专题强化01：二次根式 培优【8大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化01：二次根式 【题型归纳】 · 题型一：二次根式的定义及其意义 · 题型二：二次根式的混合计算 · 题型三：二次根式的求值化简 · 题型四：二次根式的化简 · 题型五：分母的有理化 · 题型六：二次根式的比较大小 · 题型七：二次根式的应用 · 题型八：二次根式的求值化简 【题型探究】 题型一：二次根式的定义及其意义 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 2．（19-20八年级下·内蒙古·期中）a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】∵二次根式必须满足 ∴只有②③④可以确定被开方数非负 一定是二次根式的个数是3个 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据代数式有意义的条件是、可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】解：等式成立， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 故选：D． 题型二：二次根式的混合计算 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘法和加法运算，二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、乘法公式是解题关键； （1）先将能够进行因式分解的分母进行因式分解，然后再约分计算； （2）先通分，然后按照同分母分式加法的运算法则进行计算； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先计算乘除，再求算术平方根，最后计算加减即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式将算式展开，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，完全平方公式，平方差公式，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 题型三：二次根式的性质化简 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 9．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 题型四：二次根式的化简 10．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由数轴可知，，，则，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，分式的化简求值，化简得到是解题的关键． 对已知进行化简得到，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型五：分母的有理化 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型六：二次根式的比较大小 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较与1的大小即可求解； （3），，比较被开方数的大小即可； 【详解】解：①， ； 故答案为： ； ②； ； 故答案为： ； ③，，且； ； 故答案为： ； 18．（20-21八年级上·四川雅安·期中）比较大小： （用或填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法． 题型七：二次根式的应用 19．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 21．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 题型八：二次根式的求值化简 22．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，分母有理化； （1）根据算术平方根的定义估算和的大小，得出小数部分，进而代入代数式求得代数式的值； （2）估算的大小，确定的值，进而根据代数式的值为有理数，得出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的小数部分是 ∵为的小数部分， ∴ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵，即， ∴ ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∵的值为有理数，为有理数， ∴， ∴ ∴． 24．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 【专题强化】 一、单选题 25．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 26．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽的因式，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：A． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所需选取的三块纸片的面积分别是（   ） A．1，4，5 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，得到两个较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，再根据直角三角形的面积公式求解后进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：两个较小正方形的面积和等于较大正方形的面积， A、，两条直角边长为：，面积为：； B、，两条直角边为：，面积为：， C、，不符合题意； D、，两条直角边为：，面积为：， ∵， ∴； 故选D． 28．（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 29．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 30．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 31．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可． 【详解】解：令， 则原式化为： ， 故选：B． 32．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或时，也为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选:B． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 33．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 二、填空题 34．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为 【答案】1 【分析】本题主要考查根据二次根式的性质化简和化简绝对值，先由得出，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：1． 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据有理数的加法法则，乘法法则得到，根据二次根式的性质把原式变形，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 37．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 38．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，b为的小数部分，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先求出的小数部分，再求出和的值，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为， 请解答：已知的整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解一元一次方程，分母有理化，先仿照题意得到，则可求出m、n的值，再代值并解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 【答案】（1）；；  （2）；见解析  （3）① ；② 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差，完全平方公式的应用，二次根式的运算，进行解答，即可． （1）根据正方形的面积公式，列式计算，即可； （2）根据正方形的面积公式，利用完全平方公式，进行计算，即可； （3）①根据题意，则进行化简得，再把代入进行计算，即可；②根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， （2）猜想：． 理由如下： 解： ． （2）①解： ， ， ． ②解： ． 41．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 42．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：二次根式 【题型归纳】 · 题型一：二次根式的定义及其意义 · 题型二：二次根式的混合计算 · 题型三：二次根式的求值化简 · 题型四：二次根式的化简 · 题型五：分母的有理化 · 题型六：二次根式的比较大小 · 题型七：二次根式的应用 · 题型八：二次根式的求值化简 【题型探究】 题型一：二次根式的定义及其意义 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级下·内蒙古·期中）a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 题型二：二次根式的混合计算 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算 (1) (2) (3) 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：二次根式的性质化简 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 9．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 题型四：二次根式的化简 10．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 12．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，则 ． 题型五：分母的有理化 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）分母有理化： ． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若，则的值是 15．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数x、y满足，则的值等于 ． 题型六：二次根式的比较大小 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）比较大小 17．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 18．（20-21八年级上·四川雅安·期中）比较大小： （用或填空） 题型七：二次根式的应用 19．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 21．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 题型八：二次根式的求值化简 22．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 24．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【专题强化】 一、单选题 25．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所需选取的三块纸片的面积分别是（   ） A．1，4，5 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5 28．（24-25八年级上·河南南阳·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 33．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 34．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，化简的结果为 35．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ． 36．（24-25八年级上·江西抚州·期末）若，求的值是 ． 37．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 38．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，b为的小数部分，则的值为 ． 三、解答题 39．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为， 请解答：已知的整数部分是，小数部分是，且，求的值． 40．（24-25八年级上·湖南永州·期末）【教材原题】湘教版八年级上册175页教材习题：如图，将边长分别为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． 【拓展应用】在原题的条件下，完成下列问题． （3）①记，，…，，令，求的值． ②若将边长变为，，，…，试求的值． 41．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 42．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$