第10章 第3节 电势差与电场强度的关系-【名师导航】2024-2025学年高中物理必修第三册同步讲义(人教版)

第3节　电势差与电场强度的关系 1．理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed，了解其适用条件，会应用其解决问题。 2．理解公式E＝中d和UAB的意义，会运用其解决相关问题。 　匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。 2．关系式：UAB＝Ed。 3．适用条件：匀强电场。 公式中d必须是沿电场强度方向的距离。当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在电场强度方向上的投影距离，亦为电场中两点所在的等势面间的距离。 4．电场强度的另一种表述 (1)内容：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。 (2)公式：E＝。 (3)物理意义：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。 (4)方向 电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 (5)单位：符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。 E＝这一比值在非匀强电场中也有意义，它表示两点间的平均电场强度。 安全用电常识中，有一个涉及“跨步电压”现象的问题。你知道什么是“跨步电压”吗？如果遇到地面有漏电，应该如何避免“跨步电压”？ 地下电缆漏电、高压电线断裂后触地等情况，都会在地面上形成以漏电处为圆心的辐射状电场，沿电场方向任意两点之间就会有电势差。 若有人处在其中，在人向远离漏电处跨步逃离的情况下，两脚间就有一电压，即跨步电压，人就会触电。人若不动就不会触电，若要逃离的话，就采用什么方式？ 提示：采用跳跃式，可以避免跨步电压。 1．电场强度的三个公式对比 公式 物理含义 引入过程 适用范围 E＝ 是电场强度大小的定义式 对电场中某点有F∝q，F＝Eq，E为比例常量 任何电场 E＝k 是真空中点电荷电场强度的决定式 由E＝和库仑定律导出 点电荷形成的电场 E＝ 是匀强电场中电场强度的定义式 由F＝qE、W＝qU及W＝Fd导出 匀强电场 2．关于电场强度与电势的理解 (1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。 (2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。 3．在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论。 在等差等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。 4．用等分法分析匀强电场的电势 (1)在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势问题的方法叫作等分法。 (2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势为φC＝，如图甲所示。 　　 甲 乙 (3)在匀强电场中，长度相等且相互平行的两线段端点间的电势差相等，如图乙所示，则UAB＝UDC(或φA－φB＝φD－φC)，同理可知UAD＝UBC。 　应用E＝定量计算 【典例1】　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10-10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做功都是3.0×10-8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)a、b两点的电势差Uab； (2)匀强电场的电场强度大小和方向。 [思路点拨]　(1)静电力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。 (2)匀强电场的电场强度可由公式E＝求解。 [解析]　(1)因为正电荷从a到b和从a到c，静电力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知电场强度方向与ac平行，垂直指向bc。 Uab＝ V＝60 V。 (2)由U＝Ed可得 E＝ V/m＝375 V/m 电场强度方向平行于ac，且由a指向c。 [答案]　(1)60 V　(2)375 V/m　方向平行于ac且由a指向c 　计算电场强度应注意的问题 (1)在选取电场强度公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。 (2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿电场强度方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿电场强度方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿电场强度方向上的距离。 [跟进训练] 1．如图所示，三角形ABC所在平面与匀强电场方向平行，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm。把一个电荷量q＝1×10-5 C的正电荷从A点移到B点，电场力做的功为零；从B点移到C点，电场力做的功为－1.73×10-3 J，则该匀强电场的电场强度大小和方向是(　　) A．865 V/m，垂直AC向左 B．865 V/m，垂直AC向右 C．1 000 V/m，垂直AB斜向上 D．1 000 V/m，垂直AB斜向下 D　[把正电荷从A点移到B点，电场力做的功为零，说明A、B两点在同一等势面上，由于该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB是一条等势线，电场强度方向应垂直于等势线，选项A、B错误；UBC＝ V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因沿电场强度方向电势降低，所以电场强度方向垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝ V/m≈1 000 V/m，因此选项D正确，C错误。] 　应用E＝定性分析 【典例2】　如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则ab连线的中点c的电势φc应为(　　) A．φc＝－35 V B．φc＞－35 V C．φc＜－35 V D．无法判断 B　[由题图可知，这是一个非匀强电场，且Ea＞Ec＞Eb，即从b到a电场强度越来越大，则Ubc=·d，Uca=·d，其中、分别为bc段和ca段的平均电场强度，且<，故Ubc＜Uca，即φb－φc＜φc－φa，得φc＞－35 V，B正确。] [跟进训练] 2．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　　) A．φa＞φb＞φc B．Ea＞Eb＞Ec C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec A　[电场线是沿直线的电场，通常有如图所示几种情况： 题中给出的一条电场线，不一定是哪一种，故B、C、D错误；不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φa>φb>φc，故A正确。] 　用等分法分析匀强电场的电势 【典例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m A　[由匀强电场的特点可得，OA的中点C的电势φC＝3 V，则φC＝φB，即B、C在同一等势面上，由电场线与等势面的关系和几何关系可知，电场强度的方向垂直于BC，如图所示。由几何关系知d＝1.5 cm，则E＝ V/m＝200 V/m。故选A。 ] 　用等分法找等势点的技巧 (1)在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点。 (2)在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向。 (3)等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。 (4)用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。 [跟进训练] 3．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，由此可以推断D点的电势φD是(　　) A．6 V B．9 V C．3 V D．12 V B　[方法一：如图甲所示，根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC。尽管AC不一定是电场强度方向，但可以肯定AM、MN、NC在电场强度方向上的投影长度相等。由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝ V＝6 V。由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以φD＝φM＝9 V。 甲　　　 　　　乙 方法二：在匀强电场中，除等势面上的直线外，任何一条直线上两点间的电势差一定与这两点间的距离成正比。 如图乙所示，连接AC、BD交于O点，则有UAO＝UOC，UBO＝UOD。φA－φO＝ V＝9 V，φO＝φA－9 V＝15 V－9 V＝6 V，φB－φO＝φO－φD，所以φD＝2φO－φB＝2×6 V－3 V＝9 V。 方法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等。故有UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，所以φD＝9 V。] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．E＝适用于任何电场 B．E＝适用于任何电场 C．E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场 D．E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量 BC　[只适用于匀强电场，A错误；E＝适用于任何电场，B正确；E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场，C正确；在公式U＝Ed中，E是矢量，U是标量，D错误。] 2．如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于(　　) A．－8 V　 　B．－4 V　 　C．8 V　 　D．4 V B　[在电场线方向上a、b两点间的距离(或a、b两点所在等势面间的距离)为d′＝d·cos 60°＝0.01 m，根据匀强电场中，电势差与电场强度的关系可知，Uab＝－Ed′＝－4 V，选项B正确。] 3．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示，由此可知c点的电势为(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V B　[根据匀强电场的特点，Uad＝Ubc，即φa－φd＝φb－φc，解得φc＝8 V，B正确。] 4．如图所示，两块平行金属板A、B相隔6 cm，分别接在36 V的直流电源的正、负极上。点C在两板间且到板A的距离为2 cm，正极板A接地。 (1)求A、B两板间的电场强度。 (2)以地面为电势零点，求点C的电势。 [解析]　(1)A、B极板间电场为匀强电场，则电场强度大小 E＝＝600 V/m 方向由A板垂直指向B板。 (2)因为UAC＝EdAC＝600×2×10-2 V＝12 V 所以，有φA－φC＝12 V φA＝0 可求得φC＝－12 V。 [答案]　(1)600 V/m，方向由A板垂直指向B板　(2)－12 V 回归本节知识，自我完成以下问题： 1．电场强度与电势差的关系是怎样的？ 提示：在匀强电场中，E＝。 2．相邻等势面之间的电势差相同时，等势面越密集的地方，电场强度越大还是越小？ 提示：根据E＝可知，等势面越密集的地方，电场强度越大。 3．既然沿电场线方向是电势降落最快的方向，电场线与等势面应存在什么关系？ 提示：电场线与等势面处处垂直且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 课时分层作业(七)　电势差与电场强度的关系 题组　匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是(　　) A．任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积 B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等 C．电势降落的方向一定是电场强度的方向 D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向 B　[公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。] 2．关于电场强度E，下列说法正确的是(　　) A．由E＝知，若q减半，则该处电场强度为原来的2倍 B．由E＝k知，E与Q成正比，而与r2成反比 C．由E＝知，电场中两点的距离越大，电场强度E越小 D．E＝适用于匀强电场，E＝k适用于点电荷电场，E＝适用于任何电场 B　[公式E＝为电场强度的定义式，采用比值定义法定义的物理量，电场强度的大小与F、q无关，故A错误；公式E＝k为点电荷产生的电场强度的计算公式，也是电场强度的决定式，所以E与Q成正比，而与r2成反比，故B正确；公式E＝是匀强电场中电场强度与电势差的关系式，电场强度的大小与U和d无关，故C错误；E＝适用于任何电场，E＝k适用于点电荷电场，E＝适用于匀强电场，故D错误。] 3．如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　) A．UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V) C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V) A　[本题主要考查匀强电场中电场强度与电势的关系，意在考查U＝Ed中d的物理意义。由题图知，UOP＝－E·PO·sin θ＝－10sin θ(V)，A正确。] 4．如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　) A．等于6 V　 B．低于6 V C．高于6 V D．无法确定 B　[因点电荷所形成的电场离点电荷越远电场强度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V，B正确。] 5．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB＝BC。电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系式错误的是(　　) A．φA>φB>φC B．EC>EB>EA C．UAB<UBC D．UAB＝UBC D　[由图中电场线形状可以看出，从A到C电场线越来越密，因此电场强度越来越大，即EC>EB>EA，沿着电场线的方向电势越来越低，因此φA>φB>φC；由于AB＝BC，U＝Ed且B、C间平均电场强度较大，因此UAB<UBC，故选项A、B、C正确，D错误。] 6．如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为(　　) A．4 V B．8 V C．12 V D．16 V C　[根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段dc，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V。故选C。] 7．如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝ 60° , BC＝20 cm，把一个电荷量q＝10-5 C的正电荷从A移到B，静电力做功为零；从B移到C，静电力做功为－1.73×10-3 J。则该匀强电场的电场强度的大小和方向是(　　) A．865 V/m，垂直AC向左 B．865 V/m，垂直AC向右 C．1 000 V/m，垂直AB斜向上 D．1 000 V/m，垂直AB斜向下 D　[把电荷q从A移到B，静电力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中AB即为等势线，电场强度方向垂直于等势面，选项A、B错误；UBC＝V＝－173 V，B点电势比C点低173 V，因电场强度方向是电势降低最快的方向，所以电场强度的方向必垂直于AB斜向下，电场强度大小E＝V/m≈1 000 V/m，选项D正确，C错误。] 8．如图所示，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.4 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则(　　) A．电场强度的大小E＝200 V/m B．b点的电势比d点的电势低5 V C．将电子从c点移到d点，静电力做正功 D．若电子从a点运动到c点，电势能减小10 eV D　[根据Uab＝E·ab cos 60°，可得电场强度的大小E＝ V/m＝100 V/m，故A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，故B错误；将电子从c点移到d点，因电子所受的静电力与位移反向，可知静电力做负功，故C错误；a、c两点电势差为Uac＝－Edac＝－100×(0.2－0.2cos 60°) V＝－10 V，电子从a点运动到c点过程，静电力做的功为Wac＝－eUac＝10 eV，可知静电力做正功，电势能减小10 eV，故D正确。] 9．如图所示的匀强电场电场强度为1.0×103 N/C，abdc为矩形，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是(　　) A．a、b之间的电势差为40 V B．a、c之间的电势差为50 V C．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25 J D．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25 J A　[由UAB＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故静电力做的功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10-3)×40 J＝－0.2 J，D错误。] 10．如图所示，在匀强电场中，电场强度方向与△abc所在平面平行，ac⊥bc，＝0.2 m。一个电荷量q＝1×10-5 C的正电荷从a移到b，静电力做功为零；同样的电荷从a移到c，克服静电力做功为1×10-3 J。下列说法正确的是(　　) A．a、c两点的电势差Uac＝100 V B．该匀强电场的电场强度E＝500 V/m C．该匀强电场的电场线方向垂直于ab向下 D．正电荷由c点移到a点的过程中，电势能增加 C　[在匀强电场中，由静电力做功与电势差的关系公式，可得a、c两点的电势差为Uac＝ V＝－100 V，A错误；由题意可知，将正电荷从a移到b，静电力做功是零，由静电力做功特点可知，a、b两点电势相等，则有a、b是一条等势线，由于电场是匀强电场，电场线与等势线垂直，即电场强度方向与ab垂直，由计算可知，c点到直线ab垂直距离之间的电势差为100 V，由匀强电场的电场强度与电势差的关系公式，可得匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝1 000 V/m，B错误；由于a点电势低于c点电势，沿电场线方向电势降低，可知电场线方向垂直于ab向下，C正确；正电荷由c点移到a点，是由高电势移到低电势，静电力做正功，电势能减小，D错误。] 11．如图所示为一组未知方向的匀强电场的电场线，与水平方向夹角为60°，将1×10-6 C的负电荷由A点沿水平线移至B点，静电力做了2×10-6 J的功，A、B间的距离为2 cm。问： (1)匀强电场电场强度多大？方向如何？ (2)A、B两点间的电势差多大？若B点电势为1 V，A点电势为多少？ [解析]　(1)移动负电荷从A到B静电力做正功，负电荷受到的静电力的方向沿电场的反方向，所以电场方向斜向上。 由公式W＝qEl cos 60°得E＝V/m＝200 V/m。 (2)A、B间的电势差为 U＝El cos 60°＝200×2×10-2×0.5 V＝2 V 因A点电势低，故UAB＝－2 V 由UAB＝φA－φB 得φA＝φB＋UAB＝1 V＋(－2 V)＝－1 V。 [答案]　(1)200 V/m　斜向上方　(2)－2 V　－1 V 12．如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出。现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求： (1)小球应带何种电荷及其电荷量； (2)小球受到的合外力的大小； (3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大) [解析]　(1)作电场线如图甲所示。由题意知，小球只有受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度的方向才可能在一条直线上，如图乙所示。只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。 由图乙知，qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝。 甲　　　　　　　　　　　乙 (2)由图乙知， F合＝mg。 (3)由动能定理得－F合xm＝0－ 所以xm＝。 [答案]　(1)正电荷　　(2)mg　(3) 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $$