精品解析：江西省九江市2025届高三上学期第一次高考模拟统一考试数学试题

九江市2025年第一次高考模拟统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式求出集合和，再由交集定义求解即得. 【详解】因， 则 故. 故选：C． 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数除法求复数，再求共轭复数，进而求复数的模. 【详解】， ，. 故选：A 3. 新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】确定服从二项分布，由二项分布期望公式即可求解； 【详解】解：每名教师抽到问题概率为， 由题意可知，， 故选：D． 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 6. 在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与所成角为，得直线与直线所成角为，动点所围成的图形是圆锥侧面的四分之一，根据圆锥的表面积公式求出即可. 【详解】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为， 故选：B． 7. 定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【详解】令，得，即，故函数的图象关于对称． 又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称． ，是以4为周期的周期函数． 对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误； 对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误； 对于C，由，得；由，得， ，故C正确； 对于D，依题意，得，，，故D错误． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩的均值为72 C. 估计该年级学生物理成绩中位数为72.5 D. 估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，利用中间值作代表，求出平均值；C选项，先确定学生物理成绩的中位数所在区间，利用公式计算出答案；D选项，结合80分及以上的学生人数频率，得到答案. 【详解】A选项，，解得，故A错误； B选项，由频率分布直方图可知，估计该年级学生物理成绩的均值为 ，故B正确； C选项，的频率为， 的频率为， 估计该年级学生物理成绩的中位数为，故C正确； D选项，估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为，故D正确． 故选：BCD． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 有3个零点 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断A，零点定义计算判断B，根据余弦函数的有界性得出最大值判断C，D. 【详解】，且定义域关于原点对称，是偶函数，故A正确； 由，得有2个零点，故B错误； ， 即，等号成立的条件， 当不能同时成立取不到，得，故C正确，D错误． 故选：AC． 10. 天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线极其相似．已知过坐标原点，且上的点到与两点的距离之积为常数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 上点的纵坐标的最大值为 C. 若双曲线与交于点，则的面积为 D. 若直线与有三个交点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项：对于已知曲线的性质求参数值的问题，通过将特殊点代入曲线所满足的条件来求解参数.B 选项：方法一：利用圆与曲线的交点性质以及三角形面积公式，结合三角函数的性质来求解曲线上点的纵坐标的最大值.方法二：通过对关于的表达式求导，分析函数的单调性来求最大值.C 选项：方法一：根据双曲线的定义和勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用三角形面积公式求解.方法二：通过联立方程组求解交点坐标，进而求出三角形的高，再根据三角形面积公式求解.D 选项：将直线方程代入曲线方程，转化为关于的方程，根据方程根的情况确定参数的取值范围. 【详解】设上的点为，则过坐标原点， ，故A正确； 以为直径圆与必有交点存在点满足， 设为上的点，则的面积， 又，故B正确； 双曲线的焦点为，，而， ， 为直角三角形，故的面积，故C错误； 的方程为，化简得（*）． 将代入（*）得， 要使得方程有三个不等的实根，则，故D正确． B选项另解：由对称性，不妨设上点在第一象限， 由（*）得，令， 则．由，得； 由，得． 在上单调递增，在上单调递减， ，即．故B正确． C选项另解：联立方程组得， 又，故的面积，故C错误． 故选：ABD． 【点睛】思路点睛： A 选项：遇到求曲线中参数值的问题，优先考虑利用曲线所过的特殊点或已知条件来建立方程求解. B 选项：求曲线上点的纵坐标的最大值，可以从几何角度（如三角形面积与曲线的关系）或代数角度（如求函数的最值）入手，根据具体情况选择合适的方法. C 选项：对于涉及双曲线和曲线交点以及三角形面积的问题，可以从双曲线的定义、勾股定理等几何性质出发，也可以通过联立方程组求解交点坐标来解决. D 选项：处理直线与曲线交点个数问题，一般将直线方程代入曲线方程，转化为关于一个变量的方程，然后根据方程根的个数来确定参数的取值范围. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知函数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数先求，再求即可. 【详解】． 故答案为：0. 12. 已知抛物线，，过点的直线与及自上而下依次交于四点，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】抛物线的焦点，则，要的最小值只需最小即可. 【详解】 如图，因为抛物线的焦点， 所以． 故的最小值为抛物线的通径长8， 故的最小值为6． 故答案为：6. 13. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，结合余弦定理，可求的值，再结合角的取值范围，可得角. （2）利用正弦定理，可求边，利用三角形内角和求角，再利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得 又 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 所以. 的面积. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到面平面，再由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式求解即可； 【小问1详解】 在菱形中，，知为正三角形，又为线段中点，则，即， 平面平面， 又平面平面， 又平面， 为线段的中点，， 又平面平面. 【小问2详解】 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设为平面的法向量，由得 令，则，即， 易知为平面的法向量， ， 由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为. 16. 已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． （1）求椭圆的标准方程： （2）在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用四边形是边长为的正方形，得到，再结合对称性求得椭圆的标准方程; （2）设直线的方程为联立椭圆方程求解出点的坐标，然后为等边三角形的几何关系求解出的值从而得到直线的方程，求得结果. 【小问1详解】 四边形是边长为的正方形，， 由对称性可知，为短轴端点． 椭圆的标准方程为 【小问2详解】 假设在轴上存在一点，满足条件． 由对称性，不妨设，设直线的方程为 代入椭圆方程中，整理得 设线段中点为，则． 线段的中垂线方程为 为等边三角形，在线段的中垂线上， 令，得，即，, 又，，解得． 在轴上存在一点，使得为等边三角形，且 17. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可； （2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断； （3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解； 【小问1详解】 ，切线斜率． 又切线经过点 解得． 【小问2详解】 由（1）知，，令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增 在上单调递增 【小问3详解】 由题意得对任意的成立． ①当时， ②当时，原不等式等价于 设，则 由（2）知，当时，对任意的成立，即． 当时，，单调递增，当时，，单调递减 ，故的取值范围是 18. 已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列 （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列： （3）若数列是等差数列，求的最小正整数． 【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）由数列的概念即可求解； （2）由等比数列求和公式确定恒为奇数，进而得到，再通过等比数列求和即可求证； （3）设公差为，当时，得到，再由 可得最小正整数为2，再说明当时，设的前项和为，由，得到， 进而可说明问题； ， 最小正整数为2． 【小问1详解】 若，则， 此时， ，此时 故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） 【小问2详解】 证明：为等比数列，且，则公比． 为偶数，为偶数，，且恒为奇数． 此时，而，故 ，故为数列 【小问3详解】 设数列的公差为，则， 当时，设此时前项和为， ， 又的最小正整数为2， 当时，设此时的前项和为，易知 ， 的最小正整数为2． 综上所述，的最小正整数为2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解数列的定义，并结合定义推导求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2025年第一次高考模拟统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 3. 新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（ ） A B. 4 C. D. 2 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 6. 在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩的均值为72 C. 估计该年级学生物理成绩中位数为72.5 D. 估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 有3个零点 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 10. 天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线极其相似．已知过坐标原点，且上的点到与两点的距离之积为常数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 上点的纵坐标的最大值为 C. 若双曲线与交于点，则的面积为 D. 若直线与有三个交点，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知函数，则______． 12. 已知抛物线，，过点直线与及自上而下依次交于四点，则的最小值为______． 13. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的面积． 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形． （1）求椭圆的标准方程： （2）在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求长；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 18. 已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列 （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列： （3）若数列是等差数列，求最小正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $