专题01 数与代数的运算（16个高频考点50题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题01 数与代数的运算 （9个高频考点50题） 高频考点01：有理数的混合运算 1 高频考点02：无理数与实数的性质及运算 4 高频考点03：规律型：数字的变化类 5 高频考点04：规律型：图形的变化类 8 高频考点05：因式分解：完全平方公式和平方差的几何背景 11 高频考点06：整式的化简求值与因式分解 14 高频考点07：分式的混合运算 19 高频考点08：分式的化简求值 21 高频考点09：二次根式的混合运算、化简求值及应用 24 高频考点01：有理数的混合运算 1．（2022•工业园区校级自主招生）数整数部分的个位数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．以上都不是 【思路点拨】放缩法即可得到数整数部分的个位数． 【规范解答】解：∵， ∴1.12， ∴数整数部分的个位数是1． 故选：A． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，关键是将分母放大和缩小求出取值范围． 2．（2021•泰州模拟）某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠．某人两次购物分别付款198元和423元，如果他合起来一次购买同样的商品，那么他可节约　36.6或19　元． 【思路点拨】分类讨论：根据题意有付款198的商品可按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为198元；也可按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，可计算出标价为198÷0.9＝220元；而付款423的商品没有超过500×0.9＝450，只能按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则商品的标价为423÷0.9＝470元，于是得到两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470＝668（元）或220+470＝690（元）， 若合起来一次购买同样的商品，则按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款．可计算出总标价为668元应实际付款数＝500×0.9+（668﹣500）×0.8＝584.4（元）；总标价为690元应实际付款数＝500×0.9+（690﹣500）×0.8＝602（元），然后把两次购物分别付款198元和423元的和分别减去合起来一次购买同样的商品的付款数，即可得到他节约的钱数． 【规范解答】解：付款198的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为198元；付款198的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则标价为198÷0.9＝220（元）； 付款423的商品没有超过500×0.9＝450，只能按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠付款，则商品的标价为423÷0.9＝470（元）， 所以某人两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470＝668（元）或220+470＝690（元）， 当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款． 总标价为668元应实际付款数＝500×0.9+（668﹣500）×0.8＝584.4（元），则他可节约（198+423）﹣584.4＝36.6（元）； 总标价为690元应实际付款数＝500×0.9+（690﹣500）×0.8＝602（元），则他可节约（198+423）﹣602＝19（元）． 故答案为：36.6或19． 【考点评析】本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题． 3．（2024•邗江区二模）对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下： （a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（2，3）⊕（﹣4，3）的值； （2）若（4，y）⊕（x，3）＝﹣1，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 【思路点拨】（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得4x+3y＝﹣1①，2x+y＝3②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）由题意得：（2，3）⊕（﹣4，3） ＝2×（﹣4）+3×3 ＝﹣8+9 ＝1； （2）∵（4，y）⊕（x，3）＝﹣1， ∴4x+3y＝﹣1①， ∵（x，1）⊕（2，y）＝3， ∴2x+y＝3②， ∴①﹣②得：2x+2y＝﹣4， 解得：x+y＝﹣2． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． 4．（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME—14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　2023　； （2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值． 【思路点拨】（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得的结果相加即可； （2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）3747＝3×83+7×82+4×81+7×80 ＝1536+448+32+7 ＝2023． 故答案为：2023； （2）依题意有：2n2+3n+4＝193， 解得n1＝9，（负值舍去）． 故n的值是9． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． 高频考点02：无理数与实数的性质及运算 5．（2024•扬州三模）在下列四个实数中，2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B． C．2024 D． 【思路点拨】根据倒数的定义，若a×b＝1，那么a，b互为倒数． 【规范解答】由倒数的定义可知，2024的倒数是． 故答案选B． 【考点评析】本题考查了倒数，熟记定义是解题关键． 6．（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点O为原点，将线段OA逆时针旋转，第一次与数轴相交于点A′时，点A′所表示的数是（　　） A．﹣3 B． C．﹣4 D． 【思路点拨】利用勾股定理求出，再写出点A′所表示的数即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 由旋转可知，， 所以，点A′所表示的数是， 故选：B． 【考点评析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，解题关键是根据勾股定理求出OA的长； 7．（2024•鼓楼区二模）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D． 【思路点拨】实数的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【规范解答】解：∵﹣30＜2， ∴最小的数是：﹣3． 故选：A． 【考点评析】本题考查了实数数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 8．（2022•南京自主招生）已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab． 【思路点拨】先将a进行分母有理化，再进行无理数的估算，从而确定a与b之间的数量关系，进而解决此题． 【规范解答】解：． ∵6， ∴6＜a＜7． ∴a的小数部分是a﹣6． ∴b＝6﹣a． ∴a+b＝6． ∴a3+b3+18ab＝（a+b）3﹣3ab（a+b）+18ab＝63﹣18ab+18ab＝216． 【考点评析】本题主考查分母有理化、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握分母有理化、无理数的估算是解决本题的关键． 高频考点03：规律型：数字的变化类 9．（2024•邗江区一模）某动物园利用杠杆原理G1•L1＝G2•L2称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的10倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 　　（N）（用含k的代数式表示）． 【思路点拨】根据由G1•L1＝G2•L2得，k•PB＝x•PA，设移动弹簧秤后的点B为B′，读数为k′，再k′•PB′＝x•PA，得出k与k′的关系即可． 【规范解答】解：由G1•L1＝G2•L2得，k•PB＝x•PA， 设移动弹簧秤后的点B为B′，读数为k′， ∴k′•PB′＝x•PA， ∴k′•PB′＝k•PB， ∵PB′＝10PB， ∴10k′•PB＝k•PB， ∴k′， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了列代数式及等式，跨学科的理解和掌握是解题关键． 10．（2024•徐州）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（　　） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【思路点拨】根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果． 【规范解答】解：∵3×2+2＝8， 8×2+2＝18， 18×2+2＝38， ∴第5个数为38×2+2＝78， 第6个数为78×2+2＝158， 第7个数为158×2+2＝318， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键． 11．（2024•南京自主招生），则的整数部分为（　　） A．118 B．119 C．120 D．121 【思路点拨】观察题目可知数A在与之间，则在与之间，依此可得的整数部分． 【规范解答】解：因为数， 所以数A在与之间， 则在与之间， 即119.05和120之间， 所以的整数部分为119． 故选：B． 【考点评析】本题考查了高斯取整，关键是得到数A在与之间． 12．（2024•海陵区校级三模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为CH3OH，乙醇的化学式为C2H5OH，丙醇的化学式为C3H7OH⋯⋯可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是（　　） A．C15H30OH B．C15H31OH C．C15H32OH D．C15H33OH 【思路点拨】由题目可知，碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目＝2×碳原子的数目+1+1，由此计算即可得出结果． 【规范解答】解：由题意可知： 碳原子的数目为1的甲醇的化学式为CH3OH，其氢原子的数目为3+1＝4， ∴碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目4＝2×碳原子的数目1+1+1； 碳原子的数目为2的乙醇的化学式为C2H5OH，其氢原子的数目为5+1＝6， ∴碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目6＝2×碳原子的数目2+1+1； 碳原子的数目为3的丙醇的化学式为C3H7OH，其氢原子的数目为7+1＝8， ∴碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目8＝2×碳原子的数目3+1+1； ⋯⋯， ∴碳原子的数目为15的醇的氢原子数目＝2×15+1+1＝32， ∴碳原子的数目为15的醇的化学式为：C15H31OH， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出化学式之间的变化规律是解题的关键． 13．（2024•扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（　　） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【思路点拨】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 【规范解答】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数， ∵2024÷3＝674…2， 即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：674×2+2＝1350（个）， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是规律型：数字的变化类，发现这列数的变化规律是解题的关键． 14．（2024•泗阳县校级二模）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，，⋯，，若a1＝2，则a2024的值是 　　． 【思路点拨】分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为a1＝2， 则， ， ， ， …， 由此可见， 这一列数按2，﹣3，，循环出现， 且2024÷4＝506， 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，﹣3，，循环出现是解题的关键． 高频考点04：规律型：图形的变化类 15．（2024•连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（　　） A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm 【思路点拨】利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长，加上边长是80cm的正方形的两条边长，再减去2×20cm，即可得出结果． 【规范解答】解：阴影图形的周长＝4×80+2×80﹣2×20＝440（cm）， 故选：A． 【考点评析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长进行转化是解题的关键． 16．（2023•玄武区二模）如图，在11×7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从A、B、C、D四个点处同时出发，按各自箭头方向做匀速直线运动，运动2秒后分别到达A′、B′、C′、D′处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【思路点拨】先画各个球的运动路径，再根据图示求解． 【规范解答】解：各个球继续运动如图示： 由图示得：甲和乙不相撞； 甲和丙经过4秒相撞； 甲和丁不相撞； 丙和丁不相撞， 故选：B． 【考点评析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键． 17．（2024•盐都区校级一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： 依上推测，第14个图形中黑色瓷砖的块数为 　43　． 【思路点拨】依次求出图形中黑色瓷砖的块数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中黑色瓷砖的块数为：4＝1×3+1； 第2个图形中黑色瓷砖的块数为：7＝2×3+1； 第3个图形中黑色瓷砖的块数为：10＝3×3+1； …， 所以第n个图形中黑色瓷砖的块数为（3n+1）块， 当n＝14时， 3n+1＝3×14+1＝43（块）， 即第14个图形中黑色瓷砖的块数为43块． 故答案为：43． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色瓷砖的块数依次增加3是解题的关键． 高频考点05：因式分解：完全平方公式和平方差的几何背景 18．（2021•淮安模拟）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，则阴影部分的面积为（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 【思路点拨】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可． 【规范解答】解：∵a+b＝ab＝9， ∴S＝a2+b2a2b（a+b）（a2+b2﹣ab）[（a+b）2﹣3ab]（81﹣27）＝27． 故选：C． 【考点评析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（2022•沭阳县校级模拟）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． 【思路点拨】根据面积的和差，可得答案． 【规范解答】解：由面积相等，得 （a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，利用面积的不同表示是解题关键． 20．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； 【拓展】 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可； （2）①分析图形可知DF＝CD﹣CF，MF＝DE＝AD﹣AE，从而可得解； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【规范解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b， 则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×2 ＝9﹣4 ＝5； （2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF， ∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1， DF＝CD﹣CF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1，x﹣3； ②∵长方形EMFD的面积是8， ∴MF•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8， 阴影部分的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36， ∴a+b＝±6， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝6， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12． 即阴影部分的面积12． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 21．（2024•启东市一模）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（　　） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【思路点拨】分别将图①和图②中阴影部分的面积表示出来，二者相等即可得到答案． 【规范解答】解：图①中阴影部分的面积为a2﹣b2，图②中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 【考点评析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握长方形和正方形的面积公式是本题的关键． 22．（2022•宿迁三模）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 　①②　．（请填上正确的序号） 【思路点拨】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案． 【规范解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b）， 可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab， 可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 【考点评析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提． 高频考点06：整式的化简求值与因式分解 23．（2024•六合区校级三模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1． 【思路点拨】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b） ＝（4a2+4ab+b2）﹣（b2﹣4a2） ＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2 ＝8a2+4ab， 当a＝﹣2，b＝1时， 原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1 ＝8×4﹣8 ＝32﹣8 ＝24． 【考点评析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 24．（2023•宝应县模拟）计算或化简： （1）计算：（﹣1）2023tan60°； （2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1． 【思路点拨】（1）直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数的性质、绝对值的性质、二次根式分别化简得出答案； （2）根据平方差公式、完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】解：（1）原式＝31﹣2﹣（21） ＝31﹣2﹣21 ＝0； （2）原式＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2 ＝4ab﹣5b2， 当a＝2，b＝﹣1时， 原式＝4×2×（﹣1）﹣5×（﹣1）2＝﹣13． 【考点评析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 25．（2018•射阳县二模）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中x1，y1． 【思路点拨】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】解：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y） ＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ＝9xy， 当x1，y1时，原式＝9×（）（）＝9． 【考点评析】本题考查整式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 26．（2022•相城区一模）分解因式：a3﹣9a＝　a（a+3）（a﹣3）　． 【思路点拨】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解． 【规范解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）． 【考点评析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 27．（2024•南通二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 【思路点拨】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可． 【规范解答】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n， 因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b， 化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3； A．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确； B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误； C．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误； D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误； 故选：A． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可． 28．（2024•南通一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b） （2a+b）＝0，因为b≠2a，所以2a+b0，得b2a，代入b2+2a＝n得，（2a）+2a＝n，配方法求极值． 【规范解答】解：由原式知，（4a2b）﹣（b2+2a）＝0， ∴（4a2﹣b2）﹣（2ab）＝0 ∴（2a﹣b）（2a+b）（2a﹣b）＝0 ∴（2a﹣b） （2a+b）＝0 ∵b≠2a ∴2a+b0， ∴b2a， 代入b2+2a＝n得，（2a）2+2a＝n， 整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a ）25≥5， ∴自然数n的最小值为6 故选C． 【考点评析】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键． 29．（2024•海安市一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　） A． B． C． D．﹣2 【思路点拨】由a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1得（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，当a+1＝0时，不合适．当a+1≠0时，b＝（）2，代入选项A、C、D均不合适，故选B． 【规范解答】解：∵a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1， ∴b（a2+2a+1）＝a2﹣a﹣1， ∴（a+1）2b＝a2﹣a﹣1， 当a+1＝0时，即a＝﹣1时， 左边＝0，右边＝1，左边≠右边， ∴a＝﹣1舍去． 当a+1≠0时， b ＝1﹣3 ＝（）2﹣3（）+1 ＝（）2， 代入选项A、C、D均不合适， 故选：B． 【考点评析】本题考查了因式分解的知识，掌握顶点式是解题关键． 30．（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当m＝3，n＝4，则q+n＝（ 　4　）2； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1． ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝（ 　n　）2． ∴q+n一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若（m，n为两个连续正整数，m＜n，q＝mn），则p一定是 　奇数　．（填：奇数、偶数） 【思路点拨】（1）根据猜想计算即可； （2）把m＝n﹣1代入即可； （3）设m＜n，由m，n是连续的正整数，可得n＝m+1．在计算q﹣m即可； （4）首先根据题意推出n＝m+1，即可求出q关于m的表达式，然后把q＝m2+m，n＝m+1，代入到p的表达式，通过m为自然数及根式的性质对根式进一步化简，即可推出p＝2m+1，由此可知p总是奇数． 【规范解答】（1）解：q+n＝mn+n＝3×4+4＝16＝42， 故答案为：4， （2）证明：设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1， ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝n（n﹣1）+n＝n（n﹣1+1）＝n2， ∴q+n一定是正数的平方数． 故答案为：n， （3）证明：设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1， ∵q＝mn， ∴q﹣m＝mn﹣m＝m（m+1）﹣m＝m（m+1﹣1）＝m2， ∴任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方． （4）解：∵m，n是两个连续自然数，且m＜n， ∴n＝m+1，q＝mn＝m（m+1）＝m2+m， ∴p， ， ， ∵m是自然数， ∴m≥0，m+1＞0， ∴Pm+1+m＝2m+1， ∴p总是奇数． 故答案为：奇数． 【考点评析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出n和q关于m的表达式． 高频考点07：分式的混合运算 31．（2024•亭湖区校级模拟）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　　． 【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出算式am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，然后化简即可得到的值． 【规范解答】解：由题意可得， am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 32．（2024•雨花台区模拟）计算：． 【思路点拨】根据分式的减法和除法可以解答本题． 【规范解答】解：原式＝[] ． 【考点评析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 33．（2024•崇川区三模）（1）解方程； （2）计算：（a+1）． 【思路点拨】（1）根据加减消元法可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题 【规范解答】解：（1）， ①×3﹣②，得 x＝7， 将x＝7代入①，得 y＝﹣2， 故原方程组的解是； （2）（a+1） ． 【考点评析】本题考查分式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 34．（2024•泰州二模）张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 　小明和小红　； （2）请你写出正确的解答过程． 【思路点拨】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）， ∴小明的计算错误； ， ∴小亮的计算正确； ， ∴小红的计算错误， 故答案为：小明和小红． （2）正确的解答过程如下： ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 高频考点08：分式的化简求值 35．（2022•南京模拟）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式的值等于 　　． 【思路点拨】根据xyz＝6，可以先将所求式子化简，然后根据x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，可以得到x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】解：∵xyz＝6， ∴ [（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]， ∵x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012， ∴x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2， ∴原式[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]（1+1+4）， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 36．（2024•宿迁模拟）先化简，再求值：（1），其中a． 【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式•， 当a时，原式1． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 37．（2024•亭湖区三模）先化简：，再从﹣2≤a＜1的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值． 【思路点拨】先根据分式的混合运算法则进行化简，再进行代入计算． 【规范解答】解：原式 ＝2a﹣4， ∵﹣2≤a＜1的范围内的整数为﹣2，﹣1，0， 又∵当a＝3或﹣2时，分式无意义， ∴a可以取0或﹣1， 当a＝0时，原式＝﹣4； 或当a＝﹣1时，原式＝﹣6． 【考点评析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 38．（2024•玄武区校级模拟）先化简，再求代数式的值：（1），其中x是﹣2＜x＜3之间的整数，请选一个合适的x求解． 【思路点拨】先化简分式，再根据分式有意义的条件得到：x≠0，±1，从﹣2＜x＜3之间的整数中选一个合适的数：x＝2，代入计算即可． 【规范解答】解：原式， ， ， ∵分式有意义：， ∴x≠0，±1， ∵x是﹣2＜x＜3之间的整数， ∴取x＝2， 原式． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．（2024•高新区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 【思路点拨】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解： • ， 当x＝﹣2时，原式1． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 高频考点09：二次根式的混合运算、化简求值及应用 40．（2024•新北区一模）下列计算正确的是（　　） A． B．235 C．4 D．（22）＝6﹣2 【思路点拨】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可． 【规范解答】解：A．（）0＝1，故本选项不符合题意； B．235，故本选项不符合题意； C．2，故本选项不符合题意； D．（22）2＝6﹣2，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 41．（2024•秦淮区二模）计算的结果是 　　． 【思路点拨】根据二次根式的性质化简后，再根据二次根式的加减法运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 42．（2023•淮安区校级二模）计算的结果为 　2　． 【思路点拨】先把和化简，把分母有理化，然后合并即可． 【规范解答】解：原式＝22 ＝2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 43．（2023•灌云县校级模拟）阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是（　　） A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 【思路点拨】根据二次根式的性质：|a|，可得答案． 【规范解答】解：原式＝aa+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17, ∴小芳的解答正确， 故选：B． 【考点评析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 44．（2024•无锡模拟）已知，则代数式的值为 　﹣8　． 【思路点拨】根据二次根式的乘法法则求出x3，利用分母有理化求出，代入原式计算得到答案． 【规范解答】解：∵x1， ∴x2＝（1）2＝3﹣21＝4﹣2，， ∴x3＝x2•x＝（4﹣2）（1）＝44﹣6+2610， 则x3﹣4x610﹣4（1）﹣4610﹣44﹣22＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【考点评析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 45．（2023•苏州模拟）若，则m2+2m+1＝　2　． 【思路点拨】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可． 【规范解答】解：∵， ∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（1+1）2＝2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则和二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 46．（2023•鼓楼区校级自主招生）若，则x3+4x2+2x+6＝　3　． 【思路点拨】先利用分母有理化进行化简，从而可得x2，进而可得x+2，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵2， ∴x+2， ∴x3+4x2+2x+6 ＝x3+4x2+4x﹣2x+6 ＝x（x2+4x+4）﹣2x+6 ＝x（x+2）2﹣2x+6 ＝x•（）2﹣2x+6 ＝5x﹣2x+6 ＝3x+6 ＝3（2）+6 ＝36+6 ＝3， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 47．（2023•邳州市一模）（1）先化简，再求值：，其中； （2）计算． 【思路点拨】（1）先计算分式的混合运算，再将字母的值代入计算； （2）分别计算绝对值，算术平方根，零次幂及代入三角函数值，再计算加减法． 【规范解答】解：（1）原式•a+1， 当时， 原式； （2） ＝4﹣1 ＝3． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，掌握分式混合运算法则及零次幂，三角函数值及实数的混合运算法则是解题的关键． 48．（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 　74　（精确到个位，参考数据：4.58）． 【思路点拨】连接AB，过点A作AC∥DE交DB的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接AB，过点A作AC∥DE交DB的延长线于点C， 则AC＝60﹣30＝30 （cm），BC＝（x﹣60）cm， 在Rt△ABC中，BC33×4.58＝13.74≈14（cm）， ∴x﹣60＝14， ∴x＝74， 故答案为：74． 【考点评析】本题考查了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 49．（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　12　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 【思路点拨】（1）根据阅读材料分别代入即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导； （3）设一边长为x cm，三角形的面积为S cm2，则另一边为（18﹣x）cm，根据三角形的面积公式可解答． 【规范解答】解：（1）设a＝5，b＝5，c＝6， ∴p8，S12； （2）S ， ∵p， ∴2p＝a+b+c， S ； （3）设一边长为x cm，三角形的面积为S cm2，则另一边为（18﹣x）cm， ∴p＝12， ∴S2＝12×（12﹣6）×（12﹣x）×[12﹣（18﹣x）]＝﹣72（x﹣9）2+648， ∴当x＝9时，S有最大值为cm2， 此时三边长分别为6cm，9cm，9cm，是等腰三角形． 【考点评析】本题考查了二次根式的应用，平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式，计算量大． 50．（2023•建湖县校级模拟）阅读下面材料： 将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4． 则S2﹣S1＝（a）2﹣a2 ＝[（a）+a]•[（a）﹣a] ＝（2a）• ＝b+2a 例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2 根据以上材料解答下列问题： （1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　9+2　，S4﹣S3＝　15+2　； （2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值． 【思路点拨】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论； （2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可； （3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可． 【规范解答】解：S3﹣S2＝（a+2）2﹣（a）2 ＝a2+4a4b﹣a2﹣2ab ＝2a3b， 当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2； S4﹣S3＝（a+3）2﹣（a+2）2＝a2+6a9b﹣a2﹣4a4b ＝2a5b， 当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2； 故答案为：9+2；15+2； （2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2； 证明：Sn+1﹣Sn ＝（1n）2﹣[1+（n﹣1）]2 ＝[2+（2n﹣1）] ＝3（2n﹣1）+2 ＝6n﹣3+2； （3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50 ＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50 ＝S51﹣S1 ＝（1+50）2﹣1 ＝7500+100． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与代数的运算 （9个高频考点50题） 高频考点01：有理数的混合运算 1 高频考点02：无理数与实数的性质及运算 2 高频考点03：规律型：数字的变化类 3 高频考点04：规律型：图形的变化类 3 高频考点05：因式分解：完全平方公式和平方差的几何背景 4 高频考点06：整式的化简求值与因式分解 6 高频考点07：分式的混合运算 8 高频考点08：分式的化简求值 9 高频考点09：二次根式的混合运算、化简求值及应用 9 高频考点01：有理数的混合运算 1．（2022•工业园区校级自主招生）数整数部分的个位数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．以上都不是 2．（2021•泰州模拟）某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠．某人两次购物分别付款198元和423元，如果他合起来一次购买同样的商品，那么他可节约　 　元． 3．（2024•邗江区二模）对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下： （a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（2，3）⊕（﹣4，3）的值； （2）若（4，y）⊕（x，3）＝﹣1，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 4．（2023•姑苏区校级模拟）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME—14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　　； （2）小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值． 高频考点02：无理数与实数的性质及运算 5．（2024•扬州三模）在下列四个实数中，2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B． C．2024 D． 6．（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点O为原点，将线段OA逆时针旋转，第一次与数轴相交于点A′时，点A′所表示的数是（　　） A．﹣3 B． C．﹣4 D． 7．（2024•鼓楼区二模）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D． 8．（2022•南京自主招生）已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab． 高频考点03：规律型：数字的变化类 9．（2024•邗江区一模）某动物园利用杠杆原理G1•L1＝G2•L2称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的10倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 　　 （N）（用含k的代数式表示）． 10．（2024•徐州）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（　　） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 11．（2024•南京自主招生），则的整数部分为（　　） A．118 B．119 C．120 D．121 12．（2024•海陵区校级三模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为CH3OH，乙醇的化学式为C2H5OH，丙醇的化学式为C3H7OH⋯⋯可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是（　　） A．C15H30OH B．C15H31OH C．C15H32OH D．C15H33OH 13．（2024•扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（　　） A．676 B．674 C．1348 D．1350 14．（2024•泗阳县校级二模）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，，⋯，，若a1＝2，则a2024的值是 　 高频考点04：规律型：图形的变化类 15．（2024•连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（　　） A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm 16．（2023•玄武区二模）如图，在11×7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从A、B、C、D四个点处同时出发，按各自箭头方向做匀速直线运动，运动2秒后分别到达A′、B′、C′、D′处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 17．（2024•盐都区校级一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： 依上推测，第14个图形中黑色瓷砖的块数为 　　． 高频考点05：因式分解：完全平方公式和平方差的几何背景 18．（2021•淮安模拟）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，则阴影部分的面积为（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 19．（2022•沭阳县校级模拟）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式　 20．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； 【拓展】 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 21．（2024•启东市一模）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（　　） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 22．（2022•宿迁三模）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 　　．（请填上正确的序号） 高频考点06：整式的化简求值与因式分解 23．（2024•六合区校级三模）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1． 24．（2023•宝应县模拟）计算或化简： （1）计算：（﹣1）2023tan60°； （2）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1． 25．（2018•射阳县二模）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y），其中x1，y1． 26．（2022•相城区一模）分解因式：a3﹣9a＝　 　． 27．（2024•南通二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 28．（2024•南通一模）已知实数a，b满足4a2b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 29．（2024•海安市一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（　　） A． B． C． D．﹣2 30．（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当m＝3，n＝4，则q+n＝（ 　　）2； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1． ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝（ 　n　）2． ∴q+n一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若（m，n为两个连续正整数，m＜n，q＝mn），则p一定是 　　．（填：奇数、偶数） 高频考点07：分式的混合运算 31．（2024•亭湖区校级模拟）某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　． 32．（2024•雨花台区模拟）计算：． 33． （2024•崇川区三模）（1）解方程； （2） 计算：（a+1）． 34．（2024•泰州二模）张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； （2）请你写出正确的解答过程． 高频考点08：分式的化简求值 35．（2022•南京模拟）已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式的值等于 　　． 36．（2024•宿迁模拟）先化简，再求值：（1），其中a． 37．（2024•亭湖区三模）先化简：，再从﹣2≤a＜1的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值． 38．（2024•玄武区校级模拟）先化简，再求代数式的值：（1），其中x是﹣2＜x＜3之间的整数，请选一个合适的x求解． 39．（2024•高新区校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 高频考点09：二次根式的混合运算、化简求值及应用 40．（2024•新北区一模）下列计算正确的是（　　） A． B．235 C．4 D．（22）＝6﹣2 41．（2024•秦淮区二模）计算的结果是 　． 42．（2023•淮安区校级二模）计算的结果为 　 43．（2023•灌云县校级模拟）阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是（　　） A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 44．（2024•无锡模拟）已知，则代数式的值为 　　． 45．（2023•苏州模拟）若，则m2+2m+1＝　　． 46．（2023•鼓楼区校级自主招生）若，则x3+4x2+2x+6＝　． 47．（2023•邳州市一模）（1）先化简，再求值：，其中； （3） 计算． 48．（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 　　（精确到个位，参考数据：4.58）． 49．（2024•扬中市二模）中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． 请完成下列问题： （1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 　　； （2）请由秦九韶公式推导出海伦公式； （3）若三角形的周长为24cm，一边长为6cm，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状． 50．（2023•建湖县校级模拟）阅读下面材料： 将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4． 则S2﹣S1＝（a）2﹣a2 ＝[（a）+a]•[（a）﹣a] ＝（2a）• ＝b+2a 例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2 根据以上材料解答下列问题： （1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　9+2　，S4﹣S3＝　15+2　； （2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$