专题16.2：二次根式的乘除【7大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题16.2：二次根式的乘除 【考点梳理】 · 考点一：二次根式的乘法 · 考点二：二次根式的除法 · 考点三：二次根式的乘除混算 · 考点四：最简二次根式的判断 · 考点五：化为最简二次根式问题 · 考点六：已知最简二次根式求参数 · 考点七：二次根式乘除综合问题 【知识梳理】 知识点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：二次根式的除法 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：二次根式的乘除混算 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 8．（2025八年级下·全国）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 题型四：最简二次根式的判断 10．（2025八年级下·全国·专题练习）在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 11．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）下列二次根式，中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型五：化为最简二次根式问题 13．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（    ） A．5 B．3 C．4 D．6 题型六：已知最简二次根式求参数 16．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 18．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 题型七：二次根式乘除综合问题 19．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 20．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． (1)求的值； (2)求的值． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 25．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 29．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有下列二次根式：，，，，，，．其中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．4个 30．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 二、填空题 32．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 33．（24-25八年级上·上海·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 34．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 35．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 36．（23-24八年级下·广东湛江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 三、解答题 37．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 39．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）已知，完成下列两题： (1)计算的值： (2)求代数式的值． 40．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 41．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）像，这样的二次根式叫做复合二次根式．有些复合二次根式可以化简：． 请用上述方法化简： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.2：二次根式的乘除 【考点梳理】 · 考点一：二次根式的乘法 · 考点二：二次根式的除法 · 考点三：二次根式的乘除混算 · 考点四：最简二次根式的判断 · 考点五：化为最简二次根式问题 · 考点六：已知最简二次根式求参数 · 考点七：二次根式乘除综合问题 【知识梳理】 知识点一：二次根式的乘法法则 ．=（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广 ①．．=（a≥0，b≥0，c≥0） ②a．c=ac ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 知识点二、二次根式乘法法则的逆用 =．（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 知识点三、二次根式的除法法则 =（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 知识点四、二次根式除法法则的逆用 =（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为=，而应写===。 当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 知识点五、最简二次根式的概念 ★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 【题型归纳】 题型一：二次根式的乘法 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：（1），原计算错误； （2），原计算错误； （3），原计算正确； （4），原计算错误． 正确的只有（3）． 故选：C． 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 题型二：二次根式的除法 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 5．（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可． 【详解】解：，故选：C 6．（22-23八年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则计算． 【详解】解：A、，∴不符合题意； B、，∴符合题意； C、，∴不符合题意； D、，∴不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键． 题型三：二次根式的乘除混算 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 8．（2025八年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型四：最简二次根式的判断 10．（2025八年级下·全国·专题练习）在式子中，是最简二次根式的式子有（　　）个． A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的两个条件，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：根据条件①，排除，； 根据条件②，排除． 最简二次根式有三个：，，， 故选B． 11．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，利用完全平方公式、提公因式进行化简是解题的关键，化简后根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A．是最简二次根式，符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 12．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）下列二次根式，中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴、、是最简二次根式． 故选：B． 题型五：化为最简二次根式问题 13．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，则不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 14．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，化简二次根式，进而即可得到答案． 【详解】A．，，被开方数不一样，故不符合题意； B．，，被开方数不一样，故不符合题意； C．，与被开方数一样，故符合题意； D．，，被开方数不一样，故不符合题意， 故选C． 15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值可以是（    ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式、解一元一次方程，根据最简二次根式的定义可得，再求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，， ∴， 解得， 故选：B． 题型六：已知最简二次根式求参数 16．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 17．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 18．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 题型七：二次根式乘除综合问题 19．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）． 20．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算． （1）利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：；， ； （2）解：由（1）知， ， ． 21．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)5，6 (2)①；② (3)46或14 【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值； （2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可； （3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：5，6； （2）解：① ； ② ； （3）解：∵， ∴，即， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为46或14． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 23．（2025八年级下·全国·专题练习）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的化简；理解并掌握其概念是解题的关键．最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不含有能开方的因数或因式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 24．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 25．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 26．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 27．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，最简二次根式的定义，二次根式的除法计算，根据可判断A、C；被开方数不含有分母且被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可判断B；根据二次根式除法计算法则可判断D． 【详解】解：A、，原结论错误，不符合题意； B、是最简二次根式，原结论错误，不符合题意； C、，原结论错误，不符合题意； D、，原结论正确，符合题意； 故选：D． 29．（23-24八年级下·山东淄博·期中）有下列二次根式：，，，，，，．其中，是最简二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义(被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式)． 根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：，，，，； 只有，是最简二次根式，共2个 故选：A． 30．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 31．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 二、填空题 32．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 33．（24-25八年级上·上海·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，利用平方差公式可以得到的一个有理化因式是． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算，先计算，根据，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个数落在了数轴上的④段． 故答案为：④． 35．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·广东湛江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法，先求得的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，， ∴ ． 故答案为：9． 三、解答题 37．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）①只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；②利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ②由①可得：． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， （1）先进行平方差公式的运算，然后化简； （2）先进行二次根式的除法运算，然后化简； （3）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简； （4）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 39．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）已知，完成下列两题： (1)计算的值： (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法； （1）根据，，可以得到、的值，从而可以得到所求式子的值； （2）将，将、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 原式 ； （2）解： ，， 原式 ． 40．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1)10 (2) (3) (4)9 (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （2）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （3）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （4）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （5）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （6）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （7）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （8）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （9）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （10）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解： ； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 41．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1)按照此规律，计算_______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）先求被开方数，再求算术平方根即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：原式 ． 42．（23-24八年级下·全国·单元测试）像，这样的二次根式叫做复合二次根式．有些复合二次根式可以化简：． 请用上述方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握化简的方法是解本题的关键； （1）由，再化简即可； （2）由，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$