2024-2025学年人教版九年级上册数学期末考试试卷

人教版九年级上册数学期末考试试题 一、单选题 1．下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．把抛物线向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121 4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（　　） A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外 C．点O在⊙A上 D．以上都有可能 5．下列事件为必然事件的是（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球 C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b 6．某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛． A．4 B．5 C．6 D．7 7．在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x与二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 8．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 9．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 10．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝( ) A．54° B．72° C．108° D．144° 二、填空题 11．已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 12．在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是 _____个． 13．在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是 _____米． 14．如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是___. 15．飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 _____米． 16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为______. 17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，则y＜0，x的范围是_____． 三、解答题 18．解方程：2x2+x﹣15＝0． 19．如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE． 20．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）． 21．为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人． （1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 　 　； （2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D． （1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧的长． 24．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 25．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD． （1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值． 26．已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围． 27．如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝2，DE，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H． （1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长； （2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值； （3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值． 参考答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B 11．1 12．6 13．18 14．5 15．150 16．6 17．﹣2＜x＜4． 18．或； 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴或； 19．见解析 【详解】解：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE， 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE． 20．（1）见详解；（2） 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可． （2）由勾股定理求出AC的长度，然后利用扇形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图所示： （2）由勾股定理，则 ， ∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为： ； 21．（1）；（2） 【详解】解：（1）根据题意， ∵男生2人，女生3人， ∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是：； 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰好选到一男一女的结果有12种， ∴恰好选到一男一女的概率为：． 22．（1）；（2） 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B代入即可求出二次函数解析式； （2）由图像可知，x轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x轴的交点特征求得二次函数与x轴的交点即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点A（1，4）在一次函数y＝﹣2x+m上， ∴把点A（1，4）代入y＝﹣2x+m， 得，4＝﹣2×1+m， 解得：m＝6， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6， 令y＝0时，则﹣2x+6＝0，解得：x＝3， ∴点B的坐标为：（3，0）， ∵点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上， ∴设二次函数解析式为：， 把点B（3，0）代入， 解得：a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）求得二次函数解析式为， 令y＝0，即， 解得：，， 由图像可知x轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）， ∴自变量x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根据顶点坐标设出二次函数顶点式是求出二次函数的关键． 23．（1）作图见解析；（2） 【分析】（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可； （2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求； （2）如图所示，连接CD和OD， 由题意，AD为⊙O的切线， ∵OC⊥AC，且OC为半径， ∴AC为⊙O的切线， ∴AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∵CD=BD， ∴∠B=∠DCB， ∵∠ADC=∠B+∠BCD， ∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， 即：3∠DCB=90°， ∴∠DCB=30°， ∵OC=OD， ∴∠DCB=∠ODC=30°， ∴∠COD=180°-2×30°=120°， ∵∠DCB=∠B=30°， ∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∵AO平分∠BAC， ∴∠CAO=∠DAO=30°， ∴在Rt△ACO中，， ∴． 【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键． 24．（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 25．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8. 【详解】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线； （2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值． 试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线． 证明如下： 连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线． （2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8． 考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型． 26．（1）；（2）当时，取得的最大值，最大值为；（3）或 【分析】（1）将点C（0，）代入抛物线解析式直接求解即可； （2）先求出A点坐标，以及直线AC的解析式，再过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点，通过设P、Q两点的坐标，建立出关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P点坐标即可； （3）先根据题意画出基本图像G，然后结合平移的性质确定B点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B平移至恰好在PC上时，以及图象G与直线AC的交点R，经过平移至C点时，满足要求，应注意，当A点平移后经过C点时，此时也可满足图象M与PC仅有一个交点，即为C点，此情况应单独求解． 【详解】解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴令，解得：，， ∴A、B坐标分别为：，， 设直线AC的解析式为：， 将和代入得： ，解得：， ∴直线AC的解析式为：， 如图所示，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点， ∵P点在位于直线AC上方的抛物线上， ∴设，则，其中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为， 此时，将代入抛物线解析式得：， ∴当时，取得的最大值，最大值为； （3）如图所示，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G． 由（1）可知，原抛物线顶点坐标为， ∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：； ∵图象G沿着直线AC平移， ∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动， 分如下情况讨论： ①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示， 此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点， 由（2）知，，以及直线AC的解析式为， ∴设直线BS的解析式为：， 将代入得：， ∴直线BS的解析式为：； 设直线PC的解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴直线PC的解析式为：； 联立，解得：， 即：S点的坐标为， ∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位， 即：当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M1的顶点的横坐标； ②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示， 设图象G与直线AC的交点为R， 联立，解得：或， ∴点R的坐标为：， 由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位， ∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M2的顶点的横坐标； ∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点， 此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：； ③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示， 此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位， 即：原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M3的顶点的横坐标； 综上所述，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或． 27．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEF，则AE=DF，由AD是圆O的直径，得到∠AED=90°，则； （2）连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，由题意可知H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值，由此求解即可； （3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，先证四边形BCHN是平行四边形，得到HT=BN，再证△AME∽△BNE，得到BN=4AM，即可推出CH-4AM=CH-HT=CT，又由 即可得到当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，连接DF， ∵AD∥l， ∴∠ADE=∠DEF， ∴AE=DF， ∵AD是圆O的直径， ∴∠AED=90°， ∴； （2）如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M， ∵CH⊥EH， ∴∠CHE=90°， ∴H在以K为圆心，以CE为直径的圆上， ∵， ∴如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5，AB∥CD， ∴BE=AB-AE=4，∠CDE=∠AED=90°，∠DCE=∠MEK， ∴， ∴， ∵∠CDE=∠EMK=90°， ∴△CDE∽△EMK， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴BH的最大值为；     （3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T， ∵BN⊥l，CH⊥l， ∴BN∥CH， ∴四边形BCHN是平行四边形， ∴HT=BN， 同理可证AM∥BN， ∴△AME∽△BNE， ∴， ∴BN=4AM， ∴HT=4AM， ∴CH-4AM=CH-HT=CT， 又∵ ∴当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴CH-4AM的最大值为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$