广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第三阶段（期末）数学试题

深圳实验学校高中部2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 2. 已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 4. 已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，且，，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则下列命题中正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被y轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 当直线被圆截得的弦长最小时，直线的方程为 10. 对于无穷数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列 B. 若等差数列满足，则是常数列 C. 若等比数列满足，则是常数列 D. 若各项为正数的等比数列满足，则是常数列 11. 如图，棱长为2的正方体中，动点P满足，则以下结论正确的为（ ） A. ，使直线平面 B. ，三棱锥体积为定值 C. 当时，点P到AC的距离为 D. 当时，三棱锥的外接球表面积为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 13. 记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________． 14. 给定圆：及抛物线：，过圆心作直线，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为，，，；如果线段，，的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线的方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记为的前n项和，证明：． 16. 已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． （1）求p； （2）过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 17. 如图，已知四棱锥，平面ABCD，，，，，为中点． （1）证明：； （2）证明：平面ABE； （3）求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 将有穷数列任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为的伴随数列．若的伴随数列是公差不为0的等差数列，称具有性质． （1）判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质； （2）若递增数列1，3，，（，）具有性质，求和的值； （3）若有穷数列具有性质，求的最大值． 深圳实验学校高中部2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2）证明：由（1）可得，① ，② ①－②得， 所以． 【16题答案】 【答案】（1） （2）． 【17题答案】 【答案】（1）证明：在四棱锥中， ∵底面，平面，∴， ∵，且平面． ∴平面． 而平面PAC，∴． （2）证明：由，，得， 又，所以． ∵是的中点，∴． 由（1）知，且平面， ∴平面．而平面，∴． ∵底面，平面，∴． 又∵，且平面， ∴平面，而平面，∴． 又∵平面，∴平面． （3）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由于，，，的斜率分别是，，且点P不在x轴上． 所以，，． 又直线、的方程分别为，， 联立方程解得，所以， 由于点P在直线上，所以， 即，故为定值． （ii）存在，，． 【19题答案】 【答案】（1）数列1，2，3具有性质P；数列1，3，5，7不具有性质P． （2）x，y的值分别为4，5或5，9． （3）4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $