6.2.4向量的数量积-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.4向量的数量积 题型一：用定义求向量的数量积 【例1】已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为正六边形的边长为2，点为线段的中点， 所以，，， 所以， 故选：C 【例2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 【变式1-1】若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接， 则，故， 所以 因为，所以， 又方向相同， 所以. 故选：C. 【变式1-2】在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以 . 故选：C. 【变式1-3】在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 题型二：数量积的运算律 【例3】已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【例4】如图所示，在四边形中，，则 .    【答案】 【详解】因为在四边形中，， 所以 . 故答案为：. 【变式2-1】已知向量和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意可得，即， 又，所以， 所以， 故选：D. 【变式2-2】已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，， 所以， 故选：B. 【变式2-3】若向量满足，且，则 . 【答案】 【详解】由得； 由得； 由得，所以. 故答案为： 题型三：已知数量积求模 【例5】已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【例6】已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3-1】已知，，，则 ； 【答案】5 【详解】因为，所以. 由. 所以. 故答案为：5 【变式3-2】折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【答案】 【详解】由条可知，，， 所以扇形的面积，扇形的面积, 所以扇面的面积是； . 故答案为：； 【变式3-3】已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 【答案】． 【详解】. 故答案为：. 题型四：向量夹角的计算 【例7】已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 【例8】已知为平面内夹角为的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两边平方可得，， 所以，故， 故选：C． 【变式4-1】已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ． 故选：D． 【变式4-2】已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【答案】 【详解】由题，， 又， 则，又， 则. 故答案为： 【变式4-3】对于非零向量，“”是“与方向相反”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】，所以， 所以，即， 所以，即，所以与方向相反，且. 反之，若与方向相反，则或， 故选：A 题型五：垂直关系的向量表示 【例9】已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 由，得，则， 而为单位向量，所以. 故选：C 【例10】若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【详解】由可得， 故，故， 由于，故， 故答案为：. 【变式5-1】已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 【变式5-2】已知向量，，，为不共线的非零向量，若，，则“”是“”，成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故， 若，则，即，故. 所以是的充要条件. 故选：C. 【变式5-3】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 题型六：求投影向量 【例11】（江西省九江市2025届高三上学期第一次高考模拟统一考试数学试题）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 【例12】已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 【变式6-1】已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 、 的夹角为 ， 因为向量在向量 上的投影向量为，所以， 又因为，则 ． 故选：C. 【变式6-2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 【变式6-3】（多选）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是 ，D对. 故选：ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.2.4向量的数量积 题型一：用定义求向量的数量积 【例1】已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【例2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【变式1-1】若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【变式1-3】在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 题型二：数量积的运算律 【例3】已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例4】如图所示，在四边形中，，则 .    【变式2-1】已知向量和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2-2】已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-3】若向量满足，且，则 . 题型三：已知数量积求模 【例5】已知向量的夹角为，且，，则 ． 【例6】已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【变式3-1】已知，，，则 ； 【变式3-2】折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【变式3-3】已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 题型四：向量夹角的计算 【例7】已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知为平面内夹角为的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【变式4-3】对于非零向量，“”是“与方向相反”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 题型五：垂直关系的向量表示 【例9】已知向量为单位向量，且满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【例10】若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 【变式5-1】已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式5-2】已知向量，，，为不共线的非零向量，若，，则“”是“”，成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 题型六：求投影向量 【例11】（江西省九江市2025届高三上学期第一次高考模拟统一考试数学试题）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式6-1】已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 【变式6-3】（多选）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 学科网（北京）股份有限公司 $$