精品解析：广西柳州市第八中学2024—2025学年下学期九年级数学开学考试卷

2025年二月柳州八中22级九下数学月考（一） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 规定电梯上升为“+”，那么电梯上升米表示（ ） A. 电梯下降10米 B. 电梯上升10米 C. 电梯上升0米 D. 电梯没有动 2. 一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不能确定 3. 请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为 （　　） A. B. C. D. 4. 如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的最长边为（ ） A. 10 B. 7 C. 12 D. 14 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个．表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 10. 一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当__________时，分式的值为零． 14. 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 _____．（结果保留π） 15. 在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是______． 16. 如图，矩形硬纸片的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，，．当最大时，点D的坐标是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的整数解为______． 18. 已知：如图1，P为外一点．求作：过点P作的切线，，A，B为切点．下面是亮亮设计的尺规作图过程； 如图2，连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；作直线，交于点M，以点M为圆心，的长为半径作圆，交于点A，B；连接，，切线，即为所求． 根据亮亮设计的尺规作图过程解答下列问题： （1）可判定的依据是______； （2）亮亮通过证明得到，请你帮他完成证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． （1）求直线的函数表达式． （2）当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． （3）设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 20. 如图，内接于，是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，求． 21. 如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接．然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习． 动手操作（如图1） 第一步，在线段上取一点E（点A和点D除外）； 第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点F； 第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，． 猜想验证 （1）根据图1的操作，填空： ①四边形的形状为________，依据的判定定理是________；②与的数量关系为________． （2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年二月柳州八中22级九下数学月考（一） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 规定电梯上升为“+”，那么电梯上升米表示（ ） A. 电梯下降10米 B. 电梯上升10米 C. 电梯上升0米 D. 电梯没有动 【答案】A 【解析】 【分析】上升为“+”，则“-”表示下降，从而可得出电梯上升-10米表示的含义． 【详解】规定电梯上升为“+”，那么电梯上升-10米表示：电梯下降10米． 故选A． 【点睛】此题考查了正数和负数，在实际运用中，用正、负数表示两种具有相反意义的量． 2. 一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面看到的图形与图2相同，得出答案即可． 【详解】解：从图1的左面看到的图形与图2相同，因此图2可能是它的左视图，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，从正面看到的图形为主视图，从左面看到的图形为左视图，从上面看到的图形为俯视图． 3. 请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题是有理数运算的实际应用，就是已知两个数的和及其中一个加数，求另外一个加数，作减法列出正确的算式 依题意得：故选C． 4. 如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的最长边为（ ） A. 10 B. 7 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、比例的基本性质等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键． 设的最长边为n，另外一边为m，根据相似三角形的性质可得，据此求得n即可． 【详解】解：设的最长边为n，另外一边为m， ∵的三边之比是，与它相似的的最短边为6， ∴，即，解得：． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个．表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，由题意得，，据此可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， 故选：． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 9. 如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D 10. 一次函数的图象与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用一次函数图象求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点问题，利用的图象与轴的交点坐标为的结果，代入到不等式结合的取值范围即可求解． 【详解】解：的图象与轴的交点坐标为， 可得：，即， ， ，， ，即， 故选：D． 11. 如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，由题意得出剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，再根据多边形的内角和公式计算即可得出答案． 【详解】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形， 剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA． ∴AE=AB=，PA=2，PE==1． ∴PD=． ∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴DC=2， ∴a=PD+DC=2+． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当__________时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为的条件，熟练掌握分式为的条件是解题的关键．根据题意得到且，即可得到答案． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得， 故答案为：． 14. 若扇形的圆心角为，半径为4，则它的弧长为 _____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握公式是解题的关键． 15. 在化学课上，张老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据题意可知物理变化的有：冰化成水，衣服晾干共2种，再根据概率求出答案． 【详解】解：∵六张卡片给出的变化是物理变化的有：冰化成水，衣服晾干共2种， ∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是． 故答案为：． 16. 如图，矩形硬纸片的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，，．当最大时，点D的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点M，连接，，，则，故当时，取得最大值，所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，证明，可得，所以，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，， 则， 故当时，取得最大值， 所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵M为AB的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的整数解为______． 【答案】（1）；（2）； （3）在数轴上表示如下： ． （4）、、、0． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、不等式组的整数解等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． （1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）将（1）（2）所的的解集表示在数轴上即可； （4）根据（3）确定不等组的解集，然后确定不等式组的整数解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ． 故答案为：． （2）， ， ． 故答案为：． （3）略 （4）由（3）可得不等式组的解集为：， 所以该不等式组的整数解为：、、、0． 18. 已知：如图1，P为外一点．求作：过点P作的切线，，A，B为切点．下面是亮亮设计的尺规作图过程； 如图2，连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；作直线，交于点M，以点M为圆心，的长为半径作圆，交于点A，B；连接，，切线，即为所求． 根据亮亮设计的尺规作图过程解答下列问题： （1）可判定的依据是______； （2）亮亮通过证明得到，请你帮他完成证明． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角 （2） 证明：∵是的直径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理推论、直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握圆周角定理推论是解题关键． （1）根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角即可得； （2）先根据圆周角定理推论可得，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴（判定依据：直径所对的圆周角是直角）， 故答案为：直径所对的圆周角是直角． 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，． （1）求直线的函数表达式． （2）当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围． （3）设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式，熟练 以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出点C的横坐标为2，代入得出，再利用待定系数法求解即可； （2）在中，当时，，解得，再结合图象即可得出答案； （3）求出，设点P的坐标为，根据得出，从而即可得出点的横坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：∵轴于点D， ， ∴点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，解得， 由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，，解得， ∴， ∵点P是x轴上的点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 20. 如图，内接于，是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，求． 【答案】（1）证明：如图，连接OC． ， ． 是直径， ， ， 为的中点， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知点，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得可证即可证明结论； （2）通过证明，可得，可求的帐，由三角形中位线定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ． 为的中点，为中点， ． 21. 如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．根据题意可得，，，，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K． 则，，，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 答：上折臂顶端F到地面的距离约为． 22. 【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接．然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习． 动手操作（如图1） 第一步，在线段上取一点E（点A和点D除外）； 第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点F； 第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，． 猜想验证 （1）根据图1的操作，填空： ①四边形的形状为________，依据的判定定理是________；②与的数量关系为________． （2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上．求的面积． 【答案】（1）①菱形；四条边相等的四边形是菱形；②相等（或）； （2）． 证明：∵在中，点D是的中点， ∴， 由图1知， ∴ ， 即． ∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ． ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据作图可知，故根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形的菱形； ②根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质即可解答； （2）根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质证明即可解答； （3）连接，与的交于点H．在中，根据从而得出，，再根据直角三角形性质得出，，根据旋转性质得出，结合菱形性质得出，，在中，算出，，得出，再证明，即可解答； 【详解】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形； ②相等（或）； 证明：∵在中，点D是的中点， ∴， 由作图知， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：相等； （2）略 （3）如图，连接，与的交于点H． ∵在中，，， ∴，，． ∵在中，D是的中点， ∴， ∴． 由旋转可知． 又∵四边形是菱形，， ∴，． ∴， ∴，． 在中， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $