第十六章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十六章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 2．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．与最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．a为一切实数 5．已知，，则与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 6．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 7．实数a，b，c，满足，，，那么化简代数式的结果为（　　） A． B． C． D．b 8．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．计算：＝ ． 13．化简： ． 14．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 15．已知，则的值为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算 （1）； （2）； （3）（a≥0，b≥0）． 17．（1）计算：． （2）已知，求的值． 18．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式 ___________； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (3)利用（2）的结论化简：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算：（1）；（2）. 20．已知：，，求： (1)． (2)的值． 21．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． ①；②； ③． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______； (2)计算：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． (1)模仿材料中的计算方法，化简：______． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子______． (3)利用根式裂项求解：． 23．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出不等式的解集，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴解集在数轴上表示如图， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件． 2．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 3．与最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、无理数的大小估算 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵12.25＜15＜16， ∴3.5＜＜4， ∴5.5＜2+＜6， ∴最接近的整数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 4．已知，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．a为一切实数 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】根据二次根式成立的条件，列不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 5．已知，，则与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】A 【知识点】相反数的定义、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴与互为相反数， 故选：． 6．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 7．实数a，b，c，满足，，，那么化简代数式的结果为（　　） A． B． C． D．b 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、化简绝对值、绝对值非负性 【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b，c的符号，再利用二次根式的性质以及绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 8．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置得出，，从而得出，，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a、b、c在数轴上的位置确定，． 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 10．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式、已知字母的值，化简求值 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12．计算：＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则． 13．化简： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键． 14．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的加减运算 【分析】由于，则，，然后代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 15．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用平方差公式进行运算、二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算 【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算 （1）； （2）； （3）（a≥0，b≥0）． 【答案】（1）；（2）5；（3）. 【知识点】二次根式 【详解】试题分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可. （2）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可. （3）利用二次根式的乘法法则运算． 试题解析：（1）原式=. （2）原式=. （3）原式=. 考点：二次根式的混合运算.. 17．（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的运算法则化简运算即可； （2）先把所求代数式化为最简形式，把α、b值代入，利用乘法公式计算，可得答案． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ 18．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式 ___________； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (3)利用（2）的结论化简：． 【答案】(1) (2)（n为正整数），证明见解析 (3)2022 【知识点】分母有理化、数字类规律探索 【分析】（1）根据题目规律写出第五个等式即可； （2）根据题目规律，写出等式；将根号下的数通分，化简即可证明； （3）根据规律计算即可． 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为： （2）（n为正整数）， 证明：∵n为正整数， ∴ ∴（n是正整数） 又∵， ∴左边=右边， ∴猜想成立； （3）原 ． 【点睛】本题考查二次根式的规律探索，理解题目中的规律是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算：（1）；（2）. 【答案】（1）-3；（2）. 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】（1）先约去，再用平方差公式计算，最后合并同类项即可； （2）括号内先化简成最简二次根式，再算乘法，最后合并同类二次根式即可. 【详解】解：（1）原式. （2）原式 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键. 20．已知：，，求： (1)． (2)的值． 【答案】(1)14 (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值及分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． （1）由，，求出，，，根据，再整体代入计算即可； （2）由（1）知，，，根据，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：，， ，，， ； （2）解：由（1）知，，， ． 21．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们会碰上如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． ①；②； ③． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）仿照例题的解法依次化简即可； （2）按照第三种方法化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；；． （2）解： 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握平方差公式进行分母有理化是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． (1)模仿材料中的计算方法，化简：______． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子______． (3)利用根式裂项求解：． 【答案】(1) (2) (3)2022 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （2）根据题中材料进行总结，即可得出答案； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． （3）解：原式 ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 23．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$