专题02 方程与不等式的运算（16个高频考点50题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题02 方程与不等式的运算 （16个高频考点50题） 高频考点01：解一元一次方程 1 高频考点02：含绝对值符号的一元一次方程 2 高频考点03：解二元一次方程 2 高频考点04：二元一次方程组的解 2 高频考点05：解二元一次方程组 2 高频考点06：解三元一次方程组 3 高频考点07：一元二次方程的解 4 高频考点08：解一元二次方程-直接开平方法 4 高频考点09：解一元二次方程-配方法 4 高频考点10：解一元二次方程-公式法 5 高频考点11：解一元二次方程-因式分解法 6 高频考点12：根的判别式 7 高频考点13：根与系数的关系 7 高频考点14：解分式方程 7 高频考点15：解一元一次不等式组 8 高频考点16：一元一次不等式组的整数解 8 高频考点01：解一元一次方程 1．（2023•武进区一模）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 2．（2024•海门区校级模拟）解一元一次方程（x+1）＝1x时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x 3．（2023•扬州三模）规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求*1的解是 　　． 高频考点02：含绝对值符号的一元一次方程 4．（2021•江阴市校级模拟）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝　　． 5．（2022•相城区校级自主招生）关于x的方程|x+a|x﹣2（a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是 ． 6．（2017•虎丘区校级自主招生）已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，求a的取值范围． 高频考点03：解二元一次方程 7．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 8．（2019•海陵区校级三模）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解的组数是（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 9．（2019•鼓楼区校级模拟）若实数x，y满足条件2x+y＝3，试写出一个x和一个y使它们满足这个条件，此时x＝　　；y＝　　． 高频考点04：二元一次方程组的解 10．（2024•盐城模拟）已知有理数x，y满足方程组，则2x+y的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 11．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　 ． 12．（2024•无锡二模）若x，y满足方程组，则x+y＝　　． 高频考点05：解二元一次方程组 13．（2024•姑苏区一模）方程组的解为 　　 ． 14．（2020•泰州模拟）已知方程组，则x+y＝　　． 15．（2023•苏州模拟）方程组的解是 　 16．（2024•姜堰区一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 高频考点06：解三元一次方程组 17．（2018•秦淮区二模）已知x与代数式ax2+bx+c的部分对应值如表： x … 2 3 4 5 6 … ax2+bx+c … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 则的值是　． 18．（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 高频考点07：一元二次方程的解 19．（2024•海门区校级模拟）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．0 D．0或4 20．（2024•工业园区模拟）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 高频考点08：解一元二次方程-直接开平方法 21．（2022•泗阳县一模）方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝0 C．x1＝x2＝2 D．x1＝x2＝﹣2 22．（2024•宿豫区二模）方程2x2﹣4＝0的解是 　 ． 23．（2022•锡山区校级二模）解方程（组）： （1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）． 24． （2022•惠山区校级二模）（1）解方程：y2﹣2y+1＝0； （2） 解不等式组：． 高频考点09：解一元二次方程-配方法 25．（2024•南通模拟）用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9 26．（2024•玄武区校级三模）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　　． 27． （2024•无锡一模）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0； （3） 解不等式：． 高频考点10：解一元二次方程-公式法 28．（2024•常熟市模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　 29．（2024•宝应县校级模拟）（1）解方程：x2﹣3x+1＝0； （2） 解不等式组：． 30． （2024•梁溪区校级二模）（1）解方程：3x＝2x2﹣1； （3） 解不等式组：． 高频考点11：解一元二次方程-因式分解法 31． （2024•高邮市校级模拟）（1）计算； （2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 32． （2024•滨湖区二模）（1）解方程：2x2﹣x﹣3＝0； （2） 解不等式组：． 33． （2024•沛县校级二模）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0； （3） 解不等式组：． 高频考点12：根的判别式 34．（2023•沛县校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 35．（2024•惠山区三模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不过第三象限，则方程bx2﹣2x+k＝0的根的个数为 　 ． 36．（2024•东海县一模）若，求b的最大值 　． =高频考点13：根与系数的关系 37．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2024•盐城三模）设方程x2+x﹣3＝0的两个根为α，β，那么α+β的值等于（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．2 39．（2024•崇川区三模）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　　． 40．（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　． 高频考点14：解分式方程 41．（2024•宿豫区三模）解分式方程：． 42． （2024•南通）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）； （2） 解方程1． 43．（2024•新北区一模）解下列方程和不等式组： （1）； （2）． 高频考点15：解一元一次不等式组 44．（2024•海陵区校级三模）已知关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则a的是 　　． 45．（2024•六合区校级三模）不等式组的解集是 　　． 46．（2024•鼓楼区模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 高频考点16：一元一次不等式组的整数解 47．（2024•江都区二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a取值范围为（　　） A．a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1≤a＜0 48．（2024•沭阳县校级三模）解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 49． （2024•赣榆区校级二模）（1）计算：． （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 50．（2024•秦淮区校级模拟）求不等式组的解集，并写出它的自然数解． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式的运算 （16个高频考点50题） 高频考点01：解一元一次方程 1 高频考点02：含绝对值符号的一元一次方程 2 高频考点03：解二元一次方程 4 高频考点04：二元一次方程组的解 5 高频考点05：解二元一次方程组 6 高频考点06：解三元一次方程组 8 高频考点07：一元二次方程的解 9 高频考点08：解一元二次方程-直接开平方法 10 高频考点09：解一元二次方程-配方法 12 高频考点10：解一元二次方程-公式法 13 高频考点11：解一元二次方程-因式分解法 15 高频考点12：根的判别式 16 高频考点13：根与系数的关系 18 高频考点14：解分式方程 20 高频考点15：解一元一次不等式组 22 高频考点16：一元一次不等式组的整数解 23 高频考点01：解一元一次方程 1．（2023•武进区一模）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据新运算公式，得：2x+4x＝18，即x＝3． 【规范解答】解：∵， ∴2x+4x＝18， 即：x＝3， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了有理数的定义新运算． 2．（2024•海门区校级模拟）解一元一次方程（x+1）＝1x时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x 【思路点拨】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． 【规范解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x， 故选：D． 【考点评析】此题考查解一元一次方程，关键是根据解一元一次方程的步骤解答． 3．（2023•扬州三模）规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求*1的解是 　x　． 【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【规范解答】解：根据题中的新定义化简得：21， 去分母得：12﹣2（2x﹣1）﹣3（1+x）＝6， 去括号得：12﹣4x+2﹣3﹣3x＝6， 移项合并得：﹣7x＝﹣5， 解得：x． 故答案为：x． 【考点评析】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 高频考点02：含绝对值符号的一元一次方程 4．（2021•江阴市校级模拟）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝　　． 【思路点拨】先将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，画图分析即可求解． 【规范解答】解：将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k， ∴方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点， ∵化简绝对值可得函数y，且函数y＝kx﹣k的图象过定点（1，0）， ∴函数图象如下： 由图可知，只有当y＝kx﹣k过点（﹣1，1）时，才有三个交点， ∴﹣k﹣k＝1， ∴k． 故答案为：． 【考点评析】本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决． 5．（2022•相城区校级自主招生）关于x的方程|x+a|x﹣2（a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是 　a＜﹣4　． 【思路点拨】根据绝对值的定义，进行分类讨论，再分别解一元一次方程． 【规范解答】解：当x+a≥0，即x≥﹣a，则x+a． ∴x＝﹣4﹣2a． 此时﹣4﹣2a≥﹣a，则a≤﹣4． 当x+a＜0，即x＜﹣a，则﹣x﹣a． ∴x． 此时，则a＜﹣4． 综上：a＜﹣4． 故答案为：a＜﹣4． 【考点评析】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法、分类讨论的思想是解决本题的关键． 6．（2017•虎丘区校级自主招生）已知关于x的方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根，求a的取值范围． 【思路点拨】利用图象法解决问题即可； 【规范解答】解：如图直线y＝|x|，y＝ax﹣a的图象如图所示： 观察图象可知：当直线y＝ax﹣a与直线y＝﹣x平行时，a＝﹣1， 当直线y＝ax﹣a与直线y＝x平行时，a＝1， 直线y＝ax﹣a与直线y＝|x|的交点在第一象限时，方程|x|＝ax﹣a有正根且没有负根， ∴a≤﹣1或a＞1满足条件． 【考点评析】本题考查绝对值方程，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 高频考点03：解二元一次方程 7．（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】二元一次方程2x+y＝10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【规范解答】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解； B、把x＝2，y＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解； C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解； D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解． 故选：D． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解． 8．（2019•海陵区校级三模）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解的组数是（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 【思路点拨】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数． 【规范解答】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9） 其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组， ∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36 故选：C． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 9．（2019•鼓楼区校级模拟）若实数x，y满足条件2x+y＝3，试写出一个x和一个y使它们满足这个条件，此时x＝　1　；y＝　1　． 【思路点拨】只要写出一对数使方程左右两边相等即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． 【规范解答】解：2x+y＝3， 当x＝1时，y＝1， 故答案为：1，1． 【考点评析】本题考查了二元一次方程和二元一次方程的解，能熟记二元一次方程解的定义是解此题的关键． 高频考点04：二元一次方程组的解 10．（2024•盐城模拟）已知有理数x，y满足方程组，则2x+y的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【思路点拨】根据题意直接将两个方程相加即可求解． 【规范解答】解：， 由①+②得：3x﹣y+2y﹣x＝3+（﹣4）， 化简得：2x+y＝﹣1， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意应用整体思想是解题的关键． 11．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　　． 【思路点拨】将方程组整理得，然后结合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可． 【规范解答】解：将方程组整理得， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴x﹣2＝3，2y＝﹣2， 解得：x＝5，y＝﹣1， 即关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键． 12．（2024•无锡二模）若x，y满足方程组，则x+y＝　1　． 【思路点拨】将方程组中的两个方程相加得到5x+5y＝5，进而得到x+y＝1即可． 【规范解答】解：， ①+②得，5x+5y＝5， 即x+y＝1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 高频考点05：解二元一次方程组 13．（2024•姑苏区一模）方程组的解为 　　． 【思路点拨】先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可． 【规范解答】解：， ①﹣②得，3y＝3， 解得y＝1，把y＝1代入①得，x+1＝3， 解得x＝2， 故此方程组的解为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 14．（2020•泰州模拟）已知方程组，则x+y＝　2　． 【思路点拨】两方程相加，变形即可求出x+y的值． 【规范解答】解：两方程相加得：4（x+y）＝8， 则x+y＝2． 故答案为：2． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法． 15．（2023•苏州模拟）方程组的解是 　　． 【思路点拨】方程组利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】解：， ①+②×2得：5x＝10， 解得：x＝2， 将x＝2代入①得2﹣2y＝2， 解得：y＝0， 则方程组的解为， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 16．（2024•姜堰区一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值计算即可； （2）采用适当的方法解二元一次方程组即可． 【规范解答】解：（1）原式＝﹣1+3×36 ＝﹣1+93 ＝61． （2）两方程相加，得x+y＝3； 两方程相减，得x﹣y＝1； 上述两方程组成方程组． ①+②，得2x＝4， 解得x＝2； ①﹣②，得2y＝2， 解得y＝1， ∴原方程组的解为． 【考点评析】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值等，掌握负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 高频考点06：解三元一次方程组 17．（2018•秦淮区二模）已知x与代数式ax2+bx+c的部分对应值如表： x … 2 3 4 5 6 … ax2+bx+c … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 则的值是　11　． 【思路点拨】从表格中取出3组解代入ax2+bx+c，解三元一次方程组求出a、b、c的值，即可求得． 【规范解答】解：把点（2，5），（3，0），（4，﹣3）代入，得，解得， 则11， 故答案为11． 【考点评析】主要考查了解三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 18．（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 【思路点拨】（1）将②变形后代入方程解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【规范解答】解：（1） 将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④ 将①代入④得 3×7+4y＝11 y 把y代入①得， ∴方程组的解为 （2） 由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③ 由②得2（x+4y）+z＝36 ④ ③×2﹣④×3得z＝2 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想． 高频考点07：一元二次方程的解 19．（2024•海门区校级模拟）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．0 D．0或4 【思路点拨】把x＝2代入已知方程得到有关m的一元一次方程后求解即可． 【规范解答】解：因为x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解， 所以22+2m+4＝0， 解得m＝﹣4． 故选：A． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 20．（2024•工业园区模拟）如果x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0的一个根，则b的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【思路点拨】把x＝2代入方程的出新方程4+2b+2＝0，解方程即可． 【规范解答】解：把x＝2是一元二次方程x2+bx+2＝0得： 4+2b+2＝0， 解得：b＝﹣3， 故选：D． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程， 高频考点08：解一元二次方程-直接开平方法 21．（2022•泗阳县一模）方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝0 C．x1＝x2＝2 D．x1＝x2＝﹣2 【思路点拨】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【规范解答】解：（1）x2﹣4＝0， 变形得：x2＝4， 开方得：x1＝﹣2，x2＝2， 故选：A． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 22．（2024•宿豫区二模）方程2x2﹣4＝0的解是 　x1，x2　． 【思路点拨】利用直接开平方法求解即可． 【规范解答】解：∵2x2﹣4＝0， ∴2x2＝4， 则x2＝2， ∴x1，x2， 故答案为：x1，x2． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 23．（2022•锡山区校级二模）解方程（组）： （1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）． 【思路点拨】（1）先移项，再开平方求解； （2）方程组利用代入消元法求出解即可． 【规范解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0， （x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， 解得：x1＝1，x2＝5； （2）， 把①代入②得：x+x﹣4＝6， 解得：x＝5， 把x＝5代入①得：y＝5﹣4＝1． 故方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程及方程组的解法是解本题的关键． 24．（2022•惠山区校级二模）（1）解方程：y2﹣2y+1＝0； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先将一元二次方程配方成（y﹣1）2＝0，直接开平方即可求出方程的解； （2）分别解不等式①和②，即可确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）∵y2﹣2y+1＝0， ∴（y﹣1）2＝0， ∴y1＝y2＝1； （2）解不等式组， 解不等式①，得x≤﹣1， 解不等式②，得x＜3， ∴不等式组的解集为：x≤﹣1． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握直接开平方的方法和解不等式组的方法是解题的关键． 高频考点09：解一元二次方程-配方法 25．（2024•南通模拟）用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9 【思路点拨】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项． 【规范解答】解：x2+8x+7＝0， x2+8x＝﹣7， x2+8x+16＝﹣7+16， （x+4）2＝9， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 26．（2024•玄武区校级三模）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　． 【思路点拨】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值． 【规范解答】解：∵x2﹣4x+3＝0， ∴x2﹣4x＝﹣3， ∴x2﹣4x+4＝﹣3+4， ∴（x﹣2）2＝1， ∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k， ∴k＝1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 27．（2024•无锡一模）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0； （2）解不等式：． 【思路点拨】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程； （2）分别解两个不等式得到x≥0和x＜5，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝5， （x﹣2）2＝5， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）， 解不等式①得x≥0， 解不等式②得x＜5， 所以不等式组的解集为0≤x＜5． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组． 高频考点10：解一元二次方程-公式法 28．（2024•常熟市模拟）我们规定：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a•b＝x1x2+y1y2．例如a＝（1，3），b＝（2，4），则a•b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若a•b＝7，且﹣2≤x≤3，则x的值为 　﹣3　． 【思路点拨】利用题中的新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可求出x的值． 【规范解答】解：根据题意知：a•b＝（x﹣1）（x+3）+4（x+1）＝x2+6x+1＝7， x2+6x﹣6＝0， Δ＝36+24＝60＞0， ∴x3±， ∵﹣2≤x≤3， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程，理清新定义是解答本题的关键． 29．（2024•宝应县校级模拟）（1）解方程：x2﹣3x+1＝0； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）利用公式法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5， ∴， ∴，； （2） 解不等式①，得x≥3， 解不等式②，得x＞5， ∴不等式组的解集为x＞5． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组等知识，解题的关键是：（1）利用公式法求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 30．（2024•梁溪区校级二模）（1）解方程：3x＝2x2﹣1； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）将原方程整理后利用公式法解方程即可； （2）解各不等式后即可求得不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）原方程整理得：2x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， 则x， 即x1，x1； （2）解第一个不等式得：x， 解第二个不等式得：x＞﹣1， 故原不等式组的解集为﹣1＜x． 【考点评析】本题考查解一元二次方程及一元一次不等式组，熟练掌握解方程及不等式组的方法是解题的关键． 高频考点11：解一元二次方程-因式分解法 31．（2024•高邮市校级模拟）（1）计算； （2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【思路点拨】（1）先将特殊角的三角函数值代入，计算绝对值、零指数幂，再进行实数的混合运算即可作答； （2）采用因式分解法即可求解． 【规范解答】解：（1） ＝2+3﹣1 ＝4； （2）x2﹣2x﹣3＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， 有x+1＝0或x﹣3＝0， 则x1＝﹣1，x2＝3， 故原方程的解为：x1＝﹣1，x2＝3． 【考点评析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，利用因式分解法解一元二次方程等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键． 32．（2024•滨湖区二模）（1）解方程：2x2﹣x﹣3＝0； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）2x2﹣x﹣3＝0， （2x﹣3）（x+1）＝0， ∴2x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1，x2＝﹣1； （2）解不等式3（x+1）＞x﹣1，得：x＞﹣2， 解不等式2x，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 33．（2024•沛县校级二模）（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）因式分解法解方程即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解． 【规范解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）， 由①，得：x＞﹣1； 由②，得：x＜2； ∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2． 【考点评析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程，掌握不等式组的解法． 高频考点12：根的判别式 34．（2023•沛县校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【规范解答】解：∵方程x2﹣4x+k＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0， 解得：k≤4． 故选：A． 【考点评析】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 35．（2024•惠山区三模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不过第三象限，则方程bx2﹣2x+k＝0的根的个数为 　1或2　． 【思路点拨】由一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不过第三象限，得k＜0，b≥0，分类讨论，当b＝0时，方程为一元一次方程，有1个根；当b＞0时，方程为一元二次方程，根据Δ判断即可． 【规范解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不过第三象限， ∴k＜0，b≥0， 当b＝0时，﹣2x+k＝0，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当b＞0时，Δ＝（﹣2）2﹣4bk，由于k＜0，b＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 36．（2024•东海县一模）若，求b的最大值 　　． 【思路点拨】将变形，利用判别式列出不等式，化简后分情况讨论即可得到b的最大值． 【规范解答】解：∵a2+a+1≠0，将变形， ∴ba2+ba+b＝a2﹣a﹣1， 整理得：（b﹣1）a2+（b+1）a+b+1＝0， Δ＝（b+1）2﹣4（b﹣1）（b+1）≥0， ∴（b+1）（5﹣3b）≥0， ∴①或②， 解①得﹣1≤b，解②得不等式组无解． ∴b的最大值． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用判别式可以确定所求b的范围，从而确定最大值． 高频考点13：根与系数的关系 37．（2024•海门区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 38．（2024•盐城三模）设方程x2+x﹣3＝0的两个根为α，β，那么α+β的值等于（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．2 【思路点拨】直接利用根与系数的关系可得答案． 【规范解答】解：∵方程x2+x﹣3＝0的两个根为a，β， ∴a+β1， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于． 39．（2024•崇川区三模）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　11　． 【思路点拨】由α、β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，可得α+β＝﹣3、α2+3α＝17，把α2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），接下来将α+β＝﹣3，α2+3α＝17代入即可求出答案． 【规范解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根， ∴α2+3α﹣17＝0，α+β＝﹣3， ∴α2+3α＝17， ∴α2+5α+2β＝（α2+3α）+2（α+β）＝17﹣6＝11． 故答案为：11． 【考点评析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 40．（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　　． 【思路点拨】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【规范解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 高频考点14：解分式方程 41．（2024•宿豫区三模）解分式方程：． 【思路点拨】先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入分式方程的分母进行检验即可． 【规范解答】解：原方程可化为：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，解得x＝4， 把x＝4代入x﹣4得，4﹣4＝0， 故x＝4是原分式方程的增根，原方程无解． 【考点评析】本题考查的是解分式方程，解答此类方程时一定要进行验根． 42．（2024•南通）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）； （2）解方程1． 【思路点拨】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算； （2）根据解分式方程的步骤进行计算． 【规范解答】解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1） ＝m2﹣2m﹣m2﹣m ＝﹣3m； （2）1， 3x﹣（3x+3）＝2x， 3x﹣3x﹣3＝2x， ∴x， 经检验，x是原方程的解． 【考点评析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． 43．（2024•新北区一模）解下列方程和不等式组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据解分式方程的不解答即可； （2）根据解不等式组的步骤解答即可． 【规范解答】解：（1）， x﹣1＝2x， ∴x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1； （2）． 解①得x≤4， 解②得x＞2， ∴不等式组的解集为：2＜x≤4． 【考点评析】本题考查了不等式组是解和分式方程的解，熟练掌握相关运算是关键． 高频考点15：解一元一次不等式组 44．（2024•海陵区校级三模）已知关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则a的是 　﹣1　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得a2+2a≤﹣1，即（a+1）2≤0，由于（a+1）2≥0，则a+1＝0，解得a＝﹣1． 【规范解答】解：由x﹣a2﹣2a＞0，得：x＞a2+2a， 由2x+2＜3x+3，得：x＞﹣1 ∵不等式组的解集为x＞﹣1， ∴a2+2a≤﹣1， ∴（a+1）2≤0， ∵（a+1）2≥0， ∴a+1＝0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组、因式分解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 45．（2024•六合区校级三模）不等式组的解集是 　x＞1　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【规范解答】解：解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1， 解不等式x﹣2（x﹣1）＜1，得：x＞1， 则不等式组的解集为x＞1， 故答案为：x＞1． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 46．（2024•鼓楼区模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解：， 由①得x≤1， 由②得x＞﹣2， 故不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 把解集在数轴上表示出来为： 【考点评析】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集． 高频考点16：一元一次不等式组的整数解 47．（2024•江都区二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a取值范围为（　　） A．a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣1＜a＜0 D．﹣1≤a＜0 【思路点拨】求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．据此解答即可． 【规范解答】解：∵于x的不等式组有且仅有两个整数解，且不等式组的解集为a＜x≤1， ∴﹣1≤a＜0， 故选：D． 【考点评析】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是关键． 48．（2024•沭阳县校级三模）解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 【思路点拨】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求其和即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣2， 解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3， ∴原不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2， ∴所有整数解的和为：﹣2+（﹣1）+0+1+2＝0． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组是关键． 49．（2024•赣榆区校级二模）（1）计算：． （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 【思路点拨】（1）先求出绝对值、三角函数值、负整数次幂、和二次根式，再算加减； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）原式＝222 ＝22 ； （2）解不等式3（x﹣1）＜2得：x， 解不等式得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x， ∴不等式组的整数解为：0、1． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和有理数的运算是解题的关键． 50．（2024•秦淮区校级模拟）求不等式组的解集，并写出它的自然数解． 【思路点拨】先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【规范解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≤1， 所以不等式组的解集为x≤1． 所以它的自然数解为0，1． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$