反比例函数的应用讲义2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版八年级下反比例函数的应用 教学内容 反比例函数的应用与复习 教学目标 1.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 2.运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题 3.掌握反比例函数的综合题型 教学重难点 掌握反比例函数的综合题型 教学内容 1、反比例函数的定义：形如y= 或y= （为常数，）的函数。自变量，函数值． 2、反比例函数的图象性质： （1）反比例函数图象所在象限： ①k＞0图象在第 象限；②k＜0图象在第 象限． （2）反比例函数图象的增减性：在每个 内， ①k＞0y随x的增大而 ；②k＜0y随x的增大而 ． （3）反比例函数图象的对称性： ①反比例函数图象是 对称图形，对称中心是 ； ②反比例函数图象是 对称图形，对称轴是：直线y= 和直线y= 3. 的几何含义： 反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 . = 1.已知y=y+y，而y与x+1成反比例，y与x成正比例，并且当x=1时，y=2；当x=0时，y=2，则y与x的函数关系式为 2.如图，在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线和于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于 ． 【知识点梳理】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【知识点训练】 考点一：反比例函数的实际问题与图像 【例1】已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是(　 　) 【例2】一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ 　）　 ( A. B. C. D. ) 【巩固】 1.某物质的密度ρ（kg/m3)关于其体积(m3)的函数图像如图所示，那么ρ与之间的函数表达式是 （ ） A. ρ= B. ρ= C. ρ= D. ρ= 2.在对物体做功一定的情况下，力(N)与此物体在力的方向上移动的距离(m)之间成反比例函数关系，其图像如图所示，且点在其图像上，则当力达到10 N时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 考点二：利用反比例函数解决问题 【例1】某汽车的功率(W)为一定值，汽车行驶时的速度(m/s)与它所受的牵引力(N) 之间的函数关系如图所示. (1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式; (2)当它所受牵引力为1 200 N时，汽车的速度为多少? (3)若限定汽车的速度不超过30 m/s，则在什么范围内? 【例2】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比)． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？ 　　　　 【巩固】 1.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求k的值； (2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？ 　　　 2.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂2023年1月的利润为200万元.设2018年1月为第1个月，第个月的利润为万元.由于排污超标，该厂决定从2023年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，与成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元. (1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，与之间对应的函数关系式. (2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2017年1月的水平? (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月? 考点三：反比例函数与一次函数 【例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的两点,与轴交于点，过点作轴，垂足为，点的纵坐标为4. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式; (2)连接，求四边形的面积. 【例2】如图，一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点,且. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)已知点在轴上，且的面积是8，求此时点的坐标; (3)反比例函数的图像记为曲线，将V向左平移2个单位长度，得曲线，则平移至处所扫过的面积是 . 【例3】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与直线交于点. (1)求的值; (2)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图像于点. ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由; ②若，结合函数的图像，直接写出的取值范围. 【巩固】 1.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点. (1)填空:一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 . (2)点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围. 2.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点. (1)求的值 (2)已知点(，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，当时，判断线段与的数量关系，并说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点. (1)求直线与双曲线的表达式. (2)对于横、纵坐标都是整数的点叫做整点.动点是双曲线上的整点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，当点位于点的下方时，请直接写出整点的坐标. 考点四：反比例函数综合题 【例1】如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60º．点A的坐标为(－2，0)． （1）点B的坐标 （2）菱形ABCD的面积= （3）动点P从点A出发向点D运动，问是否在线段AC上存在点E，使得PE+DE最小，存在的话，最小值是 （4）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，点P到AC的距离是1？ 【例2】如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（m，n）．（1）求C点坐标. （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【巩固】 1.如图，在中，，cm，，点从点出发沿方向以cm/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以cm/秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点、运动的时间是秒.过点作于点，连接、. (1) ， ;(用含的代数式表示) (2)若四边形为菱形，求的值; (3)在运动过程中，四边形能否为正方形?若能，求出的值; 若不能，请说明理由. 2.如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点. (1)点坐标为( ， ), 为( ， ); (2)在线段上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形; (3)若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形.若存在，求出所有符合条件的点坐标;若不存在，请说明理由. 1．己知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．y＞6 D． 2＜y＜6 2．若点，，都是反比例函数图象上的点，并且，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3. 已知函数是反比例函数，则= . 4．一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是　　　　　　． 5．若反比例函数的表达式为，则当时，的取值范围是 ． 6．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图所示，y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C．若S△AOB＝1，则y2的函数关系式是_______． 7．设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是_________ __ 8.已知，其中与成正比例，与x+1成反比例，当x=0时y=3，当x=2时，y=-1．求y与x间的函数关系式． 9.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B 两点． (1)利用图中条件，求反比例函数与一次函数的关系式； (2)根据图象写出使该一次函数的值大于该反比例函数的值的x的取值范围； (3)求出△AOB的面积． 1.函数（为常数）的图像上有三个点，函数值的大小为（ ） A. B. C. D. 2．已知点在双曲线上，则k= ． 3.已知菱形的两条对角线的长分别为4和，则它的面积为 ． 4.如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积S△AOB＝2，则k＝_______． 第4题图 第6题图 5.若关于的方程的解为正数，则的取值范围为 . 6.函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为(3，3)；②当x＞3时，y2＞y1；③当x＝1时，BC＝8；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________． 7.已知反比例函数的图像经过点. (1)求的值，并判断点是否在该反比例函数的图像上; (2)该反比例函数图像在第 象限，在每个象限内，随的增大而 ; (3)当时，求的取值范围. 8.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙－2，－5﹚、C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA、OC，求△AOC的面积； （3）写出使一次函数的值大于反比例函数的的取值范围． 答案 【错题重现】 1. 设. 则由题意，知 解得 所以. 2. 4 【知识详解】 考点1： 【例1】 C 【例2】 C 【巩固】1. A 2. 0.5 考点2： 【例1】(1)汽车的功率是60000W,函数的表达式: ; (2)汽车的速度为50m/s' (3) 应大于等于2000N. 【例2】(1)由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝。由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x(0≤x≤4)．又由题意可知：当4≤x≤10时，y与x成反比，设y＝.由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴m ＝4×8＝32；∴y＝(4≤x≤10)．即：血液中药物浓度上升时y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降下时y＝(4≤x≤10)．　(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y≥4，∴2x≥4且≥4，解得x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持续时间为6小时． 【巩固】 1.(1)把B(12，20)代入y＝中得：k＝12×20＝240　(2)设AD的解析式为：y＝＋n，把(0，10)、(2，20)代入y＝＋n中得：解得∴AD的解析式为：y＝5x＋10，当y＝15时，15＝5x＋10，x＝1，15＝，x＝＝16，∴16－1＝15h.答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时． 2.(1)①当时，设，把代入， 得， 即 ②当时，，∴当时，. (2)当时，. 解得. 所以治污改造工程顺利完工后经过 (个)月后，该厂利润达到2017年1月的水平. (3) 对于，当时，; 对于，当时，， 所以资金紧张的时间为(个)月. 考点三： 【例1】(1)反比例函数：，一次函数的表达式：; (2)四边形的面积为4. 【例2】(1)一次函数的表达式：，反比例函数的表达式：; (2)点的坐标或; (3)20 【例3】(1) ; (2)①; ②或. 【巩固】 1.(1)依题意，把分别代入和， 即可求得，∴，. (2)∵点在的图象上， ∴. ∵点是线段上一点， ∴设点. ∴. ∴. ∵且， ∴当时，; 当或时，. ∴的取值范围是. 2.(1)∵函数的图象与直线交于点，如图2， ∴ 把代入， 得. (2)当时，. 令，代入， 得. ∴. ∴ 令，代入， 得. ∴. ∴. ∴. 3. (1)∵双曲线经过点，如图5， ∴. ∴双曲线的表达式为. ∵点在双曲线上， ∴点的坐标为. ∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为. (2)符合条件的点的坐标是或. 考点4 ： 【例1】(1) (2) （3） （4）2,6,10,14 【例2】（1） （2） （3） 【巩固】 1.（1） （2） （3）不可能 2.（1） （2）或 （3）（5，4）、（0，-4）、（，4）或（-，4） 【随堂检测】 1. D 2. D 3. -1 4. 5. 0< 6. 7. 8. 9.（1） （2）x<-2或0<x<1 （3） 【课后反馈】 1. B 2、-12 3、 4、-4 5、 6、①③④ 7.（1），不在 （2）一、三象限 减小（3） 8.（1） ， （2）10.5（3） 9. 300 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$