专题03 方程与不等式的应用（10个高频考点50题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题03 方程与不等式的应用 （10个高频考点50题） 高频考点01：由实际问题抽象出一元一次方程 1 高频考点02：一元一次方程的应用 3 高频考点03：二元一次方程的应用 8 高频考点04：由实际问题抽象出二元一次方程组 10 高频考点05：二元一次方程组的应用 12 高频考点06：三元一次方程组的应用 17 高频考点07：一元二次方程的应用 21 高频考点08：分式方程的应用 24 高频考点09：一元一次不等式的应用 27 高频考点10：一元一次不等式组的应用 33 高频考点01：由实际问题抽象出一元一次方程 1．（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 【思路点拨】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设有牧童x人， 根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024•海安市模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9 【思路点拨】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9． 故选：D． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024•建邺区校级模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【思路点拨】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量，根据此列方程即可． 【规范解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的． 根据等量关系列方程得：1， 故选：A． 【考点评析】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找． 4．（2023•海安市模拟）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为　28x﹣20（x+13）＝20　． 【思路点拨】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案． 【规范解答】解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为： 28x﹣20（x+13）＝20． 故答案为：28x﹣20（x+13）＝20． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键． 5．（2023•启东市三模）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人，可列出方程为：　9x﹣11＝6x+16　． 【思路点拨】设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，此题得解． 【规范解答】解：若设有x人，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱， 根据题意得：9x﹣11＝6x+16， 故答案为：9x﹣11＝6x+16． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 高频考点02：一元一次方程的应用 6．（2023•高新区一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则此三阶幻方中s的值为（　　） A．34 B．36 C．42 D．43 【思路点拨】第一列第二个数为s﹣31，第三列第一个数为s﹣24，第三列第三数为s﹣35，由题意列出方程，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：第一列第二个数为s﹣31，第三列第一个数为s﹣24，第三列第三数为s﹣35， 可得：s﹣（s﹣31）﹣14＝s﹣（s﹣24）﹣（s﹣35）， 解得：s＝42， 故选：C． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 7．（2024•扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　2.5　分钟． 【思路点拨】根据题意，设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，可列：100+60x＝100x，求解即可． 【规范解答】解：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人， 根据题意可列：100+60x＝100x， 解得：x＝2.5， 故答案为：2.5． 【考点评析】本题考查的是一元一次方程的应用与数学常识，根据题意正确列出方程是解题的关键． 8．（2011•扬州校级一模）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有　12　人． 【思路点拨】扩印费+0.5×照片上人数＝0.6×学生数，把相关数值代入计算即可． 【规范解答】解：设相片上共有x人． 0.6+0.5x＝0.6×（x﹣1）， 解得x＝12， 故答案为12． 【考点评析】考查一元一次方程的应用；得到所需总费用的等量关系是解决本题的关键． 9．（2024•苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从A站到B站行驶了 　90　分钟，从B站到C站行驶了 　60　分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2． ① 　　． ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值． 【思路点拨】（1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出v2，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分25≤t＜90，90≤t≤100，100＜t≤110，110＜t≤150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 【规范解答】解：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60＝150分钟，G1002次列车从A站到C站共需35+60+30＝125分钟， ∴150v1＝125v2， ∴， 故答案为：； ②∵v1＝4（千米/分钟），， ∴v2＝4.8（千米/分钟）， ∵4×90＝360（千米）， ∴A与B站之间的路程为360千米， ∵360÷4.8＝75（分钟）， ∴当t＝100时，G1002次列车经过B站， 由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车， ∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车， i．当25≤t＜90时，d1＞d2， ∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2， ∴4t﹣4.8（t﹣25）＝60， t＝75（分钟）； ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2， ∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2， ∴360﹣4.8（t﹣25）＝60， t＝87.5（分钟），不合题意，舍去； ⅱi．当100＜t≤110时，d1＜d2， ∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1， ∴4.8（t﹣25）﹣360＝60， t＝112.5（分钟），不合题意，舍去； iv．当110＜t≤150时，d1＜d2， ∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1， ∴4.8（t﹣25）﹣[360+4（t﹣110）]＝60， t＝125（分钟）； 综上所述，当t＝75或125时，|d1﹣d2|＝60． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 10．（2024•雨花台区模拟）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．已知A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值． 【思路点拨】设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y度，得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【规范解答】解：设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y度，则 y＝300x+260（90﹣x）＝40x+23400， ∵x≤2（90﹣x）， ∴x≤60， ∵y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值为：40×60+23400＝25800（度）． 答：A厂和B厂总发电量的最大是25800度． 【考点评析】本题主要考查了一次函数的应用，理清数量关系列出解析式是解答本题的关键． 11．（2023•南京）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度． 【思路点拨】设该学生接温水的时间为x s，则接温水20x ml，开水（280﹣20x）ml，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【规范解答】解：设该学生接温水的时间为x s， 根据题意可得：20x×（60﹣30）＝（280﹣20x）×（100﹣60）， 解得x＝8， ∴20×8＝160（ml）， ∵280﹣160＝120（ml）， ∴120÷15＝8（s）， ∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s． 【考点评析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 高频考点03：二元一次方程的应用 12．（2022•高邮市模拟）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】设笔芯的数量为x，橡皮的数量为y，根据题意得出二元一次方程，再根据x和y都为正整数得出x和y可能的值即可． 【规范解答】解：设笔芯的数量为x，橡皮的数量为y，根据题意得， x+1.5y＝9， ∵x和y都为正整数， 则或， ∴小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差6﹣2＝4或4﹣3＝1， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程的知识，熟练根据题意列出二元一次方程是解题的关键． 13．（2023•宿豫区三模）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”，例如：m＝2136，因为2+6＝2×（1+3），所以2136是“共生数”：m＝5479，因为5+9≠2×（4+7），所以5479不是“共生数”．若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为 　1137　． 【思路点拨】设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为（x+y）﹣3x＝（yx），根据百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，3x，（2y﹣x）均为一位正整数，即可得出结论． 【规范解答】解：设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为（x+y）﹣3x＝（yx）， 根据题意得：yx+y＝8或yx+y＝16． 当yx+y＝8时，3y＝5x+16， ∵x，y，3x，（2y﹣x）均为一位正整数， ∴， ∴3x＝3×1＝3，yx71＝1， ∴满足条件的“共生数”为1137； 当yx+y＝16时，3y＝5x+32， ∵x，y，3x，（2y﹣x）均为一位正整数， ∴无解． 综上所述，满足条件的“共生数”为1137． 故答案为：1137． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 14．（2021•玄武区校级自主招生）足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 　3　种不同的可能性． 【思路点拨】设该球队胜x场，平y场，则负（15﹣x﹣y）场，根据足球队共赛了15场，共得33分，列出二元一次方程，求出符合题意的解，即可得出结论． 【规范解答】解：设该球队胜x场，平y场，则负（15﹣x﹣y）场， 由题意得：3x+y＝33， 整理得：x＝11y， ∵x、y均为非负整数，且x+y≤15， ∴或或， ∴15﹣x﹣y＝2或0或4， 即该队得胜、负、平场数情况共有3种不同的可能性， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 15．（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【思路点拨】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【规范解答】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得， 解得， 答：有30个客人，13个盘子． 【考点评析】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键． 高频考点04：由实际问题抽象出二元一次方程组 16．（2022•如皋市一模）《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：依题意，得． 故选：A． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 17．（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【规范解答】解：由题意得： ， 故选：B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 18．（2024•宿城区一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为　　． 【思路点拨】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【规范解答】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，． 故答案为． 【考点评析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 19．（2023•仪征市二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 　　． 【思路点拨】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案． 【规范解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（2023•海州区二模）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知买九个甜果花十一文钱，买七个苦果花四文钱，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设：甜果、苦果各买了x，y个，可得方程组：　　． 【思路点拨】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 高频考点05：二元一次方程组的应用 21．（2024•姜堰区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长 　6.5　尺． 【思路点拨】设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【规范解答】解；设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺， 由题意得，， 解得x＝6.5， 所以木长6.5尺， 故答案为：6.5． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 22．（2024•梁溪区校级模拟）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 　　． 【思路点拨】此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【规范解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】此题是一道材料分析题，主要考查了二元一次方程组的应用，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组． 23．（2024•盐城一模）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【思路点拨】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【规范解答】解：（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； （2）由题意得：3a+4b＝31， ∴a， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24．（2024•沛县校级三模）中国古代数学专著《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文是：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少文钱？ 【思路点拨】设买鸡的人数为x人，鸡的价格是y文钱，根据现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设买鸡的人数为x人，鸡的价格是y文钱， 根据题意得：， 解得：， 答：买鸡的人数为9人，鸡的价格是70文钱． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．（2024•邗江区校级三模）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 【思路点拨】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3a+4b＝31，即b，由a、b均为正数即可得出各租车方案． 【规范解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨． （2）由题意可得：3a+4b＝31， ∴b． ∵a，b均为整数， ∴有、和三种情况． 故共有三种租车方案，分别为： ①A型车1辆，B型车7辆； ②A型车5辆，B型车4辆； ③A型车9辆，B型车1辆． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货31吨，找出3a+4b＝31． 26．（2022•连云港模拟）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元． （1）若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为 　420　元（直接写出结果）． （2）若一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示） （3）该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？ 【思路点拨】（1）设一次性购买B场门票x张，每张票价为y元，用待定系数法求出当x≤70时的解析式，然后代入x＝10即可； （2）当一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，设每张票价为y元，用待定系数法求出解析式即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：①当观看A场比赛的人数小于等于30的时候，每张票400元，得240m+400（120﹣m）＝32160；②当观看A场比赛的人数大于30小于50的时候，每张票（﹣5x+550）元，得240m+（120﹣m）（﹣5（120﹣m）+550）＝32160，解方程即可． 【规范解答】解：（1）当x≤70时，设一次性购买B场门票x张，每张票价为y元， 设解析式为y＝kx+b， 将点（0，450）和（70，240）代入， 得， 解得， ∴y＝﹣3x+450， 当x＝10时，y＝﹣30+450＝420． 故答案为：420． （2）当一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，设每张票价为y元， 设y＝ka+b， 将点（30，400），（70，200）代入， 得， 解得， ∴y＝﹣5a+550， ∴一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用为：﹣5a2+550a． （3）设有m人观看了B场比赛， ∵观看A场比赛的人数不足50人，总共有120人， ∴观看B场比赛的人数大于70人， ∴观看B场比赛的每张票240元． ①当观看A场比赛的人数小于等于30的时候，每张票400元， ∴240m+400（120﹣m）＝32160， 解得m＝99． ②当观看A场比赛的人数大于30小于50的时候，每张票（﹣5x+550）元， ∴240m+（120﹣m）（﹣5（120﹣m）+550）＝32160， 解得m＝72或m＝111（舍去）， 综上，有99人或72人观看了比赛． 【考点评析】本题考查了方程和一次函数的综合，结合一次函数的图象并根据题意列方程是解决本题的关键． 高频考点06：三元一次方程组的应用 27．（2021•武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元 【思路点拨】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值． 【规范解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元， 根据题意得， ②﹣①得x+y+z＝1.05（元）． 故选：B． 【考点评析】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想． 28．（2024•秦淮区二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是2C2H6+7O2＝4CO2+6H2O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是4×2+6×1＝14．若己烷充分燃烧的化学方程式是aC6H14+19O2＝bCO2+cH2O（a，b，c为常数），则b的值是 　12　． 【思路点拨】根据题意可以列出三元一次方程组，然后解答即可求得b的值． 【规范解答】解：由题意知：， ∴7a＝c， 将7a＝c，6a＝b代入19×2＝2b+c得， 38＝12a+7a， 解得：a＝2， ∴b＝6a＝6×2＝12， 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程求解即可． 29．（2023•邳州市一模）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为10%，每束“佳人如兰”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，商人得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，这个商人得到的总利润率为 　22%　． 【思路点拨】设“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本分别为a，b，c，由利润率可得三种花的售价分别为1.1a，1.2b，1.3c，则三种花的利润分别为0.1a，0.2b，0.3c，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，分别设三种花的数量为2x，3x，4x，可由总利润率为25%列出算式25%，化简可得6a+3b﹣4c＝0①，再由售出的三种花束数量之比为3：2：1时，分别设三种花的数量为3y，2y，y，可由总利润率为20%列出算式20%，化简可得3a＝c②，②代入①可得b＝2a，则“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本为a，2a，3a，利润分别为0.1a，0.4a，0.9a，当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，设三种花的数量分别为z，3z，z，列出算式即可求解． 【规范解答】解：设“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本分别为a，b，c， ∵销售每束“心之眷恋”的利润率为10%，每束“佳人如兰”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%， ∴三种花的售价分别为1.1a，1.2b，1.3c， ∴三种花的利润分别为0.1a，0.2b，0.3c， ∵售出的三种花束数量之比为2：3：4时，商人得到的总利润率为25%， 设三种花的数量为2x，3x，4x， ∴25%， ∴0.25， ∴0.2a+0.6b+1.2c＝0.5a+0.75b+c， ∴0.3a+0.15b﹣0.2c＝0， ∴6a+3b﹣4c＝0①， ∵售出的三种花束数量之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%， 设三种花的数量为3y，2y，y， ∴20%， ∴0.3a+0.4b+0.3c＝0.2（3a+2b+c）， ∴3a+4b+3c＝6a+4b+2c， ∴3a＝c②， 将②代入①，可得： 6a+3b﹣4×3a＝0， ∴b＝2a， ∴“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本为a，2a，3a，利润分别为0.1a，0.4a，0.9a， 当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，设三种花的数量分别为z，3z，z，则： 22%， 故答案为：22%． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是先求出三种花的成本与利润的关系，再根据两次利润率得出三种花成本之间的关系． 30．（2023•崇川区校级四模）某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． （1）求A场馆和B场馆的门票价格． （2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 【思路点拨】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，依题意得：α＜40﹣2a求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，最后根据函数系数a的性质确定最值问题． （3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n），根据文中数量关系列出50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100，则n＝20，根据m、n为正整数这一条件判断m、n的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意． 【规范解答】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ， 解得． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元． （2）设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张， 依题意得：α＜40﹣2a，解得：a． 设此次购买门票所需总金额为w元，则 w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600， ∵﹣30＜0， ∴w随a的增大而减小． ∵a，且a为整数， ∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． （3）设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票（40﹣2m﹣n）， 依题意得： 50m+40（40﹣2m﹣n）+15n＝1100， ∴n＝20． 又∵m，n均为正整数， ∴或或． 当m＝5，n＝14时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×5﹣14＝16＞5，符合题意． 当m＝10，n＝8时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×10﹣8＝12＞10，符合题意． 当m＝15，n＝2时，40﹣2m﹣n＝40﹣2×15﹣2＝8＜15，符合题意，舍去； ∴共有2种购买方案， 方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票； 方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 又∵在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多， ∴选择方案2， 即购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，对学生的综合能力要求较高． 高频考点07：一元二次方程的应用 31．（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　6　个球队参赛． 【思路点拨】设应邀请x个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：设应邀请x个球队参赛， 由题意得：， 解得：x＝6或x＝﹣5（不符合题意，舍去）， 即应邀请6个球队参赛， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【思路点拨】（1）由一次函数关系式求出x＝40，则100﹣x＝60，即可解决问题； （2）甲种蔬菜种植面积为x亩，则乙种蔬菜种植面积为（100﹣x）亩，根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：yx+10＝30， 解得：x＝40，符合题意， ∴100﹣x＝100﹣40＝60， ∴50×60＝3000（元）， 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元； （2）由题意可知，甲种蔬菜种植面积为x亩，则乙种蔬菜种植面积为（100﹣x）亩， 由题意得：（x+10）x+50（100﹣x）＝4272， 整理得：x2﹣80x+1456＝0， 解得：x1＝28，x2＝52， 当x＝28时，100﹣x＝72； 当x＝52时，100﹣x＝48，不符合题意，舍去； 答：甲种蔬菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【思路点拨】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得； （2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得． 【规范解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102， ∴，； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm； （2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当时，PB＝16﹣3y， ∴，即， 解得y＝4； ②当y时，BP＝3y﹣16，QC＝2y， 则， 解得（舍去）； ③时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y， 则， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2． 【考点评析】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键． 34．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？ （2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． 【思路点拨】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可； （2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答． 【规范解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人， 依题意得：7.5﹣x≤2x， 解得x≥2.5． 即A社区居民人口至少有2.5万人； （2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76% 设m%＝a，方程可化为： 1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7 化简得：32a2+54a﹣35＝0 解得a＝0.5或a（舍） ∴m＝50 答：m的值为50． 【考点评析】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程． 高频考点08：分式方程的应用 35．（2023•姜堰区二模）“端午食粽”是节日习俗之一．甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等．若设甲每小时包x个粽子，则可列方程为 　　． 【思路点拨】设甲每小时包x个粽子，乙每小时包（35﹣x）个粽子，进而利用等式列出方程解答即可． 【规范解答】解：设甲每小时包x个粽子，乙每小时包（35﹣x）个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 【考点评析】此题考查分式方程的应用，关键是根据题意得出方程解答． 36．（2024•睢宁县校级模拟）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【思路点拨】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．列出分式方程，解方程即可； （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得m＝18，再求出总费用即可． 【规范解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米， 根据题意得：2， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝60． 答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米． （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成， 由题意得：60m+40m＝1800， 解得：m＝18， 则18×7+18×5＝216（万元）， 答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 37．（2024•宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【思路点拨】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据题意列出方程求解即可； （2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定t的值，进而可以解决问题． 【规范解答】解：（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元， 根据题意得：， 解得m＝20， 经检验m＝20是原方程的根， ∴m+10＝30， 答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元； （2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件， 根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000， ∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000； ∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍， ∴t≥2（400﹣t）， 解得t≥266， ∵t为整数， ∴t最小值取267； 在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大， ∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元）， ∵10670＜11000，符合题意， 此时400﹣t＝400﹣267＝133， ∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系． 38．（2024•鼓楼区校级模拟）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 【思路点拨】设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是（1+20%）x元钱，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可． 【规范解答】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是（1+20%）x元钱， 由题意得：10， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元钱． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 39．（2024•扬州三模）为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？ 【思路点拨】设第一批足球每个的进价是x元，则第二批足球每个的进价是（1+25%）x元，根据“两批都用10000元购进足球，第二批购进足球的数量比第一批少40个”，列出分式方程，解分式方程即可． 【规范解答】解：设第一批足球每个的进价是x元，则第二批足球每个的进价是（1+25%）x元， 由题意得：40， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 答：第一批足球每个的进价是50元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 高频考点09：一元一次不等式的应用 40．（2024•无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【思路点拨】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据题意得出10≤a≤25，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【规范解答】解：（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件， 根据题意可得：10≤a≤25， 设购买这40件劳动用品需要W元， W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200， ∵﹣10＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25时，W取最小值，W＝﹣10×25+1200＝950， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． 41．（2024•新北区一模）某商场在世博会上购置甲、乙两种礼盒，其中甲礼盒的单价比乙礼盒的单价贵25元，且购置2个甲礼盒与1个乙礼盒共花费200元． （1）求甲、乙两种礼盒的单价； （2）若该商场要求购置甲礼盒的数量是乙礼盒数量的2倍，且购置礼盒的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个乙礼盒？ 【思路点拨】（1）根据甲礼盒的单价比乙礼盒的单价贵25元，且购置2个甲礼盒与1个乙礼盒共花费200元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）设甲礼盒的单价为a元，乙礼盒的单价为b元， 由题意可得：， 解得， 答：甲礼盒的单价为75元，乙礼盒的单价为50元； （2）设购置乙礼盒x盒，则购置甲礼盒2x盒， 由题意可得：75×2x+50x≤20000， 解得x≤100， 答：该商场最多可以购置100个乙礼盒． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 42．（2023•锡山区校级模拟）2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运球（可任选一项）；双手正面掷实心球、立定跳远（可任选一项）．我校为了备考练习，准备重新购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足球和12根跳绳，共需1240元． （1）求足球和跳绳的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【思路点拨】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可； （2）设购买足球m个，则跳绳有（60﹣m）个，设总利润为W，知W＝100m+20（60﹣m）＝80m+1200，结合60﹣mm得m≥15，依据W随m的增大而增大求解即可． 【规范解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元， 由题意得：， 解得：， 答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元； （2）设购买足球m个，则跳绳有（60﹣m）个，设总利润为W， 则W＝100m+20（60﹣m） ＝80m+1200， ∵60﹣mm， 解得m≥45， ∵W随m的增大而增大， ∴当m＝45时，W取得最小值， 即购买足球45个，跳绳15个时，最省钱． 【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数、一元一次不等式的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 43．（2024•邳州市校级一模）今年我市新冠疫情在各地医疗队的帮助下，得到有效控制，我市准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，陆续将支援队护送离城，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车护送900人，与单独租用B型客车护送700人所用车辆数一样多．（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） （1）问每辆A、B型客车分别可载多少人？ （2）某天，有630位支援人员需护送，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 【思路点拨】（1）设每辆A型客车可载x人，则每辆B型客车可载（x﹣10）人，由题意：单独租用A型客车护送900人，与单独租用B型客车护送700人所用车辆数一样多，列出分式方程，解方程即可； 由（2）设租A型客车a辆，则租b型客车（16﹣a）辆，由题意：有630位支援人员需护送，总租金不超过17800元，列出一元一次不等式组，解得7≤a≤9，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）设每辆A型客车可载x人，则每辆B型客车可载（x﹣10）人， 由题意得：， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意， 则x﹣10＝35， 答：每辆A型客车可载45人，则每辆B型客车可载35人； （2）设租A型客车a辆，则租b型客车（16﹣a）辆， 由题意得：， 解得：7≤a≤9， ∵a为正整数， ∴a取值为7，8，9， ∴有3种租车方案， ①租A型客车7辆，B型客车9辆，费用为：1200×7+1000×9＝17400（元）； ②租A型客车8辆，B型客车8辆，费用为：1200×8+1000×8＝17600（元）； ③租A型客车9辆，B型客车7辆，费用为：1200×9+1000×7＝17800（元）； ∵17400＜17600＜17800， ∴租A型客车7辆，B型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 44．（2022•锡山区校级三模）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示： 销售时间 销售数量 销售额 A品种 B品种 第一天 400斤 500斤 4000元 第二天 300斤 800斤 4700元 （1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？ （2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？ 【思路点拨】（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元，根据第一天和第二天的销售额列出方程组即可求得A，B的售价，根据两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，求出成本价； （2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元，求出第三天的总销售额和总成本，即可得到总利润，根据第三天的总利润不低于7.5%列出不等式，即可求得z． 【规范解答】解：（1）设枇杷A的销售价为每斤x元，枇杷B售价为每斤y元， 则， 解得， 因为两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，则成本价的1.25倍是售价， A成本价：5÷1.25＝4（元/斤）， B成本价：4÷1.25＝3.2（元/斤）， 答：A、B两个品种的枇杷的成本价分别是4元/斤和3.2元/斤； （2）设枇杷A剩余a斤，则枇杷B剩余a斤，枇杷B每斤降价z元， 第三天总销售额：5a（1）（4﹣z）•a＝6.7aaz， 第三天总成本：4a+3.2a＝6a， 由题意知总利润不低于7.5%， ∴6.7aaz﹣6a≥6a•7.5%， ∴z≤0.4， ∴B种枇杷最多每斤降0.4元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，体现了应用意识，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． 45．（2020•射阳县校级模拟）冬季即将来临，是流感的高发期，某中学积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍． （1）求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1210元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？ 【思路点拨】（1）设未知数：设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为1.5x元，根据购买甲种消毒液的数量+购买乙种消毒液的数量＝100列分式方程，解出即可；要注意分式方程要检验； （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，根据甲种消毒液的总价+乙种消毒液的总价≤1210，列不等式，求出解集，并取最小值． 【规范解答】解：（1）设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为1.5x元， 根据题意得：， 解得：x＝6， 经检验：x＝6是原分式方程的解， 1.5x＝1.5×6＝9， 答：甲、乙两种消毒液的单价分别为6元、9元； （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液（140﹣a）瓶， 根据题意得：6a+9（140﹣a）≤1210， 解得：， ∵a为整数， ∴a的至少为17， 答：甲种消毒液至少要购买17瓶． 【考点评析】本题是一元一次不等式和分式方程的综合应用，属于销售问题，明确三个量：购买的数量，单价，总价，知道单价×数量＝总价，找出各自的等量关系是本题的关键：要注意分式方程要检验；对于一元一次不等式，要弄清不大于、不小于、不超过等语言所代表的不等号，正确根据题意列出不等式，并能根据实际意义取值． 高频考点10：一元一次不等式组的应用 46．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考查时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【思路点拨】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案． 【规范解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台， 依题意，得：， 解得：71m≤75， 又∵m为正整数， ∴m可以取72、73、74、75， ∴波波共有4种进货方案， 方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台； 方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台； 方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台； 方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台． ∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价， ∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低， 最低费用为75×10+25×16＝1150元． 答：波波共有4种进货方案，方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组二以及元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 47．（2024•高新区校级三模）某公司安装物流箱，现有A型和B型两种物流箱可供选择，若安装2个A型物流和3个B型物流箱共11.8万元，且B型物流箱单价比A型物流箱单价高0.6万元． （1）求A型物流箱和B型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中B型物流箱不少于18个，为了更多地推广B型物流箱，公司决定将每个B型物流箱降价m元（m＞0），A型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为（a+0.6），根据题意列方程并求解即可； （2）根据“安装总费用＝安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”作答即可． 根据“安装总费用＝安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”写出w关于x的函数解析式，分情况讨论x的系数，根据一次函数的增减性和x的取值范围，求出对应w的最小值，令w的最小值大于或等于67.2，求出对应m的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为（a+0.6）． 根据题意，得2a+3（a+0.6）＝11.8， 解得a＝2， 2+0.6＝2.6（万元）， ∴A型物流箱的单价为2万元，B型物流箱的单价为2.6万元． （2）根据题意，安装A型物流箱（30﹣x）个， w＝2（30﹣x）+2.6x＝0.6x+60（18≤x≤30）， ∴w关于x的函数解析式为w＝0.6x+60（18≤x≤30）． 得w＝2（30﹣x）+（2.6﹣m）x＝（0.6﹣m）x+60（18≤x≤30）． 当0＜m＜0.6时，0＜0.6﹣m＜0.6，w随x的减小而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝18时，w取最小值，w最小＝18（0.6﹣m）+60， 由题意，得18（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.2， ∴0＜m≤0.2； 当m＝0.6时，w＝60， ∵60＜67.2， ∴不符合题意，应舍去； 当0.6＜m＜2.6时，﹣2＜0.6﹣m＜0，w随x的增大而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝30时，w取最小值，w最小＝30（0.6﹣m）+60， 由题意，得30（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.36， ∴此时m不存在． 综上，m的取值范围是0＜m≤0.2． 【考点评析】本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是本题的关键． 48．（2024•无锡一模）这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图象如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个． （1）当40≤x≤100时，求y与x的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 【思路点拨】（1）用待定系数法可得答案； （2）分两种情况求出总制作费的最小值，再比较可得答案． 【规范解答】解：（1）设y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y与x的函数表达式为yx+40（40≤x≤100）； （2）设甲产品生产x个，文创公司的总制作费为w元，则乙产品生产（360﹣x）个， ∵甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍， ∴， 解得30≤x≤90， ①当30≤x≤40时，w＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400， 当x＝30时，w最大值为15×30+5400＝5850； ②当40＜x≤90时，w＝x（x+40）+15（360﹣x）x2+25x+5400（x﹣50）2+6025， ∴对称轴为直线x＝50， ∴x＝90时，w最小值为5625， ∵5625＜5850， ∴甲产品生产90个，乙产品生产270个，该文创公司的总制作费最低． 【考点评析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题关键是读懂题意，列出函数关系式． 49．（2023•沭阳县模拟）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只N95口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只N95口罩的费用也是22元． （1）求该超市普通医用口罩和N95口罩的单价； （2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且N95口罩不少于总数的40%，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案． 【思路点拨】（1）设普通医用口罩的单价为x元，N95口罩单价为y元，根据题意列方程组解答即可； （2）设购买普通医用口罩z个，则购买N95口罩（50﹣z）个，根据N95口罩不少于总数的40%；预算不超过190元；列出不等式组解答即可． 【规范解答】解：（1）设普通医用口罩的单价为x元，N95口罩单价为y元，依题意有 ， 解得． 故普通医用口罩的单价为2元，N95口罩单价为6元； （2）设购买普通医用口罩z个，则购买N95口罩（50﹣z）个，依题意有 ， 解得27.5≤z≤30． 购买方案：①购买普通医用口罩28个，购买N95口罩22个；②购买普通医用口罩29个，购买N95口罩21个；③购买普通医用口罩30个，购买N95口罩20个． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出等量关系和不等式关系式即可求解． 50．（2022•涟水县校级模拟）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）． （1）当a＝30时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围． 【思路点拨】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a＝30代入所列式子中求出b的值； （2）由（1）可得a，b之间的关系式，用含有b的式子表示a，再结合18≤a≤26，列出关于b的不等式组，解不等式组即可求出b的取值范围． 【规范解答】解：（1）由题意，得a+2b＝50， 当a＝30时，30+2b＝50． 解得b＝10． （2）∵a+2b＝50， ∴a＝50﹣2b，18≤a≤26， ∴， 解这个不等式组，得12≤b≤16． 答：矩形花园宽的取值范围为12≤b≤16． 【考点评析】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式的应用 （10个高频考点50题） 高频考点01：由实际问题抽象出一元一次方程 1 高频考点02：一元一次方程的应用 2 高频考点03：二元一次方程的应用 4 高频考点04：由实际问题抽象出二元一次方程组 5 高频考点05：二元一次方程组的应用 6 高频考点06：三元一次方程组的应用 8 高频考点07：一元二次方程的应用 9 高频考点08：分式方程的应用 11 高频考点09：一元一次不等式的应用 13 高频考点10：一元一次不等式组的应用 16 高频考点01：由实际问题抽象出一元一次方程 1．（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 2．（2024•海安市模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2（x+9） C． D．3（x﹣2）＝2x+9 3．（2024•建邺区校级模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 4．（2023•海安市模拟）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为　 　． 5．（2023•启东市三模）我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人，可列出方程为：　 　． 高频考点02：一元一次方程的应用 6．（2023•高新区一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则此三阶幻方中s的值为（　　） A．34 B．36 C．42 D．43 7．（2024•扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　 　分钟． 8．（2011•扬州校级一模）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有　 　人． 9．（2024•苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从A站到B站行驶了 　 　分钟，从B站到C站行驶了 　 　分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2． ① 　 　． ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值． 10．（2024•雨花台区模拟）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．已知A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值． 11．（2023•南京）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度． 高频考点03：二元一次方程的应用 12．（2022•高邮市模拟）小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2023•宿豫区三模）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”，例如：m＝2136，因为2+6＝2×（1+3），所以2136是“共生数”：m＝5479，因为5+9≠2×（4+7），所以5479不是“共生数”．若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为 　 　． 14．（2021•玄武区校级自主招生）足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 　 　种不同的可能性． 15．（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 高频考点04：由实际问题抽象出二元一次方程组 16．（2022•如皋市一模）《九章算术》中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 17．（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 18．（2024•宿城区一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为　 　． 19．（2023•仪征市二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 　 　． 20．（2023•海州区二模）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知买九个甜果花十一文钱，买七个苦果花四文钱，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设：甜果、苦果各买了x，y个，可得方程组：　 　． 高频考点05：二元一次方程组的应用 21．（2024•姜堰区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长 　 　尺． 22．（2024•梁溪区校级模拟）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 　 　． 23．（2024•盐城一模）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2） 请你帮该物流公司设计租车方案． 24． （2024•沛县校级三模）中国古代数学专著《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文是：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少文钱？ 25．（2024•邗江区校级三模）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （3） 请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 26．（2022•连云港模拟）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元． （1）若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为 　 　元（直接写出结果）． （2）若一次性购买A场比赛门票a（50＜a＜60）张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示） （3）该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？ 高频考点06：三元一次方程组的应用 27．（2021•武进区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元 28．（2024•秦淮区二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是2C2H6+7O2＝4CO2+6H2O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是4×2+6×1＝14．若己烷充分燃烧的化学方程式是aC6H14+19O2＝bCO2+cH2O（a，b，c为常数），则b的值是 　 　． 29．（2023•邳州市一模）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为10%，每束“佳人如兰”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，商人得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种花束数量之比为1：3：1时，这个商人得到的总利润率为 　 　． 30．（2023•崇川区校级四模）某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． （1）求A场馆和B场馆的门票价格． （2）若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 高频考点07：一元二次方程的应用 31． （2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　 　个球队参赛． 32．（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1） 若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2） 如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 33．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 34．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？ （2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值． 高频考点08：分式方程的应用 35．（2023•姜堰区二模）“端午食粽”是节日习俗之一．甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等．若设甲每小时包x个粽子，则可列方程为 　 　． 36．（2024•睢宁县校级模拟）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 37．（2024•宿迁）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 38． （2024•鼓楼区校级模拟）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 39． （2024•扬州三模）为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用10000元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用10000元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来涨了25%，结果所购进足球的数量比第一批少40个．求第一批足球每个的进价是多少元？ 高频考点09：一元一次不等式的应用 40．（2024•无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 41．（2024•新北区一模）某商场在世博会上购置甲、乙两种礼盒，其中甲礼盒的单价比乙礼盒的单价贵25元，且购置2个甲礼盒与1个乙礼盒共花费200元． （1）求甲、乙两种礼盒的单价； （2）若该商场要求购置甲礼盒的数量是乙礼盒数量的2倍，且购置礼盒的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个乙礼盒？ 42．（2023•锡山区校级模拟）2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运球（可任选一项）；双手正面掷实心球、立定跳远（可任选一项）．我校为了备考练习，准备重新购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足球和12根跳绳，共需1240元． （1）求足球和跳绳的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 43．（2024•邳州市校级一模）今年我市新冠疫情在各地医疗队的帮助下，得到有效控制，我市准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，陆续将支援队护送离城，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车护送900人，与单独租用B型客车护送700人所用车辆数一样多．（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） （1）问每辆A、B型客车分别可载多少人？ （2）某天，有630位支援人员需护送，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 44．（2022•锡山区校级三模）五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批A、B两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按25%的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示： 销售时间 销售数量 销售额 A品种 B品种 第一天 400斤 500斤 4000元 第二天 300斤 800斤 4700元 （1）求该超市购进A、B两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？ （2）两天后剩下的B品种枇杷是剩下的A品种枇杷数量的，但A品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗．该超市决定降价促销：A品种枇杷按原定价打9折销售，B品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售．假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于7.5%，则B品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？ 45．（2020•射阳县校级模拟）冬季即将来临，是流感的高发期，某中学积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍． （1）求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1210元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？ 高频考点10：一元一次不等式组的应用 46．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考查时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进A、B两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，波波准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 47．（2024•高新区校级三模）某公司安装物流箱，现有A型和B型两种物流箱可供选择，若安装2个A型物流和3个B型物流箱共11.8万元，且B型物流箱单价比A型物流箱单价高0.6万元． （1）求A型物流箱和B型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中B型物流箱不少于18个，为了更多地推广B型物流箱，公司决定将每个B型物流箱降价m元（m＞0），A型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求m的取值范围． 48．（2024•无锡一模）这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图象如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个． （1）当40≤x≤100时，求y与x的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 49．（2023•沭阳县模拟）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只N95口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只N95口罩的费用也是22元． （1）求该超市普通医用口罩和N95口罩的单价； （2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且N95口罩不少于总数的40%，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案． 50．（2022•涟水县校级模拟）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）． （1）当a＝30时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$