求体积) （5）用底面积乘高(V=Sh)也可以求一些特殊物体的体积，如： ①长方体、正方体和圆柱的统一体积公式： 体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 ②用三角形的面积公式求出底面积，用底面积乘高就可以求出三棱柱的体积。 ③用圆环的面积公式求出底面积，用底面积乘高就可以求出管状物体的体积。 2.圆锥的体积 （1）圆锥的体积公式 圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的。 圆锥的体积=底面积×高× 如果用V表示圆锥的体积，S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高，圆锥的体积公式可以写成：V＝Sh （2）圆柱和圆锥的体积关系 等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3:1,即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，少3。圆锥的体积比圆柱的体积 等体积等高的圆柱和圆锥的底面积的比是1:3。 等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1:3。 考点精讲 考点一：圆柱体积公式的推导相关问题 如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 ①圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 ②长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算。 如图，把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似的长方体。 （1）如果圆柱的高是5dm，长方体的长是6.28 dm，这个圆柱的体积是　 　dm3。 （2）如果圆柱的高是5dm，长方体的表面积比圆柱增加了20dm2。这个圆柱的体积是　 　dm3 （3）如果圆柱的底面半径是4cm，侧面积是251.2 cm2 ，乐乐把长方体侧放后，如图，他快速地求出了圆柱的体积，是　 　cm3 【答案】（1）62.8 （2）62.8 （3）502.4 【解答】解：（1）6.28×2=12.56（分米） 12.56÷3.14÷2=2（分米） 3.14×22×5 =12.56×5 =62.8（立方分米） （2）20÷2÷5=2（分米） 3.14×22×5 =12.56×5 =62.8（立方分米） （3）3.14×4×2=25.12（厘米） 251.2÷25.12=10（厘米） 3.14×42×10 =50.24×10 =502.4（立方厘米）。 故答案为：（1）62.8；（2）62.8；（3）502.4。 【分析】（1）长方形的长等于圆周长的一半，所以可以求出圆的周长，进而求出半径，根据半径和高求出体积。 （2）长方形的表面积比圆柱增加的部分为侧面两个长方形的面积，此长方形的长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径，所以根据题中条件可以求出半径，进而求出体积。 （3）圆柱的侧面积等于底面周长乘高，知道了底面半径可以求出底面周长，进而求出高。根据底面半径也可求出底面的面积，进而求出体积。 即时练习1 数学小组将一圆柱按下图切割开，然后拼成一个近似的长方体，观察填空。 （1）拼成的长方体高　 　，长　 　，宽　 　。 （2）拼成的长方体的体积与圆柱的体积　 　，底面积与圆柱的底面积　 　。 （3）拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积大　 　。 【答案】（1）h；πr；r （2）相等；相等 （3）2rh 【解答】解：（1）拼成的长方体高h，长πr，宽r； （2）拼成的长方体的体积与圆柱的体积相等，底面积与圆柱的底面积相等； （3）拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积大2rh。 故答案为：（1）h；πr；r；（2）相等；相等；（3）2rh。 【分析】（1）把圆柱切拼成长方体，长方体的高相当于圆柱的高，长方体的周长=圆柱底面周长÷2，长方体的宽=圆柱的底面半径； （2）因为是长方体是圆柱切拼成的，所以长方体的体积和圆柱的体积相同，而且圆柱的底面积等于长方体的底面积； （3）拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积大了2个长方形面，每个长方形面的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。 即时练习2 像长方体、正方体和圆柱这样的立体图形叫作柱体。柱体的体积都可以用底面积乘高来表示，即V＝S底h。将图1所示圆柱沿底面半径(r)分成16等份，再按图2所示方式摆放拼成一个近似的长方体。转化后，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 （1）如果圆柱切分后按图3所示方式摆放，此时长方体的底面积＝　 　，长方体的高＝　 　，V圆柱＝V长方体＝　 　。(用字母r、h表示，保留π) （2）把高是8cm的圆柱切分后按图2所示方式摆放，表面积增加了80cm2，这个圆柱的体积是　 　cm3。 【答案】（1）rh；πr；πr2h （2）628 【解答】解：（1）观察图3，长方体的底面积＝rh，长方体的高＝πr，V圆柱＝V长方体＝πr2h，据此计算； （2）80÷2=40（cm2） 40÷8=5（cm） 3.14×52×8 =3.14×25×8 =78.5×8 =628（cm3） 故答案为：（1）rh；πr；πr2h；（2）628。 【分析】（1）观察图可知，将一个圆柱等分成若干份，切分后拼成如图3的近似长方体，长方体的底面是一个长方形，长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径；长方体的高是圆柱底面周长的一半，圆柱的体积与拼成的近似长方体体积相等，由此可以推出圆柱的体积V=πr2h； （2） 把高是8cm的圆柱切分后按图2所示方式摆放，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的面积=圆柱的底面半径×高，已知增加的面积，可以求出一个长方形的面积，又知圆柱的高，可以求出圆柱的底面半径，要求圆柱的体积，应用公式： V=πr2h，据此列式解答。 即时练习3 如图，把底面直径为6cm 的圆柱沿直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加 60cm2，那么长方体的体积是　 　cm3。 【答案】282.6 【解答】解：6÷2=3（cm） 60÷2÷3 =30÷3 =10（cm） 3.14×32×10 =28.26×10 =282.6（cm3） 故答案为：282.6。 【分析】分析题意可知增加的表面积就是以底面半径为宽、高为长的左右两边两个长方形的面积。直径÷2=半径，增加的表面积÷2=一个长方形的面积，增加的表面积÷2÷半径=高，圆周率×半径的平方×高=圆柱的体积。 考点二：求圆柱体积 计算圆柱体积的基本方法。 ①已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 ②已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=m²h。 ③已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)²h。 ④已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)²h。 根据给出的公式计算下面各圆柱的体积。 （1）V=π（）2h （2）V=πr2h 【答案】（1）解：3.14×(10÷2)2 ×15 =3.14×25×15 =78.5×15 = 1177.5( cm3) （2）解：3.14×32×12 =28.26×12 =339.12(cm3 ) 【分析】根据圆柱的体积公式，代人图中的数据计算即可。 即时练习1 一个圆柱的底面半径是 2d m，高是2d m，它的体积是　 　。 【答案】25.12 【解答】解：3.14×22×2 =3.14×8 =25.12（dm3） 故答案为：25.12。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，根据公式计算体积即可。 即时练习2 如图是用10块圆柱形木板堆成的，底面积是3.2cm2，求每块圆柱形木板的体积。 【答案】解：3.2×2÷10 =6.4÷10 =0.64( cm3 ) 答：每块圆柱形木板的体积是0.64立方厘米。 【分析】每块圆柱形木板的体积=每块圆柱形木板的底面积×高÷块数。 考点三：求圆柱容积相关问题 一个圆柱形杯子的底面直径是6cm，高是10cm，这个杯子的容积是　 　mL。（π取3.14） 【答案】282.6 【解答】3.14×（6÷2）2 ×10 =3.14×16×10 =282.6（立方厘米） 282.6立方厘米=282.6毫升 故答案为：282.6。 【分析】题中已经告诉我们圆柱的底面直径和高，要求这个圆柱形杯子的容积就是求圆柱的体积，根据公式求出即可。 即时练习1 一个圆柱形水池，从里面量得底面半径是2m，高是3m，它的容积是　 　m3。 【答案】37.68 【解答】3.14×22×3 =3.14×4×3 =12.56×3 =37.68（m3） 故答案为：37.68 。 【分析】已知圆柱体里面的底面半径和高，要求圆柱的容积，依据公式：V=πr2h，据此列式解答。 即时练习2 挖一个深1.5米的圆柱形水池，底面直径是4米，这个水池的容积是　 　立方米。 【答案】18.84 【解答】解：3.14×(4÷2)²×1.5 =3.14×4×1.5 =18.84(立方米) 故答案为：18.84 【分析】圆柱的体积=底面积×高，由此根据圆柱的体积公式计算水池的容积即可. 考点四：圆柱体积公式的相关应用 （1）计算圆柱体积的基本方法。 ①已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 ②已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=m²h。 ③已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)²h。 ④已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)²h。 （2）计算圆柱体积时，要看清数据，根据不同的数据选择不同的公式，已知公式中的任意两个量，都可以求出第三个量。 一个圆柱的体积是314cm3，底面积是31.4cm2，圆柱的高是　 　cm。 【答案】10 【解答】解：314÷31.4=10（cm） 故答案为：10。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，由此用圆柱的体积除以底面积即可求出高。 即时练习1 一个圆柱的体积是100.48dm3，高是8dm，它的底面积是　 　dm2。 【答案】12.56 【解答】解：100.48÷8=12.56（平方分米）。 故答案为：12.56。 【分析】圆柱的底面积=体积÷高。 即时练习2 一个圆柱的体积是251.2dm3，高是20dm，它的底面半径是　 　dm。 【答案】2 【解答】解：251.2÷20÷3.14 =12.56÷3.14 =4（dm2） 2×2=4（dm2） 故答案为：2。 【分析】圆柱的体积=底面积×高；其中，底面积=体积÷高。 即时练习3 为了完善基础设施，杭州某景区增加了一些圆柱形的石凳，石凳的体积是62.8立方分米，底面半径是2分米，高是多少分米？ 【答案】解：62.8÷(3.14×22) =62.8÷12.56 =5(分米) 答：高是5分米。 【分析】先求出圆柱形石凳的底面积，再根据圆柱的体积公式V = Sh ，用体积除以底面积即可求出高。 考点五：根据实际情况求圆柱体积相关问题 要确定是求表面积，还是求体积，再联系实际情况看要求的是总表面积(总体积),还是部分表面积(部分体积)。 如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。 ​ （1）需多少平方米的薄膜？ （2）整个大棚的空间是多少立方米？ 【答案】（1）解：3.14×6÷2×40 ＝9.42×40 ＝376.8（平方米） 答：需376.8平方米的薄膜。 （2）解：3.14×（6÷2）2×40÷2 ＝3.14×9×40÷2 ＝28.26×40÷2 ＝1130.4÷2 ＝565.2（立方米） 答：整个大棚的空间是565.2立方米。 【分析】（1）薄膜的面积=圆柱的侧面积÷2=大棚的宽×π×大棚的长÷2，据此代入数值作答即可； （2）整个大棚的空间=圆柱的体积÷2，其中圆柱的体积=π×（底面直径÷2）2×大棚的长，据此代入数值作答即可。 即时练习1 一个圆柱形粮囤，从里面量高是5米，底面半径是高的。如果每立方米稻谷约重0.5吨，那么这个粮囤能装稻谷多少吨？ 【答案】解：5×=3（米） 3.14×32×5×0.5 =3.14×9×5×0.5 =28.26×2.5 =70.65（吨） 答：这个粮囤能装稻谷70.65吨。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，先求出圆柱的底面半径，然后求出圆柱的容积，用圆柱的容积乘每立方米稻谷的质量即可求出能装稻谷的总重量。 即时练习2 杭州亚运会举行期间，某蔬菜种植专业户为了保障亚运会期间市场蔬菜供应充足，新建了一批蔬菜大棚，每个蔬菜大棚的外形都是半圆柱形，如图是一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，大棚的占地面积为80m2，横截面是半径为2m．的半圆，这个大棚内的空间有多大？ 【答案】解：80÷(2×2) =80÷4 =20(m) 3.14×22 ×20÷2 =3.14×4×20÷2 =12.56×20÷2 =251.2÷2 =125.6( m3 ) 答：这个大棚内的空间有125.6立方米。 【分析】横截面是半径×2=大棚的宽，大棚的占地面积÷大棚的宽=大棚的长；π×大棚的底面半径×高=大棚的体积，大棚的体积÷2=这个大棚内的空间。 即时练习3 “六一”儿童节，小红和妈妈出去游玩。妈妈带了一个圆柱形水壶，从里面量底面直径是10cm，高是16cm。如果两人游玩期间要喝1L水，装满这壶水够喝吗？ 【答案】解：3.14×（10÷2）2×16 ＝3.14×25×16 ＝78.5×16 ＝1256（立方厘米） 1256立方厘米＝1.256升 1.256＞1 答：装满这壶水够喝。 【分析】这个水壶的容积=π×半径2×高，然后和1升水比较大小。 考点六：圆柱体积相关的扩倍与缩倍问题 圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： （1）当高不变时，底面积扩大几倍(或缩小为原来的几分之一),体积就扩大几倍(或缩小为原来的几分之一); （2）当底面积不变时，高扩大几倍(或缩小为原来的几分之一),体积就扩大几倍(或缩小为原来的几分之一)。 圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，则它的底面积扩大到原来的　 　倍，体积扩大到原来的　 　倍。 【答案】4；8 【解答】解：假设圆柱的底面半径和高都为1，则扩大后都为2，扩大后的底面积为：，扩大后的体积为：。 故答案为：4；8。 【分析】圆的面积=π×半径2；圆柱的体积=π×半径2×高。 即时练习1 把圆柱的底面直径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 ，它的体积会（　　）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【解答】解：3×3× =9× =3，它的体积会扩大到原来的3倍。 故答案为：A。 【分析】圆柱的体积=π×半径2×高， 圆柱的底面直径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积会扩大到原来的3×3×=3倍。 即时练习2 一个圆柱的体积是a m3，若它的底面积缩小到原来的，高扩大到原来的4倍，变化后的体积是　 　m3。 【答案】2a 【解答】解：4××a=2a（立方米）。 故答案为：2a。 【分析】圆柱的底面积缩小到原来的，高扩大到原来的4倍，体积扩大了4×=2倍，圆柱的体积=底面积×高，则体积也扩大2倍，扩大后的体积=原来的体积×2。 即时练习3 一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的（　　），它的体积才能保持不变。 A． B． C． D．9倍 【答案】C 【解答】解：一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积才能保持不变。 故答案为：C。 【分析】圆柱的体积=πr2h，所以要使体积不变，半径扩大到原来的几倍，那么高就缩小到原来的。 考点七：横切中的圆柱体积相关问题 如图，把一根长2米的圆柱形木料截成3段，表面积增加了54.4平方厘米。那么，原来这根木料的体积是　 　立方厘米。 【答案】2720 【解答】解：2米=200厘米 54.4÷4×200 =13.6×200 =2720(立方厘米) 故答案为：2720。 【分析】图中可以看出将这根圆柱形木料截成3段，表面增加了4个底面积，因此，用增加的表面积除以4即可求出圆柱的底面积，再根据圆柱体积=底面积×高求出原来这根木料的体积。 即时练习1 把一段长20分米的圆柱形木头截成5段后，表面积增加了80平方分米，那么这段圆木的体积是多少？ 【答案】解：80÷8×20 =10×20 =200（立方分米） 答：这段圆木的体积是200立方分米。 【分析】把圆柱形木头截成5段后，表面积会增加8个横截面的面积，因此用表面积增加的部分除以5求出横截面面积，用横截面面积乘长即可求出圆木的体积。 即时练习2 一根长3.6米的圆柱形木材，将它横截成三段后，表面积增加了2.8㎡，这根木材原来体积是多少？ 【答案】解：横截成三段后，表面积增加了4个底面积， 2.8÷4=0.7（平方米） 0.7×3.6=2.52（立方米） 答：这根木材原来体积是2.52立方米。 【分析】增加的表面积÷4=圆柱形木材的底面积，圆柱形木材的底面积×圆柱形木材的高=这根木材原来的体积。 考点八：竖切中的圆柱体积相关问题 把一个底面周长大约 60cm 的圆柱沿着直径垂直底面切成两个半圆柱，表面积增加了 80cm3，这个圆柱的体积是　 　cm3。 【答案】600 【解答】解：60÷π=（cm）， 80÷2÷ =40÷ =π （÷2）2×π×π =×π×π =900× =600（cm3） 故答案为：600。 【分析】圆柱的底面直径=底面周长÷π，那么圆柱的高=增加的表面积÷2÷底面直径，所以圆柱的体积=（底面直径÷2）2×π×高，据此代入数值作答即可。 即时练习1 将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径垂直切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2，原来这个圆柱形木料的体积是　 　立方分米。 【答案】5.652 【解答】解：9.42÷3.14=3（分米） 4.8÷2÷3=0.8（分米） 3.14×（3÷2）×（3÷2）×0.8 =3.14×1.5×1.5×0.8 =7.065×0.8 =5.652（立方分米） 故答案为：5.652。 【分析】表面积增加的面积是两个长方形，长方形的长就是圆柱的底面直径； 底面周长÷π=底面直径；增加的面积÷2÷底面直径=圆柱的高； 直径÷2=半径，π×底面半径的平方×高=圆柱形木料的体积。 即时练习2 如图，将一个高8cm的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，这时表面积比原来增加了96cm2。这根圆柱形木料原来的表面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。（得数保留π） 【答案】66π；72π 【解答】解：96÷2÷8÷2 =48÷8÷2 =6÷2 =3 π×32×2＋π×3×2×8 =18π＋48π =66π π×32×8 =9×8×π =72π。 故答案为：66π；72π。 【分析】这根圆柱形木料原来的表面积=底面积×2＋侧面积；其中，底面积=π×半径2， 侧面积=π×直径×高；其中，直径=增加的表面积÷2÷高，半径=直径÷2；体积=底面积×高。 考点九：圆柱的展开图与圆柱体积相关问题 1.把一张铁皮按如图所示展开，正好能制成一只铁皮汽油桶，求所制铁皮汽油桶的容积。 【答案】解：圆柱的直径：8÷2=4（分米） 圆柱的半径：4÷2=2（分米） 圆柱的高：8分米 圆柱的容积：3.14×2×2×8 =12.56×8 =100.48（立方分米） =100.48（升） 答：所制铁皮汽油桶的容积是100.48升。 【分析】圆柱的容积=π×底面半径的平方×高。 2.一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4dm2的平行四边形，那么这个食品罐的体积是　 　dm3。 【答案】15.7 【解答】解：31.4÷5÷3.14÷2 =31.4÷3.14÷5÷2 =10÷5÷2 =1（dm） 3.14×12×5 =3.14×5 =15.7（dm3） 故答案为：15.7。 【分析】看图可知平行四边形的底就是圆柱的底面周长，高就是圆柱的高。平行四边形的面积÷高=圆柱的底面周长，平行四边形的面积÷高÷π÷2=圆柱的底面半径，圆柱的体积=πr2h。 即时练习1 下图是一个圆柱的表面展开图，图中每小格边长为1cm，则这个圆柱的底面直径是　 　cm。高是　 　cm，体积是　 　cm3。 【答案】2；2；6.28 【解答】解：1×2=2（厘米） 1×2=2（厘米） 3.14×12×2 =3.14×2 =6.28（立方厘米）。 故答案为：2；2；6.28。 【分析】这个圆柱的底面直径、高=平均每格的长度×格数； 体积=底面积×高。 即时练习2 一个圆柱的高是31.4 m，将它的侧面沿高展开后正好是一个正方形，这个圆柱的底面半径是　 　m，侧面积是　 　m2，体积是　 　m3。 【答案】5；985.96；2464.9 【解答】解：31.4÷3.14÷2 =10÷2 =5（m） 31.4×31.4=985.96（m2） 3.14×52×31.4 =78.5×31.4 =2464.9（m3） 故答案为：5；985.96；2464.9。 【分析】圆柱侧面展开后是一个正方形，则圆柱底面周长等于高。周长÷圆周率÷2=半径，底面周长×高=侧面积，底面积×高=体积。 考点十：圆柱体积中比相关问题 两个圆柱的底面积相等，第一个圆柱与第二个圆柱高的比是7：11，第二个圆柱的体积是132立方分米，第一个圆柱的体积是多少？ 【答案】解：132÷11×7=84（立方分米） 【分析】把第一个圆柱与第二个圆柱高的分别看做7和11，体积132÷11=第二个圆柱的底面积12，12也是第一个圆柱的底面积，用底面积12×高7=第一个圆柱的体积84。 即时练习1 大、小两个圆柱的底面半径的比是3：2，高的比是2：3，那么体积的比是　 　。 【答案】3：2 【解答】解：假设每份的半径长是r，每份的高是h，则大圆柱的半径是3r，小圆柱的半径是2r，大圆柱的高是2h，小圆柱的高是3h。 V大=π（3r）2（2h）=9×2πr2h=18πr2h， V小=π（2r）2（3h）=4×3πr2h=12πr2h V大：V小=（18πr2h）：（12πr2h） =（18πr2h×）：（12πr2h×） =18：12 =3：2 故答案为：3：2。 【分析】本题考查了圆柱的体积计算公式=πr2h，以及比的应用。根据已知可知大圆柱的半径占3份，小圆柱的半径占2份，大圆柱的高占2份，小圆柱的高占3份，假设每份的半径长是r，每份高是h，则大圆柱的半径是3r，高是2h，小圆柱的半径是2r，高是3h，代入公式分别计算出体积，然后找到它们的体积比即可。 即时练习2 有两个圆柱，它们的底面周长的比是1：3，它们的高相等；这两个圆柱体积的比是　 　。 【答案】1：9 【解答】解：有两个圆柱，它们的底面周长的比是1：3，底面积的比是1：9，它们的高相等；这两个圆柱体积的比是1：9。 故答案为：1：9。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，所以高相等，则两个圆柱底面积的比就是体积的比。 即时练习3 甲、乙两个圆柱高的比是3：2，底面直径的比是2：3，则甲、乙体积比为　 　，如果乙圆柱的体积是54立方厘米。则甲圆柱的体积是　 　。 【答案】2：3；36 【解答】解：甲、乙两个圆柱高的比是3：2，底面直径的比是2：3，则甲、乙体积比为2：3； 54÷3×2 ＝18×2 ＝36（立方厘米） 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝π×半径×半径，半径＝直径÷2，根据公式，分别求出甲乙两个圆柱的体积，再求出它们的比，最后根据乙圆柱的体积求出甲圆柱的体积。 考点十一：旋转形成圆柱体积相关问题 (1)确定圆柱的半径和高：绕长方形纸的长旋转一周形成的圆柱，它的底面半径就是宽，它的高就是长；绕长方形纸的宽旋转一周形成的圆柱，它的底面半径就是长，它的高就是宽。 (2)根据圆柱的体积公式计算：圆柱的体积=底面积×高，求出体积进行比较。 (3)体积的大小：绕长方形纸的宽旋转一周形成的圆柱的体积大。 1.下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。他们的体积各是多少？ 【答案】解：以长为轴： 3.14×102×20 =3.14×2000 =6280（立方厘米） 以宽为轴： 3.14×202×10 =3.14×4000 =12560（立方厘米） 答：他们的体积各是6280立方厘米、12560立方厘米。 【分析】解答本题的关键是要先确定以长和宽为轴旋转一周的圆柱的底面半径和高分别是多少。以长为轴旋转一周，得到的是高为20cm、底面半径为10cm的圆柱；以宽为轴旋转一周，得到的是高为10cm、底面半径为20cm的圆柱；然后根据圆柱的体积公式计算体积即可。 2.将图中的长方形，以虚线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？ 【答案】解：3.14×32×4 =3.14×9×4 =113.04（立方厘米） 答：得到的是一个圆柱体，体积是113.04立方厘米。 【分析】圆柱体的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×圆柱的底面半径的平方，本题中圆柱的底面半径为长方形的宽即3cm，圆柱的高是长方形的长即4cm，代入数值计算即可得出答案。 即时练习1 一个长5厘米、宽3厘米的长方形绕它的一条边旋转一周，形成的圆柱的体积是　 　立方厘米或　 　立方厘米。 【答案】141.3；235.5 【解答】解：①以5厘米的边为轴时，体积是： 3.14×32×5 =28.26×5 =141.3（立方厘米） ②以3厘米的边为轴时，体积是： 3.14×52×3 =78.5×3 =235.5（立方厘米）。 故答案为：141.3；235.5。 【分析】①以5厘米的边为轴时，圆柱的体积=底面积×高；其中，底面半径=3厘米，高=5厘米； ②以3厘米的边为轴时，圆柱的体积=底面积×高；其中，底面半径=5厘米，高=3厘米。 即时练习2 将一张长8厘米、宽6厘米的长方形纸（如图），以宽为轴旋转一周，得到圆柱的体积是多少？ 【答案】3.14×82×6=1205.76（立方厘米） 答：得到圆柱的体积是1205.76立方厘米。 【分析】旋转得到的圆柱，底面半径是8厘米，高是6厘米，圆柱的体积=π×底面半径的平方×高。 考点十二：最大体积问题 1.一个长方体木块，长8 dm，宽6 dm，高10 dm。把它削成一个最大的圆柱，求这个圆柱的体积。 【答案】解：削成的圆柱分三种情况考虑： ①3.14×( 6÷2)2×8 =28.26×8 = 226.08( dm3 ) ②3.14×(6÷2)2×10 =28.26×10 = 282.6( dm3 ) ③3.14×( 8÷2)2×6 =50.24×6 = 301.44( dm3 ) 226.08<282.6<301.44． 答：圆柱的最大体积是301.44 dm3。 【分析】圆柱的体积=π×半径2×高，分情况计算出圆柱的体积，然后把体积比较大小。 2.有块正方体的木料，它的棱长是4dm。把这块木料加工成一个最大的圆柱（如图）。这个圆柱的体积是多少？ 【答案】解：d=4dm 圆柱的半径：4÷2=2(dm) 3.14×22×4=50.24（dm3） 答：这个圆柱的体积是50.24dm3。 【分析】把正方体加工成最大的圆柱，圆柱的底面直径=圆柱的高=正方体的棱长，圆柱的底面半径=底面直径÷2，所以这个圆柱的体积=πr2h。 即时练习1 一个长方体的长、宽、高分别是12厘米、10厘米、8厘米，体积是　 　立方厘米，如果把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是　 　立方厘米. 【答案】960；628 【解答】长方体的体积为：12×10×8=960（cm3）； 以10厘米为底面直径，高是8厘米，所得圆柱体的体积为：3.14×（10÷2）2×8=3.14×25×8=78.5×8=628（立方厘米）； 以8厘米为底面直径，12厘米为高，所得圆柱体的体积为：3.14×（8÷2）2×12=3.14×16×12=602.88（立方厘米）； 以8厘米为底面直径，10厘米为高，所得圆柱体的体积为：3.14×（8÷2）2×10=3.14×16×10=502.4（立方厘米）， 所以最大圆柱体的体积为628立方厘米. 【分析】已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，用公式：长方体的体积=长×宽×高，据此列式解答；要求削成一个最大的圆柱，削出最大的圆柱的方法有三种情况：（1）以10厘米为底面直径，8厘米为高；（2）以8厘米为底面直径，12厘米为高；（3）以8厘米为底面直径，10厘米为高，由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答. 即时练习2 用一个长6分米、宽4 分米、高7分米的长方体木料切成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是　 　分米³。 【答案】113.04 【解答】解：当圆柱的高是4分米时，圆柱的体积是： 3.14×（6÷2）2×4 =3.14×9×4 =113.04（立方分米） 当圆柱的高是6分米时，圆柱的体积是： 3.14×（4÷2）2×6 =3.14×4×6 =75.36（立方分米） 当圆柱的高是7分米时，圆柱的体积是： 3.14×（4÷2）2×7 =3.14×4×7 =89.72（立方分米） 所以最大的圆柱体积是113.04立方分米。 故答案为：113.04。 【分析】先把长方体中有三组相对面，所以可以以长方体的长、宽、高作圆柱的高，那么圆柱的体积=（底面长方形中较短的边÷2）2×π×高，据此求出三种圆柱的体积，最后找到体积最大的即可。 考点十三：运用转化法解决有关瓶子倒置圆柱体积相关问题 为了测量一个空瓶子的容积，典典所在的一个学习小组进行了如下实验： ①测量出整个瓶子的高度是23cm； ②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6 cm； ③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5 cm； ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，测量出圆柱的高是15 cm。 （1）要求这个瓶子的容积，上面记录中有用的信息是　 　(填序号)。 （2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。 【答案】（1）②③④ （2）解：3.14×(6÷2)2×(5+15) =28.26×20 =565.2(cm3) =565.2(mL) 答：这个瓶子的容积为565.2mL。 【解答】解：（1）这个瓶子的容积=瓶子的底面积×（正放水的高度+倒放无水部分的高度），所以需要的信息是②③④。 故答案为：（1）②③④。 【分析】（1）求这个瓶子的容积，需要瓶子的底面积、正放水的高度、倒放无水部分的高度，据此作答即可； （2）瓶子的容积=瓶子的底面积×（正放水的高度+倒放无水部分的高度），其中瓶子的底面积=（底面直径÷2）2×π。 即时练习1 一个底面内半径是2厘米的瓶子里装了一些油，油面高度正好是5厘米。现将瓶子盖好倒立后，空余部分的高是15厘米，你知道这个瓶子里最多能装多少毫升的油吗? 【答案】解： 3.14×2×2×(5+15) =6.28×2×20 =12.56×20 =251.2（毫升） 答： 这个瓶子里最多能装251.2毫升的油 。 【分析】根据题意可知，求这个瓶子的体积，就是底面面积为：（3.14×2×2）平方厘米，高是(5+15)厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积=底面积×高，代入数据，即可解答。 即时练习2 一个装满水的瓶子，内直径是8 cm。小明喝了一些后，水面高度是12cm，把瓶盖拧紧后倒置，无水部分的高度是10cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】解：3.14×(8÷2)2×(12+10) =3.14×16×22 =50.24×22 = 1105. 28(cm3) 1105.28 cm3= 1105.28 mL 答： 这个瓶子的容积是 1105.28毫升。 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时有水部分的体积加上瓶子倒放时无水部分的体积，根据圆柱体的体积=底面积（S=）×高，代入数值计算即可解答。 即时练习3 如图，一瓶饮料的容积是625毫升，淘气喝了一些后，想知道喝了多少，他把瓶子正放，量出饮料的高度是8厘米。再将瓶子倒放，量出空余部分的高度是4.5厘米，你能帮淘气算出瓶内的饮料有多少毫升吗？ 【答案】解：625毫升=625立方厘米 625÷（8＋4.5）×8 =625÷12.5×8 =50×8 =400（立方厘米） 400立方厘米=400毫升 答：瓶内的饮料有400毫升。 【分析】瓶内饮料的体积=这个瓶子的容积÷（正放时有饮料部分圆柱的高＋倒放时没有饮料部分圆柱的高）×正放时有饮料部分圆柱的高。 考点十四：排水法求圆柱体积相关问题 1.一个圆柱形容器的内直径是20cm，容器中装有水。把一块铜放入这个容器后，这块铜完全没入水中，水面上升了4cm（水未溢出），这块铜的体积是多少立方厘米? 【答案】解：20÷2=10（厘米） 3.14×102×4 =314×4 =1256（立方厘米） 答：这块铜的体积是1256立方厘米。 【分析】这块铜的体积=圆柱形容器的底面积×上升水的高度；其中，圆柱形容器的底面积=π×半径2。 2.如图，有一个高为8cm、容积为50mL的圆柱形容器A，里面装满了水。现将长为16 cm的圆柱体B垂直放入水中，使B的底面和A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出。当把B从A中拿出后，A中水的高度为6 cm。求圆柱体B的体积。 【答案】解：50mL=50cm3 (8-6)÷8=2÷4= 50××2=12.5×2=25( cm3) 答：圆柱体B的体积是25立方厘米。 【分析】容器A的高度是8厘米，圆柱体B的长是16厘米，B的底面和A的底面接触，说明圆柱体B的一半放入水中； 当把B从A中拿出后，A中水的高度为6cm，说明下降了2厘米，下降的高度占容器A高度的，也可以理解为圆柱体B一半的体积占容器A体积的，容器A的体积×=圆柱体B一半的体积； 圆柱体B一半的体积×2=圆柱体B的体积。 3.一个圆柱形水槽（如图），底面积是400cm2，内盛有12cm深的水。将一个棱长为8cm的正方体铁块放入水中（铁块完全浸没在水中，且水没有溢出），水面将上升到多少厘米？ 【答案】解：83＝512（立方厘米） 512÷400＝1.28（厘米） 1.28+12＝13.28（厘米） 答：水面将上升到13.28厘米。 【分析】水面将上升到的高度=原来水的高度＋放入正方体铁块后水面上升的高度；其中，放入正方体铁块后水面上升的高度=正方体的体积÷圆柱体的底面积；正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 即时练习1 一个底面直径20厘米的圆柱形玻璃缸里有一个圆柱体物品，圆柱的浸没在水中，把这个圆柱体拿出来，缸内水面下降了2厘米，求这个圆柱体的体积是多少？ 【答案】解：20÷2=10（厘米） 3.14×10×10×2=628（立方厘米） 628÷=942（立方厘米） 答：这个圆柱体的体积是942立方厘米。 【分析】底面直径÷2=底面半径，π×底面半径的平方×水面下降的高度=圆柱的的体积，圆柱的的体积÷=圆柱的体积。 即时练习2 一个圆柱形玻璃容器，从里面量得底面直径为12cm，里面盛有水，水中完全浸没着一个高为3cm的长方体铁块，当把长方体铁块从水中取出后，水面下降了0.5cm。这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】解：3.14×（12÷2）2×0.5÷3 ＝3.14×36×0.5÷3 ＝56.52÷3 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【分析】长方体铁块的体积=πr2×水面下降的高度，所以长方体铁块的底面积=长方体铁块的体积÷长方体的高，据此代入数值作答即可。 即时练习3 在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是5厘米的圆钢，如果把它全部放入水中，桶里的水面上升9厘米；如果让水中的圆钢露出8厘米，这时桶里的水面就下降4厘米。问：这段圆钢的体积是多少？ 【答案】解：3.14×52×8÷4 =3.14×25×8÷4 =78.5×8÷4 =628÷4 =157（平方厘米） 157×9=1413（立方厘米） 答：这段圆钢的体积是1413立方厘米。 【分析】根据题意，圆钢露出8厘米，这时桶里的水面就下降4厘米，露出水面的体积与下降水的体积相等，据此求出8厘米圆钢的体积再除以高4厘米即可求出水桶的底面积，再根据体积=底面积×高，代入数据计算即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏教版六年级数学下册同步精讲 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积 内容导航 · 思维导图 2 · 知识梳理 2 · 考点精讲 5 · 考点一：圆柱体积公式推导相关问题 5 · 考点二：求圆柱体积 7 · 考点三：求圆柱容积 8 · 考点四：圆柱体积公式的相关应用 9 · 考点五：根据实际情况求圆柱体积相关问题 10 · 考点六：圆柱体积相关的扩倍与缩倍问题 11 · 考点七：横切中的圆柱体积相关问题 12 · 考点八：竖切中的圆柱体积相关问题 13 · 考点九：圆柱的展开图与圆柱体积相关问题 14 · 考点十：圆柱体积中比相关问题 16 · 考点十一：旋转形成圆柱体积相关问题 16 · 考点十二：长方体正方体削成圆柱最大体积问题 18 · 考点十三：运用转化法解决有关瓶子倒置圆柱体积相关问题 19 · 考点十四：排水法求圆柱体积相关问题 22 思维导图 知识梳理 1.圆柱的体积 （1）圆柱转化成近似的长方体 把圆柱的底面平均分成16份，切开后照下图的样子拼一拼。 拼成了一个近似的长方体。 如果把圆柱的底面平均分成32份、64份……切开后拼成的物体会有什么变化? 如果把圆柱的底面平均分成64份、128份……那么切开后拼成的物体形状就越来越接近长方体(把圆柱分成若干等份时，一般分成偶数份)。也可以说把圆柱的底面平均分成的份数越多，切开后拼成的物体的形状就越接近长方体。 （2）拼成的长方体和圆柱之间的关系 圆柱的形状改变，但体积不变。 ①拼成的长方体的体积=圆柱的体积。 ②拼成的长方体的底面积=圆柱的底面积。 ③拼成的长方体的高=圆柱的高。 注意：拼成的长方体与圆柱的表面积不相等 （3）圆柱的体积 ① 将圆柱转化为长方体推导出圆柱的体积公式，体现了“转化”的思想。 ②计算圆柱的体积时，如果已知半径，利用公式V=πr²h计算；已知直径，利用公式计算；已知周长，利用公式计算。 注意：①将圆柱切拼成近似的长方体后，体积和高都不变，表面积增加了长方体左、右面的面积(增加的面积=圆柱的底面半径×圆柱的高×2=2rh)。 ②圆柱形容器的容积的计算方法与体积相同，只是要从容器里面测量计算所需要的数据。一般地，一个物体的体积都比其容积大。 （4）计算圆柱的体积可以利用下面的计算公式计算。 V=Sh(已知底面积和高，求体积) =m²h(已知底面半径和高，求体积) =π(d÷2)²h(已知底面直径和高，求体积) =π(C÷π÷2)²h(已知底面周长和高，求体积) （5）用底面积乘高(V=Sh)也可以求一些特殊物体的体积，如： ①长方体、正方体和圆柱的统一体积公式： 体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 ②用三角形的面积公式求出底面积，用底面积乘高就可以求出三棱柱的体积。 ③用圆环的面积公式求出底面积，用底面积乘高就可以求出管状物体的体积。 2.圆锥的体积 （1）圆锥的体积公式 圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的。 圆锥的体积=底面积×高× 如果用V表示圆锥的体积，S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高，圆锥的体积公式可以写成：V＝Sh （2）圆柱和圆锥的体积关系 等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3:1,即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，少3。圆锥的体积比圆柱的体积 等体积等高的圆柱和圆锥的底面积的比是1:3。 等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1:3。 考点精讲 考点一：圆柱体积公式的推导相关问题 如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 ①圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh。 ②长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算。 如图，把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似的长方体。 （1）如果圆柱的高是5dm，长方体的长是6.28 dm，这个圆柱的体积是　 　dm3。 （2）如果圆柱的高是5dm，长方体的表面积比圆柱增加了20dm2。这个圆柱的体积是　 　dm3 （3）如果圆柱的底面半径是4cm，侧面积是251.2 cm2 ，乐乐把长方体侧放后，如图，他快速地求出了圆柱的体积，是　 　cm3 【答案】（1）62.8 （2）62.8 （3）502.4 【解答】解：（1）6.28×2=12.56（分米） 12.56÷3.14÷2=2（分米） 3.14×22×5 =12.56×5 =62.8（立方分米） （2）20÷2÷5=2（分米） 3.14×22×5 =12.56×5 =62.8（立方分米） （3）3.14×4×2=25.12（厘米） 251.2÷25.12=10（厘米） 3.14×42×10 =50.24×10 =502.4（立方厘米）。 故答案为：（1）62.8；（2）62.8；（3）502.4。 【分析】（1）长方形的长等于圆周长的一半，所以可以求出圆的周长，进而求出半径，根据半径和高求出体积。 （2）长方形的表面积比圆柱增加的部分为侧面两个长方形的面积，此长方形的长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径，所以根据题中条件可以求出半径，进而求出体积。 （3）圆柱的侧面积等于底面周长乘高，知道了底面半径可以求出底面周长，进而求出高。根据底面半径也可求出底面的面积，进而求出体积。 即时练习1 数学小组将一圆柱按下图切割开，然后拼成一个近似的长方体，观察填空。 （1）拼成的长方体高　 　，长　 　，宽　 　。 （2）拼成的长方体的体积与圆柱的体积　 　，底面积与圆柱的底面积　 　。 （3）拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积大　 　。 即时练习2 像长方体、正方体和圆柱这样的立体图形叫作柱体。柱体的体积都可以用底面积乘高来表示，即V＝S底h。将图1所示圆柱沿底面半径(r)分成16等份，再按图2所示方式摆放拼成一个近似的长方体。转化后，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 （1）如果圆柱切分后按图3所示方式摆放，此时长方体的底面积＝　 　，长方体的高＝　 　，V圆柱＝V长方体＝　 　。(用字母r、h表示，保留π) （2）把高是8cm的圆柱切分后按图2所示方式摆放，表面积增加了80cm2，这个圆柱的体积是　 　cm3。 即时练习3 如图，把底面直径为6cm 的圆柱沿直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加 60cm2，那么长方体的体积是　 　cm3。 考点二：求圆柱体积 计算圆柱体积的基本方法。 ①已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 ②已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=m²h。 ③已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)²h。 ④已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)²h。 根据给出的公式计算下面各圆柱的体积。 （1）V=π（）2h （2）V=πr2h 【答案】（1）解：3.14×(10÷2)2 ×15 =3.14×25×15 =78.5×15 = 1177.5( cm3) （2）解：3.14×32×12 =28.26×12 =339.12(cm3 ) 【分析】根据圆柱的体积公式，代人图中的数据计算即可。 即时练习1 一个圆柱的底面半径是 2d m，高是2d m，它的体积是　 　。 即时练习2 如图是用10块圆柱形木板堆成的，底面积是3.2cm2，求每块圆柱形木板的体积。 考点三：求圆柱容积相关问题 一个圆柱形杯子的底面直径是6cm，高是10cm，这个杯子的容积是　 　mL。（π取3.14） 【答案】282.6 【解答】3.14×（6÷2）2 ×10 =3.14×16×10 =282.6（立方厘米） 282.6立方厘米=282.6毫升 故答案为：282.6。 【分析】题中已经告诉我们圆柱的底面直径和高，要求这个圆柱形杯子的容积就是求圆柱的体积，根据公式求出即可。 即时练习1 一个圆柱形水池，从里面量得底面半径是2m，高是3m，它的容积是　 　m3。 即时练习2 挖一个深1.5米的圆柱形水池，底面直径是4米，这个水池的容积是　 　立方米。 考点四：圆柱体积公式的相关应用 （1）计算圆柱体积的基本方法。 ①已知圆柱的底面积和高，求体积：V=Sh。 ②已知圆柱的底面半径和高，求体积：V=m²h。 ③已知圆柱的底面直径和高，求体积：V=π(d÷2)²h。 ④已知圆柱的底面周长和高，求体积：V=π(C÷π÷2)²h。 （2）计算圆柱体积时，要看清数据，根据不同的数据选择不同的公式，已知公式中的任意两个量，都可以求出第三个量。 一个圆柱的体积是314cm3，底面积是31.4cm2，圆柱的高是　 　cm。 【答案】10 【解答】解：314÷31.4=10（cm） 故答案为：10。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，由此用圆柱的体积除以底面积即可求出高。 即时练习1 一个圆柱的体积是100.48dm3，高是8dm，它的底面积是　 　dm2。 即时练习2 一个圆柱的体积是251.2dm3，高是20dm，它的底面半径是　 　dm。 即时练习3 为了完善基础设施，杭州某景区增加了一些圆柱形的石凳，石凳的体积是62.8立方分米，底面半径是2分米，高是多少分米？ 考点五：根据实际情况求圆柱体积相关问题 要确定是求表面积，还是求体积，再联系实际情况看要求的是总表面积(总体积),还是部分表面积(部分体积)。 如图，一个蔬菜大棚的外形是半圆柱形，半圆柱外覆盖了一层塑料薄膜，已知这个大棚的宽是6米，长是40米。 ​ （1）需多少平方米的薄膜？ （2）整个大棚的空间是多少立方米？ 【答案】（1）解：3.14×6÷2×40 ＝9.42×40 ＝376.8（平方米） 答：需376.8平方米的薄膜。 （2）解：3.14×（6÷2）2×40÷2 ＝3.14×9×40÷2 ＝28.26×40÷2 ＝1130.4÷2 ＝565.2（立方米） 答：整个大棚的空间是565.2立方米。 【分析】（1）薄膜的面积=圆柱的侧面积÷2=大棚的宽×π×大棚的长÷2，据此代入数值作答即可； （2）整个大棚的空间=圆柱的体积÷2，其中圆柱的体积=π×（底面直径÷2）2×大棚的长，据此代入数值作答即可。 即时练习1 一个圆柱形粮囤，从里面量高是5米，底面半径是高的。如果每立方米稻谷约重0.5吨，那么这个粮囤能装稻谷多少吨？ 即时练习2 杭州亚运会举行期间，某蔬菜种植专业户为了保障亚运会期间市场蔬菜供应充足，新建了一批蔬菜大棚，每个蔬菜大棚的外形都是半圆柱形，如图是一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，大棚的占地面积为80m2，横截面是半径为2m．的半圆，这个大棚内的空间有多大？ 即时练习3 “六一”儿童节，小红和妈妈出去游玩。妈妈带了一个圆柱形水壶，从里面量底面直径是10cm，高是16cm。如果两人游玩期间要喝1L水，装满这壶水够喝吗？ 考点六：圆柱体积相关的扩倍与缩倍问题 圆柱的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： （1）当高不变时，底面积扩大几倍(或缩小为原来的几分之一),体积就扩大几倍(或缩小为原来的几分之一); （2）当底面积不变时，高扩大几倍(或缩小为原来的几分之一),体积就扩大几倍(或缩小为原来的几分之一)。 圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，则它的底面积扩大到原来的　 　倍，体积扩大到原来的　 　倍。 【答案】4；8 【解答】解：假设圆柱的底面半径和高都为1，则扩大后都为2，扩大后的底面积为：，扩大后的体积为：。 故答案为：4；8。 【分析】圆的面积=π×半径2；圆柱的体积=π×半径2×高。 即时练习1 把圆柱的底面直径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的 ，它的体积会（　　）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的 即时练习2 一个圆柱的体积是a m3，若它的底面积缩小到原来的，高扩大到原来的4倍，变化后的体积是　 　m3。 即时练习3 一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的（　　），它的体积才能保持不变。 A． B． C． D．9倍 考点七：横切中的圆柱体积相关问题 如图，把一根长2米的圆柱形木料截成3段，表面积增加了54.4平方厘米。那么，原来这根木料的体积是　 　立方厘米。 【答案】2720 【解答】解：2米=200厘米 54.4÷4×200 =13.6×200 =2720(立方厘米) 故答案为：2720。 【分析】图中可以看出将这根圆柱形木料截成3段，表面增加了4个底面积，因此，用增加的表面积除以4即可求出圆柱的底面积，再根据圆柱体积=底面积×高求出原来这根木料的体积。 即时练习1 把一段长20分米的圆柱形木头截成5段后，表面积增加了80平方分米，那么这段圆木的体积是多少？ 即时练习2 一根长3.6米的圆柱形木材，将它横截成三段后，表面积增加了2.8㎡，这根木材原来体积是多少？ 考点八：竖切中的圆柱体积相关问题 把一个底面周长大约 60cm 的圆柱沿着直径垂直底面切成两个半圆柱，表面积增加了 80cm3，这个圆柱的体积是　 　cm3。 【答案】600 【解答】解：60÷π=（cm）， 80÷2÷ =40÷ =π （÷2）2×π×π =×π×π =900× =600（cm3） 故答案为：600。 【分析】圆柱的底面直径=底面周长÷π，那么圆柱的高=增加的表面积÷2÷底面直径，所以圆柱的体积=（底面直径÷2）2×π×高，据此代入数值作答即可。 即时练习1 将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径垂直切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2，原来这个圆柱形木料的体积是　 　立方分米。 即时练习2 如图，将一个高8cm的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，这时表面积比原来增加了96cm2。这根圆柱形木料原来的表面积是 　 　cm2，体积是 　 　cm3。（得数保留π） 考点九：圆柱的展开图与圆柱体积相关问题 1.把一张铁皮按如图所示展开，正好能制成一只铁皮汽油桶，求所制铁皮汽油桶的容积。 【答案】解：圆柱的直径：8÷2=4（分米） 圆柱的半径：4÷2=2（分米） 圆柱的高：8分米 圆柱的容积：3.14×2×2×8 =12.56×8 =100.48（立方分米） =100.48（升） 答：所制铁皮汽油桶的容积是100.48升。 【分析】圆柱的容积=π×底面半径的平方×高。 2.一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4dm2的平行四边形，那么这个食品罐的体积是　 　dm3。 【答案】15.7 【解答】解：31.4÷5÷3.14÷2 =31.4÷3.14÷5÷2 =10÷5÷2 =1（dm） 3.14×12×5 =3.14×5 =15.7（dm3） 故答案为：15.7。 【分析】看图可知平行四边形的底就是圆柱的底面周长，高就是圆柱的高。平行四边形的面积÷高=圆柱的底面周长，平行四边形的面积÷高÷π÷2=圆柱的底面半径，圆柱的体积=πr2h。 即时练习1 下图是一个圆柱的表面展开图，图中每小格边长为1cm，则这个圆柱的底面直径是　 　cm。高是　 　cm，体积是　 　cm3。 即时练习2 一个圆柱的高是31.4 m，将它的侧面沿高展开后正好是一个正方形，这个圆柱的底面半径是　 　m，侧面积是　 　m2，体积是　 　m3。 考点十：圆柱体积中比相关问题 两个圆柱的底面积相等，第一个圆柱与第二个圆柱高的比是7：11，第二个圆柱的体积是132立方分米，第一个圆柱的体积是多少？ 【答案】解：132÷11×7=84（立方分米） 【分析】把第一个圆柱与第二个圆柱高的分别看做7和11，体积132÷11=第二个圆柱的底面积12，12也是第一个圆柱的底面积，用底面积12×高7=第一个圆柱的体积84。 即时练习1 大、小两个圆柱的底面半径的比是3：2，高的比是2：3，那么体积的比是　 　。 即时练习2 有两个圆柱，它们的底面周长的比是1：3，它们的高相等；这两个圆柱体积的比是　 　。 即时练习3 甲、乙两个圆柱高的比是3：2，底面直径的比是2：3，则甲、乙体积比为　 　，如果乙圆柱的体积是54立方厘米。则甲圆柱的体积是　 　。 考点十一：旋转形成圆柱体积相关问题 (1)确定圆柱的半径和高：绕长方形纸的长旋转一周形成的圆柱，它的底面半径就是宽，它的高就是长；绕长方形纸的宽旋转一周形成的圆柱，它的底面半径就是长，它的高就是宽。 (2)根据圆柱的体积公式计算：圆柱的体积=底面积×高，求出体积进行比较。 (3)体积的大小：绕长方形纸的宽旋转一周形成的圆柱的体积大。 1.下面这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。他们的体积各是多少？ 【答案】解：以长为轴： 3.14×102×20 =3.14×2000 =6280（立方厘米） 以宽为轴： 3.14×202×10 =3.14×4000 =12560（立方厘米） 答：他们的体积各是6280立方厘米、12560立方厘米。18 【分析】解答本题的关键是要先确定以长和宽为轴旋转一周的圆柱的底面半径和高分别是多少。以长为轴旋转一周，得到的是高为20cm、底面半径为10cm的圆柱；以宽为轴旋转一周，得到的是高为10cm、底面半径为20cm的圆柱；然后根据圆柱的体积公式计算体积即可。 2.将图中的长方形，以虚线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？ 【答案】解：3.14×32×4 =3.14×9×4 =113.04（立方厘米） 答：得到的是一个圆柱体，体积是113.04立方厘米。 【分析】圆柱体的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×圆柱的底面半径的平方，本题中圆柱的底面半径为长方形的宽即3cm，圆柱的高是长方形的长即4cm，代入数值计算即可得出答案。 即时练习1 一个长5厘米、宽3厘米的长方形绕它的一条边旋转一周，形成的圆柱的体积是　 　立方厘米或　 　立方厘米。 即时练习2 将一张长8厘米、宽6厘米的长方形纸（如图），以宽为轴旋转一周，得到圆柱的体积是多少？ 考点十二：最大体积问题 1.一个长方体木块，长8 dm，宽6 dm，高10 dm。把它削成一个最大的圆柱，求这个圆柱的体积。 【答案】解：削成的圆柱分三种情况考虑： ①3.14×( 6÷2)2×8 =28.26×8 = 226.08( dm3 ) ②3.14×(6÷2)2×10 =28.26×10 = 282.6( dm3 ) ③3.14×( 8÷2)2×6 =50.24×6 = 301.44( dm3 ) 226.08<282.6<301.44． 答：圆柱的最大体积是301.44 dm3。 【分析】圆柱的体积=π×半径2×高，分情况计算出圆柱的体积，然后把体积比较大小。 2.有块正方体的木料，它的棱长是4dm。把这块木料加工成一个最大的圆柱（如图）。这个圆柱的体积是多少？ 【答案】解：d=4dm 圆柱的半径：4÷2=2(dm) 3.14×22×4=50.24（dm3） 答：这个圆柱的体积是50.24dm3。 【分析】把正方体加工成最大的圆柱，圆柱的底面直径=圆柱的高=正方体的棱长，圆柱的底面半径=底面直径÷2，所以这个圆柱的体积=πr2h。 即时练习1 一个长方体的长、宽、高分别是12厘米、10厘米、8厘米，体积是　 　立方厘米，如果把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是　 　立方厘米. 即时练习2 用一个长6分米、宽4 分米、高7分米的长方体木料切成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是　 　分米³。 考点十三：运用转化法解决有关瓶子倒置圆柱体积相关问题 为了测量一个空瓶子的容积，典典所在的一个学习小组进行了如下实验： ①测量出整个瓶子的高度是23cm； ②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6 cm； ③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5 cm； ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，测量出圆柱的高是15 cm。 （1）要求这个瓶子的容积，上面记录中有用的信息是　 　(填序号)。 （2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。 【答案】（1）②③④ （2）解：3.14×(6÷2)2×(5+15) =28.26×20 =565.2(cm3) =565.2(mL) 答：这个瓶子的容积为565.2mL。 【解答】解：（1）这个瓶子的容积=瓶子的底面积×（正放水的高度+倒放无水部分的高度），所以需要的信息是②③④。 故答案为：（1）②③④。 【分析】（1）求这个瓶子的容积，需要瓶子的底面积、正放水的高度、倒放无水部分的高度，据此作答即可； （2）瓶子的容积=瓶子的底面积×（正放水的高度+倒放无水部分的高度），其中瓶子的底面积=（底面直径÷2）2×π。 即时练习1 一个底面内半径是2厘米的瓶子里装了一些油，油面高度正好是5厘米。现将瓶子盖好倒立后，空余部分的高是15厘米，你知道这个瓶子里最多能装多少毫升的油吗? 即时练习2 一个装满水的瓶子，内直径是8 cm。小明喝了一些后，水面高度是12cm，把瓶盖拧紧后倒置，无水部分的高度是10cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 即时练习3 如图，一瓶饮料的容积是625毫升，淘气喝了一些后，想知道喝了多少，他把瓶子正放，量出饮料的高度是8厘米。再将瓶子倒放，量出空余部分的高度是4.5厘米，你能帮淘气算出瓶内的饮料有多少毫升吗？ 考点十四：排水法求圆柱体积相关问题 1.一个圆柱形容器的内直径是20cm，容器中装有水。把一块铜放入这个容器后，这块铜完全没入水中，水面上升了4cm（水未溢出），这块铜的体积是多少立方厘米? 【答案】解：20÷2=10（厘米） 3.14×102×4 =314×4 =1256（立方厘米） 答：这块铜的体积是1256立方厘米。 【分析】这块铜的体积=圆柱形容器的底面积×上升水的高度；其中，圆柱形容器的底面积=π×半径2。 2.如图，有一个高为8cm、容积为50mL的圆柱形容器A，里面装满了水。现将长为16 cm的圆柱体B垂直放入水中，使B的底面和A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出。当把B从A中拿出后，A中水的高度为6 cm。求圆柱体B的体积。 【答案】解：50mL=50cm3 (8-6)÷8=2÷4= 50××2=12.5×2=25( cm3) 答：圆柱体B的体积是25立方厘米。 【分析】容器A的高度是8厘米，圆柱体B的长是16厘米，B的底面和A的底面接触，说明圆柱体B的一半放入水中； 当把B从A中拿出后，A中水的高度为6cm，说明下降了2厘米，下降的高度占容器A高度的，也可以理解为圆柱体B一半的体积占容器A体积的，容器A的体积×=圆柱体B一半的体积； 圆柱体B一半的体积×2=圆柱体B的体积。 3.一个圆柱形水槽（如图），底面积是400cm2，内盛有12cm深的水。将一个棱长为8cm的正方体铁块放入水中（铁块完全浸没在水中，且水没有溢出），水面将上升到多少厘米？ 【答案】解：83＝512（立方厘米） 512÷400＝1.28（厘米） 1.28+12＝13.28（厘米） 答：水面将上升到13.28厘米。 【分析】水面将上升到的高度=原来水的高度＋放入正方体铁块后水面上升的高度；其中，放入正方体铁块后水面上升的高度=正方体的体积÷圆柱体的底面积；正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 即时练习1 一个底面直径20厘米的圆柱形玻璃缸里有一个圆柱体物品，圆柱的浸没在水中，把这个圆柱体拿出来，缸内水面下降了2厘米，求这个圆柱体的体积是多少？ 即时练习2 一个圆柱形玻璃容器，从里面量得底面直径为12cm，里面盛有水，水中完全浸没着一个高为3cm的长方体铁块，当把长方体铁块从水中取出后，水面下降了0.5cm。这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 即时练习3 在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是5厘米的圆钢，如果把它全部放入水中，桶里的水面上升9厘米；如果让水中的圆钢露出8厘米，这时桶里的水面就下降4厘米。问：这段圆钢的体积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$