第03讲平面向量基本定理及坐标表示讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 目录 知识点一：平面向量基本定理 2 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 2 考点1：平面向量基本定理与坐标表示的概念辨析 2 知识点三：平面向量坐标运算 5 考点2： 平面向量的坐标运算 6 考点3： 向量共线的坐标表示及其应用 11 考点4： 向量线性运算的坐标表示的应用 13 考点5： 平面向量基本定理及坐标表示的综合应用 19 知识点一：平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式。 推论1：若，则． 推论2：若，则． 知识点二：平面向量的正交分解及坐标表示 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解。此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底。 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作。 3. 平面向量与有序数对的对应关系 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点 考点1：平面向量基本定理与坐标表示的概念辨析 【例1.1.】 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】依题意，不共线， A选项，不存在使， 所以和可以组成基底. B选项，不存在使， 所以和可以组成基底. C选项，， 所以和不能构成基底. D选项，不存在使， 所以和可以组成基底. 故选：C 【例1.2.】 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量， 与不共线，可作为基底向量． 故选：B. 【例1.3.】 （多选）如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（     ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【答案】BCD 【详解】根据平面向量基本定理可知正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误， 若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误． 故选：． 【例1.4.】 （多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（    ） A．存在唯一的一对实数，使得 B．若，则，且 C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则 【答案】BCD 【详解】由平面向量基本定理，可知A正确； 例如，，但1＝1，故B错误； 因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C错误； 当的终点坐标是时，是以的始点是原点为前提的，故D错误. 故选：BCD. 【例1.5.】 已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 . 【答案】3 【详解】因是一个基底，故与不共线， 由平面向量基本定理得，解得， 则. 故答案为：3. 知识点三：平面向量坐标运算 1. 平面向量加、减运算的坐标表示 （1）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 （2）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标。 2. 平面向量数乘运算的坐标表示 （1）若，，则，即实数与向量的积的坐标等于用该实数乘原来向量的相应坐标。 （2）设，，则。 3. 平面向量数量积的坐标表示 （1） 向量的长度（模）：若，则有。 （2） 两点间距离公式：已知点，，则，。 （3） 已知非零向量，，为向量、的夹角 结论 几何表示 坐标表示 数量积 夹角 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 考点2： 平面向量的坐标运算 【例2.1.】 已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，列方程组解得即得． 【详解】设，则，解得，所以． 故选：A． 【例2.2.】 若向量，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， ∵， ∴ ∴， 故选：B. 【例2.3.】 若向量，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：A． 【例2.4.】 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点， 所以， 设，又，所以 即，解得. 故选：A    【例2.5.】 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ， 因为四边形是平行四边形 所以 解得，故 故选： 【例2.6.】 已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 【例2.7.】 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，，得，则，．故选C． 【例2.8.】 设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解. 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 【例2.9.】 已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【例2.10.】 （多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【例2.11.】 已知点，则向量在方向上的投影为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以向量在方向上的投影为. 【例2.12.】 已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 【例2.13.】 已知向量，，，若，则实数（   ） A．-6 B．-5 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由，， 所以， 由，得， 所以， 因为，， 所以，解得. 故选：C. 考点3： 向量共线的坐标表示及其应用 【例3.1.】 已知向量，，．若，则 ． 【答案】 【详解】由题可得 ,即 故答案为 【例3.2.】 已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， ， ， 所以或， 又，所以， 所以， 所以， 故选：B. 【例3.3.】 （1）已知向量，，，求的值． （2）已知，，与共线且方向相同，求． （3）设向量，，，求当k为何值时，A，B，C三点共线？ 【答案】（1）  （2）  （3）或 【详解】解：（1），， 由，可得，解得． （2）∵，，，∴，解得，． 当时，，，与共线且方向相同； 当时，，，与共线且方向相反． ∴． （3）方法一  ∵A，B，C三点共线，即，共线，∴存在实数，使得． ∵，， ∴，即解得或． 方法二  由题意知，共线．∵，，∴， ∴，解得或． 【例3.4.】 设向量，，. (1)求； (2)若，，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】(1)1 (2)2 (3)证明见解析 【详解】（1），； （2），所以，解得：，所以； （3）因为，所以，所以A，，三点共线. 考点4： 向量线性运算的坐标表示的应用 方法提炼 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 ( b ) 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 【例4.1.】 正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 【例4.2.】 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 【例4.3.】 （多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    【例4.4.】 已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（    ） A．21 B．19 C．15 D．13 【答案】D 【详解】∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系； 不妨设，则，故点P坐标为 则，∴ 当且仅当 ，即时取 ，所以的最大值为13． 故选：D． 【例4.5.】 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，. 设，则. 由题意可知 所以. 因为，所以， 故的最大值为. 【例4.6.】 如图，圆是边长为２的正方形的内切圆，若，是圆上两个动点，则的最小值为（ ） A．-6 B． C． D．-4 【答案】B 【详解】解：以为坐标原点建立如图坐标系,则,在以为圆心的单位圆上, 设,,又,, ∴,, ∴, , 当,且,且时,则有最小值, 此时,且,且, ∴能取到最小值, 故选：. 【例4.7.】 在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为， 由， 可得利用正弦函数的图像及性质即得解. 【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设M的坐标为，过点B作 轴 又 当时， 故选：C 考点5： 平面向量基本定理及坐标表示的综合应用 【例5.1.】 在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标定义为：若，其中向量，分别为斜坐标轴，轴同方向的单位向量，则点的坐标为. （1）若点的坐标为，则 ； （2）以为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为 . 【答案】 【详解】(1)， ， 故． (2)， 即，化简得, 故答案为：（1）；（2）. 【例5.2.】 设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理，得， 又， 代入， 有，所以， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以，得， 所以. 即的最大值为. 故答案为： 【例5.3.】 已知：、是同一平面内的两个向量，其中． (1)若且与垂直，求与的夹角； (2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由得，即，所以， 得，又，所以； （2）解：因为，，所以 所以，则， 由 得，即， 因为与的夹角为锐角，所以 【例5.4.】 已知向量，，，． (1)求的最小值及相应的t值； (2)若与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)最小值为， (2) 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， 当且仅当时取等号， 即的最小值为，此时； （2）∵，， 若与共线，∴． 解之可得，此时二者反向. 若与夹角为钝角，则，得且． 所以实数t的取值范围. 【例5.5.】 已知，，. （Ⅰ）求证：向量与垂直； （Ⅱ）若与的模相等，求的值（其中为非零实数）. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ），，，同理. ，因此，向量与垂直； （Ⅱ）， ，，则， 即，整理得， ，则，，所以，，. 【例5.6.】 已知点,,，，试问： （1）当为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第三象限？ （2）四边形是否能构成平行四边形？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）不能．理由见解析 【详解】（1），，所以， 当，即时，点在轴上； 当，即时，点在轴上； 当，即时，点在第三象限. （2）不能，若四边形能构成平行四边形 则＝，即，∴，∵该方程组无解， ∴四边形不能构成平行四边形． 【例5.7.】 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． (1)若，求x－y的值； (2)求的取值范围； (3)若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：（1）∵，所以 ∵， 又， ∴，∴； （2）解：设，（） 因为在三角形中，，，， ∴， ∴ ； 又，所以， 故的取值范围为 （3）解：∵三点共线， ∴存在实数，使得， ∵为的中点， ∴， 又三点共线，∴存在使得， ∴， ∴，解得， . 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(1)求； (2)若，，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 考点4： 向量线性运算的坐标表示的应用 方法提炼 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形 ( b ) 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆 【例4.1.】 正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【例4.2.】 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【例4.3.】 （多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11   【例4.4.】 已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（    ） A．21 B．19 C．15 D．13 【例4.5.】 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 如图，圆是边长为２的正方形的内切圆，若，是圆上两个动点，则的最小值为（ ） A．-6 B． C． D．-4 【例4.7.】 在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 考点5： 平面向量基本定理及坐标表示的综合应用 【例5.1.】 在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标定义为：若，其中向量，分别为斜坐标轴，轴同方向的单位向量，则点的坐标为. （1）若点的坐标为，则 ； （2）以为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为 . 【例5.2.】 设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【例5.3.】 已知：、是同一平面内的两个向量，其中． (1)若且与垂直，求与的夹角； (2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【例5.4.】 已知向量，，，． (1)求的最小值及相应的t值； (2)若与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【例5.5.】 已知，，. （Ⅰ）求证：向量与垂直； （Ⅱ）若与的模相等，求的值（其中为非零实数）. 【例5.6.】 已知点,,，，试问： （1）当为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第三象限？ （2）四边形是否能构成平行四边形？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【例5.7.】 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． (1)若，求x－y的值； (2)求的取值范围； (3)若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$