精品解析：河南省实验中学2024-2025学年八年级下学期入学测试七年级数学试卷

数学 （时间：60分钟满分100分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 中国结 C. 剪纸对鱼 D. 风筝燕归来 2. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　） A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 4. 在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 5. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿射线平移得到，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 12. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°至的位置，则的面积为______． 13. 如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 14. 平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则__________． 15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三．解答题（共5小题） 16. 计算： （1）因式分解：． （2）解一元一次不等式组， 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A坐标为（2，4），解答下列问题． （1）画出△ABC关于原点中心对称△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）若△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，直接写出点A2的坐标． 18. 如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接已知， （1）求证：是等腰三角形 （2）当时，求的面积． 19. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． （1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别多少元？ （2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 20. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 （时间：60分钟满分100分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 中国结 C. 剪纸对鱼 D. 风筝燕归来 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为． 故选：A． 3. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连接CD，则∠ACD的大小为（　　） A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 4. 在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理得到结论． 【详解】解：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故到三角形任意两条边距离相等的点在两边所夹的角的平分线上， ∴到三角形三条边的距离相等，这个点应是三条角平分线的交点， 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 5. 设x，y是实数，若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的性质，即可求解． 【详解】解：A：在不等式两边同时减，不改变不等号的方向，故，故A错误； B：在不等式两边同时乘，不改变不等号的方向，，故B正确； C：在不等式两边同时乘，不等号方向发生改变，，故C正确； D：在不等式两边同时乘，不等号方向发生改变，；在此基础上，在不等式两边同时加，不改变不等号的方向，，故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查一元一次不等式的性质．将各选项正确变形是解题的关键． 6. 小明准备用零花钱购买一个学生眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列不等式，每月存25元，则x个月存元，与已存的60元之和大于等于480元即可． 【详解】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此， 故选A． 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数图象与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：由图可得，当时，， ∴关x的不等式的解集是， 故选：D． 8. 如图，将沿射线平移得到，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的概念判断即可． 【详解】∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 9. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意．  故选：D． 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴且为整数， ∴， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的坐标特点，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°至的位置，则的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转性质得CD=CB=3，CE=CA=4，∠ACE=∠ACB=90°，则S△DCE==6，S△ACE==8，即可由S△ADE= S△ACE- S△DCE求解． 【详解】解：由旋转性质得CD=CB=3，CE=CA=4，∠ACE=∠ACB=90°， ∴S△DCE===6，S△ACE===8， ∴S△ADE= S△ACE- S△DCE=8-6=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13. 如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【详解】解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三．解答题（共5小题） 16. 计算： （1）因式分解：． （2）解一元一次不等式组， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法及因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据分解因式方法求解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式得解为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A坐标为（2，4），解答下列问题． （1）画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）若△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，直接写出点A2的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）A2（−4，2） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕原点O逆时针旋转90°后得到的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（−2，−4）． 【小问2详解】 解：如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（−4，2）． 【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 18. 如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接已知， （1）求证：是等腰三角形 （2）当时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16 【解析】 【分析】（1）证明：根据等边三角形的性质得到，推出∠E=∠BCD，得到DE=DC，由此得到结论； （2）设，则，求出，得到，推出△DEC是等腰直角三角形，过点作于点，证得△DFE、△DFC都是等腰直角三角形，求出DF=4，即可根据三角形的面积公式求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形 ， ， ， ， ， 等腰三角形； （2）设，则， ， ， 在中，， ， 解得， ， 是等腰直角三角形， 过点作于点，如图所示， ， 都是等腰直角三角形， ， ∴DF=4， 的面积为： 【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的等角对等边的判定定理，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 19. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元． （1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？ （2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？ 【答案】（1）甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元 （2）500千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式． （1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据“购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元”即可列出方程组，求解即可； （2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“采购费用不多于18000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元． 【小问2详解】 解：设超市采购甲种稻花香大米m千克， 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克． 20. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）BE⊥AB，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，因此，得到，即可证明平分； （2）由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质，即可证明； （3）作于，由三角形内角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：作于， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等知识，关键是掌握旋转的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$