专题04 一次函数及与方程、不等式的综合（7个高频考点43题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题04 一次函数及与方程、不等式的综合 （7个高频考点43题） 高频考点01：一次函数与一元一次方程 1 高频考点02：一次函数图象与几何变换 2 高频考点03：一次函数与一元一次不等式 3 高频考点04：一次函数与二元一次方程（组） 4 高频考点05：两条直线相交或平行问题 5 高频考点06：一次函数的应用 9 高频考点07：一次函数综合题 10 高频考点01：一次函数与一元一次方程 1．（2020•吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5 2．（2021•高邮市二模）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 1 … y … 5 3 ﹣1 … A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 3．（2024•扬州）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 　． 4．（2021•仪征市校级模拟）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是　 　． 高频考点02：一次函数图象与几何变换 5．（2023•姜堰区二模）将一次函数y＝2x﹣3的图象进行如下几何变换： ①向左平移1个单位长度；②向上平移2个单位长度；③沿直线x＝4翻折；④沿直线y＝4翻折． 其中变换后的函数图象经过点（3，5）的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 6．（2024•雨花台区模拟）将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向下平移的距离为 　 　． 7．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　 　． 8．（2024•海州区校级二模）已知直线l过点A（0，﹣1）且平行于x轴，点B的坐标为（0，1），将直线l绕点B逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 　 　． 9．（2023•淮安区校级二模）一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移p个单位，平移后函数图象经过（﹣1，0），则p的值为 　 　． 10．（2023•宿城区校级模拟）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 　 　． 11．（2022•射阳县校级一模）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过　 　秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分． 高频考点03：一次函数与一元一次不等式 12．（2024•宜兴市模拟）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 13．（2024•海安市一模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 14．（2024•东海县一模）函数y＝kx+b的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．当x＝﹣2时，y＝1 B．k＜0 C．若y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则b＝2 D．若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线上，则m＞n 15．（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 16．（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0），y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，则m的取值范围是 　 　． 17．（2021•鼓楼区校级模拟）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． （1）当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围． 高频考点04：一次函数与二元一次方程（组） 18．（2024•赣榆区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．y1随x的增大而减少 B．b＞n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 19．（2024•宝应县一模）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝3x+1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是 　 　． 20．（2021•广陵区校级一模）如图，函数y＝20x和y＝ax﹣40的图象相交于点P，点P的纵坐标为40，则关于x，y的方程组的解是　 　． 21．（2024•赣榆区校级二模）已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 　 　． 22．（2022•海州区校级二模）如图，直线y1＝kx﹣2和直线y2＝﹣3x+b交于点A（2，﹣1）则长于x、y的二元一次方程组的解为 　 　． 高频考点05：两条直线相交或平行问题 23．（2024•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1、l2、l3所对应的函数表达式分别为y1＝x+2、y2＝x﹣3、y3＝kx﹣2k+4（k≠0且k≠11），若l1与x轴相交于点A，l3与l1、l2分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 24．（2023•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1•y2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 25．（2020•丹阳市模拟）一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小； ②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大； ③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为． 下列选项中，描述准确的是（　　） A．①②正确，③错误 B．①③正确，②错误 C．②③正确，①错误 D．①②③都正确 26．（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝kx交于点C，P在直线BC上运动，则PO的最小值为 　 　． 27．（2021•徐州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y＝x+3分别与x轴，直线y＝﹣2x交于点A，B，则△AOB的面积为 　 　． 28．（2021•滨湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线yx交于点B．若点A的坐标是（﹣6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为　 　． 29．（2019•昆山市一模）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k≠0）经过点P（2，1），点A在y轴的正半轴上，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°至线段PB，过点B作直线MN⊥x轴，垂足为N，交直线y＝kx（k≠0）于点M（点M在点B的上方），且BN＝3BM，连接AB，直线AB与直线y＝kx（k≠0）交于点Q，则点Q的坐标为　 　． 30．（2020•镇江模拟）如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析表达式为yx+3，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称． （1）求点B的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△PAB的面积的的点M的坐标； （4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？ 31．（2021•武进区模拟）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值． 高频考点06：一次函数的应用 32．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 33．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D． 34．（2024•仪征市一模）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（　　） A．10分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．20分钟 35．（2024•无锡一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为（8，6），连接AB，BC，P是线段AC上一动点，连接BP，作BP的垂线交线段OA于点D，以PB、PD为边作矩形BPDE，连接AE，DE与AC交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，6≤PE≤10；③当CP＝5时，FP＝FE；④当线段CF的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2024•昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 高频考点07：一次函数综合题 37．（2014•高邮市模拟）如图，在直角坐标系中，已知菱形ABCD的面积为15，顶点A在双曲线y上，CD与y轴重合，且AB⊥x轴于B，AB＝5． （1）求顶点A的坐标和k的值； （2）求直线AD的解析式． 38．（2024•无锡一模）直线与x轴，y轴交于M，N两点，将△MON绕点O按顺时针方向旋转α°（0≤α＜360）得到△M'ON'，OM'，MN所在的直线相交于点A． （1）如图，当α＜90时，且M′N′∥x轴时，过点N作NB⊥OM′，垂足为B，求△MBO的面积； （2）当线段OM′垂直于线段MN时，过点A作AC∥M′N′，交x轴于点C，求点C的坐标； （3）点P（m，n）其中m2+n2≤1，点Q在M′N′上，在整个旋转过程中，PQ的最大值和最小值的和为 　 　． 39．（2024•鼓楼区一模）如图，直线与⊙O相切，切点为P，与x轴y轴分别交于A、B两点．⊙O与x轴负半轴交于点C． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 40．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：yx与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 41．（2023•邳州市一模）如图，直线yx﹣6与x轴交于点A，点B（﹣6，m）也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线BC交x轴于点D，点E坐标为（0，）． （1）m的值为 　 　，点C的坐标为 　 　； （2）求直线AC的函数表达式； （3）晶晶有个想法：“设S＝S△ABD+S四边形DCEO.由点B与点C关于x轴对称易得S△ABD＝S△ACD，而△ACD与四边形DCEO拼接后可看成△AOE，这样求S便转化为直接求△AOE的面积．”但经反复演算，发现S△AOE≠S，请通过计算解释她的想法错在哪里？ 42．（2024•姑苏区校级二模）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后点B与点A重合，求直线AC的解析式； （2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； （3）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，则△B″OC的周长为 　 　． 43．（2024•新北区校级模拟）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为折线MN﹣NF和曲线FG（图②），已知，ON＝4，NH＝1，点G的坐标为（8，0）． （1）点P与点Q的速度之比的值为 　 　；的值为 　 　； （2）如果OM＝15． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②求FG所在曲线的函数表达式； ③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数及与方程、不等式的综合 （7个高频考点43题） 高频考点01：一次函数与一元一次方程 1 高频考点02：一次函数图象与几何变换 3 高频考点03：一次函数与一元一次不等式 9 高频考点04：一次函数与二元一次方程（组） 14 高频考点05：两条直线相交或平行问题 18 高频考点06：一次函数的应用 29 高频考点07：一次函数综合题 36 高频考点01：一次函数与一元一次方程 1．（2020•吴江区二模）若一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+3＝0的解为（　　） A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝3 D．x＝5 【思路点拨】利用一次函数与一元一次方程的关系可得kx+3＝0的解是x＝﹣2，进而可得x﹣5＝﹣2，然后可得x的值． 【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0）， ∴kx+3＝0的解是x＝﹣2， ∴x﹣5＝﹣2， 则x＝3， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 2．（2021•高邮市二模）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 1 … y … 5 3 ﹣1 … A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 【思路点拨】首先根据表格数据可得当y＝5，x＝﹣2，即y＝kx+b＝5时，x＝﹣2，进而利用函数解析式求出y＝5时x的值即可． 【规范解答】解：∵当y＝5，x＝﹣2， ∴当y＝kx+b＝5时，自变量x＝﹣2， ∴关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是x＝﹣2， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确连接一次函数解析式和一元一次方程的关系． 3．（2024•扬州）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为 　x＝﹣2　． 【思路点拨】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【规范解答】解：∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 4．（2021•仪征市校级模拟）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是　x＝1　． 【思路点拨】首先根据函数解析式可得一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象，进而可得一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0），然后可得答案． 【规范解答】解：一次函数y＝ax+b的图象向左平移1个单位可得y＝a（x+1）+b的图象， ∵一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0）， ∴一次函数y＝a（x+1）+b的图象与x轴交于点（1，0）， ∴关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是：x＝1， 故答案为：x＝1． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一次函数y＝ax+b的图象和y＝a（x+1）+b的图象的关系． 高频考点02：一次函数图象与几何变换 5．（2023•姜堰区二模）将一次函数y＝2x﹣3的图象进行如下几何变换： ①向左平移1个单位长度；②向上平移2个单位长度；③沿直线x＝4翻折；④沿直线y＝4翻折． 其中变换后的函数图象经过点（3，5）的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】求得几何变换后的直线解析式，把点（3，5）代入即可判断． 【规范解答】解：①将一次函数y＝2x﹣3的图象向左平移1个单位长度，得到一次函数为y＝2（x+1）﹣3＝2x﹣1， ∵x＝3时，y＝2×3﹣1＝5， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象向左平移1个单位长度后经过点（3，5）； ②将一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移2个单位长度，得到一次函数为y＝2x﹣3+2＝2x﹣1， ∵x＝3时，y＝2×3﹣1＝5， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移2个单位长度后经过点（3，5）； ③∵x＝4时，函数y＝2x﹣3＝5， ∴一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线x＝4翻折后经过点（4，5）和（8，﹣3）， ∴，解得， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线x＝4翻折，得到一次函数为y＝﹣2x+13， ∵x＝3时，y＝﹣2×3+13＝7≠5， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线x＝4翻折后不经过点（3，5）； ④∵y＝4时，则4＝2x﹣3，解得x， ∴一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线y＝4翻折后经过点（，4）和（0，11）， ∴，解得， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线y＝4翻折，得到一次函数为y＝﹣2x+11， ∵x＝3时，y＝﹣2×3+11＝5， ∴将一次函数y＝2x﹣3的图象沿直线y＝4翻折后经过点（3，5）； 综上，将一次函数y＝2x﹣3的图象进行几何变换后的函数图象经过点（3，5）的是①②④， 故选：D． 【考点评析】本题考查了一次函数图象的几何变换，熟练掌握平移的规律，轴对称的性质是解题的关键． 6．（2024•雨花台区模拟）将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向下平移的距离为 　2　． 【思路点拨】先求出点C的坐标为（1，0），从而求出点A1的坐标为 （1，2），得到A1C＝2，再由四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，得到CC1＝A1C＝2，进而得到B1点坐标，再得到平移后的函数表达式，由此即可得到答案． 【规范解答】解：∵四边形AOCB为正方形，点A（0，1）， ∴OC＝OA＝1． ∴点C的坐标为（1，0）， 又∵四边形A1CC1B1为正方形， ∴点A1的横坐标为1， ∵点A1在直线y＝x+1上， ∴点A1的坐标为 （1，2）， ∴A1C＝2． 又∵四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上， ∴CC1＝A1C＝2， ∴OC1＝OC+CC1＝3， ∴B1（3，2）， 设直线经过向下平移b个单位到B1点，设平移后的函数表达式为y＝x+1﹣b， ∴2＝3+1﹣b， 得到b＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 7．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　　． 【思路点拨】先求出点A坐标，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0），可得△BNC∽△CMA，设点B（4m，3m），则OB＝5m，列出即，整理出方程x2﹣（4﹣4m）x+9m＝0，利用判别式确定m的取值范围，根据AB＝5﹣5m确定最值． 【规范解答】解：如图，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0）， ∵点A在函数yx图象上，且点A的横坐标为4， ∴y3， ∴A（4，3）， OA＝5， 设点B（4m，3m），则OB＝5m， ∴AB＝5﹣5m， NC＝x﹣4m ∵∠ACB＝90°， ∴△BNC∽△CMA， ∴即， 整理得：x2﹣（4+4m）x+25m＝0， 点C在x轴上，方程必有实数解， ∴Δ＝（4+4m）2﹣100m≥0，即16m2﹣68m+16≥0， ∴4m2﹣17m+4≥0， 解得m≥4（舍去）或m， ∴m取最大值为， ∴AB＝5﹣5m＝5． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换、垂线段最短，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键． 8．（2024•海州区校级二模）已知直线l过点A（0，﹣1）且平行于x轴，点B的坐标为（0，1），将直线l绕点B逆时针旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 　　． 【思路点拨】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，从而可得，，记知，又∠CED＝60°，可求出，再用待定系数法可得答案． 【规范解答】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，如图： ∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵A（0，﹣1），B（0，1）， ∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴，， ∴， ∵∠CED＝60°， ∴， ∴， ∴， 设直线CE解析式为y＝kx+b，将，代入得： ， 解得， ∴直线CE解析式为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数与几何变换﹣旋转，等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 9．（2023•淮安区校级二模）一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移p个单位，平移后函数图象经过（﹣1，0），则p的值为 　3　． 【思路点拨】根据一次函数图象的平移规律，可得答案． 【规范解答】解：将一次函数y＝2x﹣1的图象向上平移p个单位，得 y＝2x﹣1+P， 直线y＝2x﹣1+P经过（﹣1，0）， ∴0＝2×（﹣1）﹣1+P， ∴P＝3 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变． 10．（2023•宿城区校级模拟）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A逆时针旋转30°交x轴于点C．则点C的坐标为 　（3，0）　． 【思路点拨】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，可求出∠OAB＝30°，根据旋转之后又可得出∠ACO＝30°，然后根据特殊三角函数值即可求出． 【规范解答】解：∵一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x， ∴A（0，3），B（，0）， OA＝3，OB， tan∠OAB， ∴∠OAB＝30°， 将AB逆时针旋转30°后，则∠OAB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴tan∠ACO， ∴OC＝3， ∴C（3，0）． 【考点评析】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题关键是求出A，B两点坐标，得出∠OAB＝30°． 11．（2022•射阳县校级一模）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过　4或8　秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分． 【思路点拨】求得▱OABC的面积，然后设直线y＝4x+1平移后的解析式为y＝4x+b，交AB于D，交OC于E，分两种情况讨论，关键是利用梯形的面积公式即可求得b的值，进而可得答案． 【规范解答】解：∵四边形AOCB是平行四边形，B（6，2），点C（4，0）， ∴S四边形OABC＝4×2＝8， 设直线y＝4x+1平移后的解析式为y＝4x+b，交AB于D，交OC于E， 把y＝0代入得，0＝4x+b，解得x， ∴E（，0）， 把y＝2代入得，2＝4x+b，解得x， ∴D（，2）， 若四边形AOED的面积是四边形OABC的面积的时，则S四边形AOED8＝2， ∴S四边形AOED（2）×2＝2， 解得b＝﹣7； 此时直线y＝4x+1要向下平移8个单位； ∴时间为4秒； 若四边形AOED的面积是四边形OABC的面积的时，则S四边形AOED8＝6， ∴S四边形AOED（2）×2＝6， 解得b＝﹣15， 此时直线y＝4x+1要向下平移16个单位； ∴时间为8秒， 故答案为：4或8． 【考点评析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键． 高频考点03：一次函数与一元一次不等式 12．（2024•宜兴市模拟）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 【思路点拨】根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，结合一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），得到一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0），根据不等式写出解集即可． 【规范解答】解：根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b， ∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0）， ∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0）， ∵k＜0， ∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＜3， 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键． 13．（2024•海安市一模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【思路点拨】观察函数图象得可求解． 【规范解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≤0， 所以不等式kx+b≤0的解集为x≤2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14．（2024•东海县一模）函数y＝kx+b的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．当x＝﹣2时，y＝1 B．k＜0 C．若y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则b＝2 D．若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线上，则m＞n 【思路点拨】利用x＝2时，y＝0可对A选项进行判断；根据一次函数的性质可对B、D选项进行判断；由于直线与y轴的正半轴的交点坐标为（0，b），根据三角形面积公式得到2×b＝2，解方程求出b，从而可对C选项进行判断． 【规范解答】解：∵直线经过点（﹣2，0）， ∴当x＝﹣2时，y＝0，所以A选项不符合题意； ∵一次函数图象经过第一、三象限， ∴k＞0，所以B选项不符合题意； ∵一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（﹣2，0），与y轴的正半轴的交点坐标为（0，b）， ∴2×b＝2， 解得b＝2，所以C选项符合题意； 若点（﹣1，m）和点（1，n）在直线y＝kx+b上， 而y随x的增大而增大， ∴m＜n，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 15．（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【思路点拨】推出y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1，即可判断①；推出y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2，即可判断②；③设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【规范解答】解：①当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1， ∵a＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1， ∴1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当x＝0时，y＝x2＝0，当x＝2时，y＝x2＝4， ∵y＝x2对称轴为y轴，a＝1＞0， ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∴y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2， ∴0≤x≤2是函数y＝x2的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵k＞0， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵k＞0，0＜m≤x≤n， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数y＝﹣x2+2x+1的对称轴为， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， 设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1， 当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数y＝﹣x2+2x+1的“4级关联范围”， ∴函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 【考点评析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，掌握反比例函数的性质，二次函数的性质是关键． 16．（2024•泰兴市三模）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0），y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，则m的取值范围是 　m　． 【思路点拨】根据题意可知y1﹣y2＞0恒成立，据此建立关于x的不等式即可解决问题． 【规范解答】解：因为无论x取何值，始终有y1＞y2， 所以y1﹣y2＞0恒成立． 因为y1﹣y2＝mx+2m﹣1﹣ax+3a﹣1＝（m﹣a）x+2m+3a﹣2， 所以m﹣a＝0，且2m+3a﹣2＞0， 所以2m+3m﹣2＞0， 解得m． 故答案为：m． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式，能根据题意建立关于x的不等式并得出关于m的不等式是解题的关键． 17．（2021•鼓楼区校级模拟）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． （1）当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围． 【思路点拨】（1）将k＝﹣3代入解析式然后求不等式． （2）把x＝1代入y2＝﹣2x+6求出交点坐标然后作图，通过观察图象求解． 【规范解答】解：（1）当k＝﹣3时，y1＝﹣3x﹣2，y2＝﹣2x+6． 当y1＞y2时，﹣3x﹣2＞﹣2x+6， 解得x＜﹣8． （2）由题意得，两直线交点横坐标为1， 把x＝1代入y2＝﹣2x+6得y＝4， 即交点坐标为（1，4）． 把（1，4）代入y1＝kx﹣2得k＝6， ∴y1＝6x﹣2． 如图， ∵y1过定点（0，﹣2）， ∴0＜k＜6满足条件． 当k＝﹣2时，直线y1与y2互相平行， ∴﹣2≤k＜0时也满足题意． 综上所述，﹣2≤k＜6且k≠0． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合的解题技巧是解题关键． 高频考点04：一次函数与二元一次方程（组） 18．（2024•赣榆区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．y1随x的增大而减少 B．b＞n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为 【思路点拨】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【规范解答】解：A：由图象得y1随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； B：由图象得：b＜n，原说法错误，不符合题意； C：由图象得：当x＜2时，y1＜y2，原说法错误，不符合题意； D：由图象得：的解为，正确，符合题意， 故选：D． 【考点评析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． 19．（2024•宝应县一模）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝3x+1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是 　（1，4）　． 【思路点拨】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标． 【规范解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴一次函数y＝3x+1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，4）． 故答案为：（1，4）． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 20．（2021•广陵区校级一模）如图，函数y＝20x和y＝ax﹣40的图象相交于点P，点P的纵坐标为40，则关于x，y的方程组的解是　　． 【思路点拨】本题将P点的横坐标40代入y＝20x中，求出横坐标的值，进而得到P（2，40），根据一次函数与二元一次方程组的关系可知答案即可． 【规范解答】解：由题意可知， ∵点P的纵坐标为40， ∴y＝40， ∴将y＝40代入y＝20x中， 解得x＝2， ∴P（2，40）， 则方程组的解是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一次函数与二元次一方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决问题的关键． 21．（2024•赣榆区校级二模）已知函数y，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 　﹣1＜a　． 【思路点拨】通过数形结合，观察图象和函数式进行作答． 【规范解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2）， ∴无论a取何值，恒过（2，0）， ∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转， 作出题中所含两个函数图象如下： 经旋转可得：当﹣1＜a时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解． 故答案为：﹣1＜a． 【考点评析】本题考查数形结合，画出图象并分析是本题解题的关键． 22．（2022•海州区校级二模）如图，直线y1＝kx﹣2和直线y2＝﹣3x+b交于点A（2，﹣1）则长于x、y的二元一次方程组的解为 　　． 【思路点拨】方程组的解就是两条直线的交点坐标． 【规范解答】解：∵直线y1＝kx﹣2和直线y2＝﹣3x+b相交于点A（2，﹣1）， ∴二元一次方程组的解为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的与一次函数的关系的知识，解题的关键是了解方程组的解就是两条直线的交点坐标，难度不大． 高频考点05：两条直线相交或平行问题 23．（2024•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1、l2、l3所对应的函数表达式分别为y1＝x+2、y2＝x﹣3、y3＝kx﹣2k+4（k≠0且k≠11），若l1与x轴相交于点A，l3与l1、l2分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 【思路点拨】因为y3＝kx﹣2k+4中，当x＝2时，y3＝4，可知l3与恒过点（2，4），从而可得P点坐标（2，4），设直线l1与y轴的交点为H，直线l2与y轴的交点为G，连接AG，PG，根据l1、l2解析式可知两直线平行，易得S△APQ＝S△APG，再根据S△APG＝S△AHG+S△PHG求解即可． 【规范解答】解：在y1＝x+2中，当y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵y3＝kx﹣2k+4中，当x＝2时，y3＝4， ∴l3与恒过点（2，4）， 对于y1＝x+2，当x＝2时，y1＝4， ∴l3与l1的交点坐标为P（2，4）， 设直线l1与y轴的交点为H，直线l2与y轴的交点为G，连接AG，PG，如图所示： ∴H（0，2），G（0，﹣3）， ∴HG＝5， ∵y1＝x+2、y2＝x﹣3， ∴l1、l2两直线平行， ∴S△APQ＝S△APG， ∵S△APG＝S△AHG+S△PHG10， ∴S△APQ＝10． 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求出点P的坐标是解决本题的突破点． 24．（2023•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1•y2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，由一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，求得k1，k2，即y1x+6，y2x+2，得到y＝y1•y2＝（x+6）（x+2）x2+12，然后根据二次函数的性质判断即可． 【规范解答】解：根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2， ∴一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C， ∴3＝mk1+6，3＝mk2+2， ∴k1，k2， ∴y1x+6，y2x+2， ∴y＝y1•y2＝（x+6）（x+2）x2+12， ∴函数y是二次函数， ∵0， ∴函数y图象开口向下，顶点为（0，12）， 故选：C． 【考点评析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，根据题意得到y＝y1•y2＝（x+6）（x+2）x2+12是解题的关键． 25．（2020•丹阳市模拟）一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法： ①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小； ②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大； ③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为． 下列选项中，描述准确的是（　　） A．①②正确，③错误 B．①③正确，②错误 C．②③正确，①错误 D．①②③都正确 【思路点拨】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答． 【规范解答】解： 一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，1），Q（2，7）为G2的两个临界点， 易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1）， 直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确； 当G1与G2没有公共点时，分三种情况： 一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求； 二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意； 三是当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大，符合题意，故②正确； 当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM＝2， ∴PM＝2PN， 由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2 ∴（2PN）2+（PN）2＝9， ∴PN， ∴PM 故③正确． 综上，①②③都正确． 故选：D． 【考点评析】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大． 26．（2023•武进区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝kx交于点C，P在直线BC上运动，则PO的最小值为 　　． 【思路点拨】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当OP⊥BC时，PO的值最小，利用等积法求出OP的长即可． 【规范解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2； ∴A（2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴， ∵直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx交于点C，P在直线BC上运动， ∴直线BC即为直线y＝﹣2x+4， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当OP⊥BC时，OP的值最小， ∵， ∴， ∴； 即PO的最小值为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 27．（2021•徐州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线y＝x+3分别与x轴，直线y＝﹣2x交于点A，B，则△AOB的面积为 　3　． 【思路点拨】先求得A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， 解得，， ∴A（﹣3，0），B（﹣1，2）， ∴△AOB的面积3×2＝3， 故答案为3． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得A、B的坐标是解题的关键． 28．（2021•滨湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线yx交于点B．若点A的坐标是（﹣6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为　y　． 【思路点拨】由2AP＝3PB得出AQ：QE＝AP：PB＝3：2，PQ：BE＝PA：AB＝3：5，求出OEm，QEmmm，AQm，利用OAmmm＝6即可求解． 【规范解答】解：过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q， 由题意得：∠AOB＝60°， ∵PQ∥BE， ∴AQ：QE＝AP：PB＝3：2，PQ：BE＝PA：AB＝3：5， ∵PQ＝m，OQm， ∴BEm， 在Rt△OBC中，OEm， ∴QEmmm，AQm， ∴OAmmm＝6，解得：m， ∴点P（，）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣6，0），P（，）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为yx+3， 故答案为yx+3． 【考点评析】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度． 29．（2019•昆山市一模）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k≠0）经过点P（2，1），点A在y轴的正半轴上，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°至线段PB，过点B作直线MN⊥x轴，垂足为N，交直线y＝kx（k≠0）于点M（点M在点B的上方），且BN＝3BM，连接AB，直线AB与直线y＝kx（k≠0）交于点Q，则点Q的坐标为　（7，）　． 【思路点拨】根据已知条件得到直线OM的解析式为：yx，过P作EF∥x轴交y轴于E交MN于F，推出四边形OEFN是矩形，根据全等三角形的性质得到AE＝PF，PE＝BF＝2，求得A（0，7），B（8，3），列方程组即可得到结论． 【规范解答】解：∵直线y＝kx（k≠0）经过点P（2，1）， ∴k， ∴直线OM的解析式为：yx， 过P作EF∥x轴交y轴于E交MN于F， ∵MN⊥x轴， ∴MN∥AO， ∴四边形OEFN是矩形， ∵P（2，1）， ∴OE＝FN＝1，PE＝2， ∴∠OEF＝∠EFN＝90°， ∴∠AEF＝∠BFE＝90°， ∵∠APB＝90°， ∴∠EAP+∠APE＝∠APE+∠BPF＝90°， ∴∠EAP＝∠BPF， 在△AEP与△PFB中， ∴△AEP≌△PFB（AAS）， ∴AE＝PF，PE＝BF＝2， ∴BN＝3， ∵BN＝3BM， ∴BM＝1， ∴MN＝4， ∴点M的纵坐标为4， ∴M（8，4）， ∴PF＝AE＝6， ∴A（0，7），B（8，3）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为：yx+7， 由得， ∴点Q的坐标为（7，）． 故答案为：（7，）． 【考点评析】本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题． 30．（2020•镇江模拟）如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析表达式为yx+3，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称． （1）求点B的坐标； （2）求直线l2的解析表达式； （3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△PAB的面积的的点M的坐标； （4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？ 【思路点拨】（1）先利用l1的解析表达式求出点A的坐标，再根据A、B关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答； （2）根据点P的横坐标是﹣1，求出点P的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可； （3）根据三角形的面积，底边AB不变，只要点M的横坐标的长度等于点P的横坐标的长度的求出点M的横坐标，然后代入直线l2的解析式求解即可； （4）分别求出两直线解析式与x轴的交点坐标，根据x轴上方的部分的函数值大于0解答． 【规范解答】解：（1）当x＝0时，x+3＝0+3＝3， ∴点A的坐标是（0，3）， ∵点A与点B恰好关于x轴对称， ∴B点坐标为（0，﹣3）； （2）∵点P横坐标为﹣1， ∴（﹣1）+3， ∴点P的坐标是（﹣1，）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线l2的解析式为yx﹣3； （3）∵点P横坐标是﹣1，△MAB的面积是△PAB的面积的， ∴点M的横坐标的长度是， ①当横坐标是时，y＝（）×（）﹣33， ②当横坐标是时，y＝（）33， ∴M点的坐标是（，）或（，）； （4）l1：yx+3，当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6， l2：yx﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0， 解得x， ∴当﹣6＜x时，l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0． 【考点评析】本题综合考查了直线相交问题，待定系数法求直线解析式，三角形的面积，一次函数与不等式的关系，综合性较强，但难度不大，（3）要注意分情况讨论． 31．（2021•武进区模拟）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值． 【思路点拨】（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值； （2）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD＝2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝2x+1上， ∴b＝2×1+1＝3； ∵点P（1，3）在直线l2：y＝mx+4上， ∴3＝m+4， ∴m＝﹣1． （2）当x＝a时，yC＝2a+1； 当x＝a时，yD＝4﹣a． ∵CD＝2， ∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝2， 解得：a或a． ∴a的值为或． 【考点评析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值；（2）根据CD＝2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程． 高频考点06：一次函数的应用 32．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 【思路点拨】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度． 【规范解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h； 乙的速度是：20÷1＝20km/h； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选：D． 【考点评析】本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力． 33．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D． 【思路点拨】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意； 由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意； 在35～d时，两人同向而行，d是明明到B点的时间，∴d＝2800÷60（分），故D选项不符合题意； 明明到达B后，亮亮距离明明的路程为：b＝2800﹣80（35）（米），故B选项符合题意． 【规范解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米， 第二次相遇两人共走了（3×2800）米， 且二者速度不变， ∴c＝60÷3＝20（分）． 故C选项不符合题意； ∵x＝35时，出现拐点， ∴此时亮亮到达A地，路程为2800米， 亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分）， 两人的速度和为2800÷20＝140（米/分）， 明明的速度为140﹣80＝60（米/分）， ∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100； 故A选项不符合题意； 在35～d时，两人同向而行， d是明明到B点的时间， ∴d＝2800÷60（分）， 故D选项不符合题意； 明明到达B后， 亮亮距离明明的路程为： b＝2800﹣80（35）（米）， 故B选项符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题关键． 34．（2024•仪征市一模）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（　　） A．10分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．20分钟 【思路点拨】根据题意可得当x＞3时，y与x的函数关系式，再把y＝64代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【规范解答】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意，得：， 解得， ∴y＝3x+4（x＞3）， 当y＝64时，3x+4＝64， 解得x＝20， 20÷60×60＝20（分钟）． 故选：D． 【考点评析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键． 35．（2024•无锡一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为（8，6），连接AB，BC，P是线段AC上一动点，连接BP，作BP的垂线交线段OA于点D，以PB、PD为边作矩形BPDE，连接AE，DE与AC交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，6≤PE≤10；③当CP＝5时，FP＝FE；④当线段CF的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】首先求出C（0，6），A（8，0），然后证明出四边形OABC是矩形，然后得到点B，P，D，A，E五点共圆，然后利用圆内接四边形对角互补得到∠PAE＝180°﹣∠PBE＝90°，得到∠BCA＝∠BAE，即可判断①； 首先根据矩形的性质得到PE＝BD，然后根据题意求出BD的最大值和最小值即可判断②； 首先得到当CP＝5时，点P为AC的中点，然 后根据题意证明出△PFD≌△EFA（AAS），即可得到PF＝EF，进而判断③； 过P作MN⊥OA于N，过F作FH⊥OA于H，则四边形OCMN是矩形，证明△CPM∽△CBA，得出 ，设CM＝4m，则PM＝3m，BM＝8﹣4m，PN＝6﹣3m，同理可证 ，设FH＝3a，则AH＝4a，，证明△BMP＝△PND，得出，求出 ，，证明△DHF∽△PND，可得 ，整理得，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】解：∵直线 与x轴、y轴交于点A、C， ∴当x＝0时，， ∴C（0，6）， 当y＝0时，， 解得x＝8， ∴A（8，0）， ∵点B的坐标为（8，6）， ∴四边形OABC是矩形， ∴∠CBA＝∠OAB＝90°，OC＝AB＝6，OA＝BC＝8，BC∥OA， ∵四边形BPDE是矩形， ∴∠BPD＝∠BED＝∠PBE＝∠PDE＝90°， ∴点B，P，D，A，E五点共圆， ∴∠PAE＝180°﹣∠PBE＝90°， ∴∠PAB+∠BAE＝90°， ∵∠PAB+∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠BAE， ∴，故①正确； ∵四边形BPDE是矩形， ∴PE＝BD， ∵P是线段AC上一动点， ∴点D在线段OA上运动， ∴当点D和点O重合时，BD最大，即OB的长度， ∵， ∴BD的最大值为10，即PE的最大值为10； 当BD⊥OA时，即点D和点A重合时，BD的长度最小，即OA的长度，为6， ∴BD的最小值为6，即PE的最小值为6， ∴点P在移动过程中，6≤PE≤10，故②正确； 如图所示，当CP＝5时， ∵AC＝OB＝10， ∴此时点P为AC的中点， ∠CBA＝90°， ∴AP＝BP， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵∠PAB+∠BAE＝∠PBA+∠EBA＝90°， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵PD＝BE， ∴PD＝AE， ∵点B，P，D，A，E五点共圆， ∴∠DPA＝∠DEA， 又∠PFD＝∠EFA， ∴△PFD≌△EFA（AAS）， ∴PF＝EF，故③正确； 过P作MN⊥OA于N，过F作FH⊥OA于H，则四边形OCMN是矩形， ∴MN＝OC＝6，CM＝ON， ∵OA∥BC， ∴MN⊥BC， ∵∠BBC＝90°， ∴MN∥AB， ∴△CPM∽△CBA， ∴， 设CM＝4m，则PM＝3m，BM＝8﹣4m，PN＝6﹣3m， 同理可证 ， ∴设FH＝3a，则AH＝4a，， ∵∠BPM＝90°﹣∠DPN＝∠PDN∠BMP＝∠PND＝90°， ∴△BMP∽△PND， ∴，即 ， 解得 ， ∴， 同理可证△DHF∽△PND， ∴，即 ， 整理得 ， ∵， 时，a有最大值，则CF＝10﹣5a有最小值， 此时 ， 故④错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质，一次函数的应用，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正切等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 36．（2024•昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　　时． 【思路点拨】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即可． 【规范解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1， ∴， 解得， 即y1＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1）， 设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2， ∴， 解得， 即y2＝6x+2 （0≤x≤1）； 令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2， 解得：x， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时． 故答案为：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 高频考点07：一次函数综合题 37．（2014•高邮市模拟）如图，在直角坐标系中，已知菱形ABCD的面积为15，顶点A在双曲线y上，CD与y轴重合，且AB⊥x轴于B，AB＝5． （1）求顶点A的坐标和k的值； （2）求直线AD的解析式． 【思路点拨】（1）如图，连接BD，作DE⊥AB，由S菱形ABCD＝2S△ABD，S△ABDAB×ED，代入数值，即可求出DE，即可得出点A的横坐标；把点A的坐标，代入y，即可求出k值； （2）设点D的坐标为（0，y），由AD＝5，根据两点间的距离公式，可求出y值；再设直线AD的解析式为y＝k′x+b，把点A、D的坐标代入，可求出k′的值，即可解答； 【规范解答】解：（1）如图，连接BD，作DE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝2S△ABD，S△ABDAB×ED， ∵菱形ABCD的面积为15，AB＝5， ∴25×ED＝15， 解得，DE＝3， ∴点A的坐标为：（﹣3，5）； 又∵点A在双曲线y上， ∴5， ∴k＝﹣15； （2）设点D的坐标为（0，y）， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝5， ∴5， 解得y＝9（舍去），y＝1， ∴点D的坐标为（0，1）． 设直线AD的解析式为y＝k′x+b， ∵直线AD过A、D两点， ∴， 解得． ∴直线AD的解析式为：yx+1． 【考点评析】本题主要考查了菱形的面积、两点间的距离和一次函数解析式的求法，根据两点间的距离公式，求出点D的坐标，是解答本题的关键． 38．（2024•无锡一模）直线与x轴，y轴交于M，N两点，将△MON绕点O按顺时针方向旋转α°（0≤α＜360）得到△M'ON'，OM'，MN所在的直线相交于点A． （1）如图，当α＜90时，且M′N′∥x轴时，过点N作NB⊥OM′，垂足为B，求△MBO的面积； （2）当线段OM′垂直于线段MN时，过点A作AC∥M′N′，交x轴于点C，求点C的坐标； （3）点P（m，n）其中m2+n2≤1，点Q在M′N′上，在整个旋转过程中，PQ的最大值和最小值的和为 　　． 【思路点拨】（1）利用直线解析式求出点M、N的坐标，得到OM＝4，ON＝2，，证明∠ONB＝∠OMN，再结合ON＝2，求出，过点B，作BE⊥x轴于点E，同理求出BE，再根据面积公式即可求出△MBO的面积； （2）依题意画出图形，证明△NOA≌△FAO（ASA），得到ON＝AF＝2，结合tan∠FAO＝tan，求出，，进而求出，利用OF∥MN证明△FCO∽△ACM，得到 ，再代入数据即可求出OC，从而得解； （3）根据题意得出：OQmax＝4，，OPmax＝1，从而得到PQ≤OQ+OP≤OQmax+OPmax＝5，，绝而得解． 【规范解答】解：（1）令，解得：x＝﹣4， ∴M（﹣4，0），OM＝4， 当x＝0时，， ∴N（0，2），ON＝2， ∴， 由旋转可知：∠OMN＝∠M'， 又∵M'N'∥x轴， ∴∠OMN＝∠M′＝∠M′OM， ∴NB⊥OM'， ∴∠ONB＝90°﹣∠BON＝∠MOM＝∠OMN， ∴， 设OB＝a，则BN＝2a， ∴OB2+BN2＝ON2，即a2+（2a）2＝4 解得：，， 过点B，作BE⊥x轴于点E， 同理，由，，BE2+OE2＝OB2， 可得：， ∴△MBO的面积为：； （2）依题意画图如下： 由旋转可知：∠M′＝∠OMN，∠MON＝∠AOF＝90°， ∵AC∥M'N′， ∴∠FAO＝∠M′＝∠OMN， 又∵线段OM'垂直于线段MN， ∴∠AOM+∠OMN＝90°，∠OAN＝90°， ∴∠NOA＝90°﹣∠AOM＝∠OMN＝∠FAO， ∵∠NOA＝∠FAO，OA＝AO，∠OAN＝∠AOF＝90°， ∴△NOA≌△FAO（ASA）， ∴ON＝AF＝2， ∵tan∠FAO＝tan， 设OF＝b，则OA＝2b， ∵QF2+OA2＝AF2，即b2+（2b）2＝22， 解得：，， ∴， ∵∠OAN＝∠AOF＝90°， ∴OF∥MN， ∴△FCO∽△ACM， ∴，即， 解得：， ∴点C的坐标为：． （3）∵点P（m，n）其中m2+n2≤1，即OP2≤1， ∴点P在以O为圆心，半径为1的圆面上，OPmax＝1， ∵点Q在M'N'上， ∴OQmax＝OM'＝OM＝4， 由垂线段最短和旋转可知，OQ的最小值就是点O到M'N'的距离，也就是点O到MN的距离， 即， ∴PQ≤OQ+OP≤OQmax+OPmax＝5，即PQmax＝5，如图所示： ∴，即，如图所示： ∴PQ的最大值和最小值的和为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形，三角形的三边关系，三角形的面积公式等知识，综合性较大，根据题意正确画图和作辅助线是解题的关键． 39．（2024•鼓楼区一模）如图，直线与⊙O相切，切点为P，与x轴y轴分别交于A、B两点．⊙O与x轴负半轴交于点C． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）由OP＝OA•sin60°，即可求解； （2）由图中阴影部分的面积＝S扇形COP﹣S△POC，即可求解． 【规范解答】解：（1）对于直线，令0， 则x＝2，即OA＝2， 由一次函数的表达式知，OB＝6， 则tan∠BAC， 则∠BAC＝60° 连接OP，则OP⊥AB， 则OP＝OA•sin60°＝23； （2）过点P作PH⊥AC于点H， ∵∠POH＝30°，则∠POC＝150°， PHOP， 则图中阴影部分的面积＝S扇形COP﹣S△POCπ×323． 【考点评析】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中． 40．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：yx与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 【思路点拨】（1）对于yx，令x＝0，则y，令y＝0，解得x＝﹣2，即可求解； （2）由△ABP的面积＝S△HBP+S△HBA，即可求解； （3）求出线段AP、AQ、PQ的长度，再分AP＝PQ、AP＝AQ两种情况，分别求解即可． 【规范解答】解：（1）对于yx，令x＝0，则y，令y＝0，解得x＝﹣2， 故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）； （2）设直线AP交y轴于点H， 设直线AP的表达式为：y＝k（x+2）， 当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k， 即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k）， 则△ABP的面积＝S△HBP+S△HBAAC×BH（2k）， 解得：k， ∴点P的坐标为（2，）； （3）由（2）知，点P的坐标为（2，），点A（﹣2，0），设点Q（2，t）， 由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16， 同理可得：PQ2＝（t）2，AQ2＝16+t2， 当AP＝PQ时，即16（t）2，解得t或， 故点Q的坐标为（2，）或（2，）； 当AP＝AQ时，即1616+t2，解得t（负值已舍去）， 故点Q的坐标为（2，）； 综上，点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）． 【考点评析】本题是一次函数的综合题，考查了求一次函数关系式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质，其中（3），分类求解是本题解题的关键． 41．（2023•邳州市一模）如图，直线yx﹣6与x轴交于点A，点B（﹣6，m）也在该直线上，点B关于x轴的对称点为点C，直线BC交x轴于点D，点E坐标为（0，）． （1）m的值为 　﹣3　，点C的坐标为 　（﹣6，3）　； （2）求直线AC的函数表达式； （3）晶晶有个想法：“设S＝S△ABD+S四边形DCEO.由点B与点C关于x轴对称易得S△ABD＝S△ACD，而△ACD与四边形DCEO拼接后可看成△AOE，这样求S便转化为直接求△AOE的面积．”但经反复演算，发现S△AOE≠S，请通过计算解释她的想法错在哪里？ 【思路点拨】（1）由点B（﹣6，m）在直线yx﹣6上，可得m（﹣6）﹣6＝﹣3；再由点B关于x轴的对称点为点C，可得点C的坐标为（﹣6，3）； （2）由直线yx﹣6与x轴交于点A，先求出点A的坐标；设直线AC的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法可求出直线AC的函数关系式； （3）由（2）直线AC的函数表达式为yx+6．先直线AC与y轴的交点坐标为（0，6）．又点E坐标为（0，），可得点E不在直线AC上，即点A、C、E不在同一条直线上．则S△AOE≠S． 【规范解答】解：（1）∵点B（﹣6，m）在直线yx﹣6上， ∴m（﹣6）﹣6＝﹣3； ∴B（﹣6，﹣3）， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴C（﹣6，3）． 故答案为：﹣3，（﹣6，3）； （2）∵直线yx﹣6与x轴交于点A， ∴A（﹣12，0）， 设直线AC的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得，， 解得． ∴直线AC的函数表达式为：yx+6． （3）由（2）直线AC的函数表达式为yx+6． 令x＝0，得y＝6． ∴直线AC与y轴的交点坐标为（0，6）． 而点E坐标为（0，）， ∴点E不在直线AC上，即点A、C、E不在同一条直线上． ∴S△AOE≠S． 【考点评析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数表达式，面积转化等内容，第（3）问将问题转化为证明点是否在函数图象上，可简化计算． 42．（2024•姑苏区校级二模）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后点B与点A重合，求直线AC的解析式； （2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； （3）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，则△B″OC的周长为 　44　． 【思路点拨】（1）因为折叠后点B与点A重合，那么BC＝AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标，然后根据待定系数法即可得到结论； （2）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围； （3）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA＝∠CB″D，因此∠B″CO＝∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD． 设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC＝OB﹣OC＝4﹣m． ∴AC＝BC＝4﹣m． 在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2＝OC2+OA2， 即（4﹣m）2＝m2+22，解得m． ∴点C的坐标为（0，）， ∵OA＝2， ∴A（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为yx； （2）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′， ∴△B′CD≌△BCD． ∵OB′＝x，OC＝y， ∴B′C＝BC＝OB﹣OC＝4﹣y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2＝OC2+OB′2． ∴（4﹣y）2＝y2+x2， 即yx2+2． 由点B′在边OA上，有0≤x≤2， ∴解析式yx2+2（0≤x≤2）为所求． ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为y≤2； （3）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC． ∴∠OCB″＝∠CB″D． 又∵∠CBD＝∠CB″D， ∴∠OCB″＝∠CBD， ∵CB″∥BA． ∴Rt△COB″∽Rt△BOA． ∴， ∴OC＝2OB″， 在Rt△B″OC中， 设OB″＝x0（x0＞0），则OC＝2x0． 由（2）的结论，得2x02， 解得x0＝﹣8±4． ∵x0＞0， ∴x0＝﹣8+4． ∴OB″＝﹣8+4， ∴OC＝816， ∴CB″820， ∴△B″OC的周长为＝﹣8+4816﹣820＝44， 故答案为：44． 【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，正确地作出图形是解题的关键． 43．（2024•新北区校级模拟）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为折线MN﹣NF和曲线FG（图②），已知，ON＝4，NH＝1，点G的坐标为（8，0）． （1）点P与点Q的速度之比的值为 　　；的值为 　　； （2）如果OM＝15． ①求线段NF所在直线的函数表达式； ②求FG所在曲线的函数表达式； ③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由函数图象t＝4时，Q与E重合，t＝5时，P与B重合，t＝8时，P与C重合，则Q的速度v2，P的速度v1，从而得出答案； （2）①当t＝0时，P与A重合，Q与D重合，此时S△ADE＝2，可得AD＝BC＝DE＝15，AB＝CDAD＝10，从而得出点P与Q的速度，即可得出点F的坐标，利用待定系数法可得答案； ②设FG所在的曲线的数解析式为S＝a（ t﹣6）2+k（a≠0），把F（5，），G（8，0）代入解析式求得a，k值即可求解答； ③利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，当S时，可得t的值，根据图象可得答案． 【规范解答】解：（1）∵ON＝4，NH＝1，G（8，0）， ∴N（4，0），H（5，0）， 由图象可知：t＝4时，Q与E重合，t＝5时，P与B重合，t＝8时，P与C重合， ∴Q的速度v2，P的速度v1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵E为CD的中点， ∴DE， ∴， ∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒， ∴AB＝5v1，BC＝3v1， ∴ABBC， ∴AB：AD的值为， 故答案为：，； （2）①∵OM＝15， ∴M（0，15）， 由题知，t＝0时，P与A重合，Q与D重合， ∴15， ∵AB：AD，DE， ∴DEAD， ∴15， ∴AD＝BC＝6（舍去负值）， ∴AB＝CDAD＝10， ∴v2， 当t＝5时，DQ＝v2t5， ∴QE＝DQ﹣DE5，此时P与B重合， ∴S△EPQ6， ∴F（5，）， 设直线NF的解析式为S＝kt+b（k≠0）， 将N（4，0）与F（5，）代入得：， ∴， ∴线段NF所在直线的函数表达式为St﹣15（4＜t≤5）； ②设FG所在曲线的函数解析式为S， ∴FG所在的曲线的函数解析式为S（5≤t≤8）； ③存在，分情况讨论如下： 当Q在DE上，P在AB上时， ∵直线MN经过点M（0，15），N（4，0）， 可求得直线MN的解析式为St+15（0≤t≤4）， 当s时，t+15， ∴x＝3， ∵s随x的增大而减小， ∴当0≤x≤3时，S， 当Q在CE上，P在BC上时， 直线NF的解析式为S（4＜t≤5）； 由F（5，）知：当t＝5时，S， 当S时，， ∴t＝7或5， 由图象知：当5≤x≤7， x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7． 【考点评析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$