1.4角平分线的性质（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

1.4角平分线的性质 题型一 三角形的角平分线的定义及其应用 1．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是△ABC的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是△ABC的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 2．如图所示，是△ABC的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是△ABC的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份． 3．如图，在△ABC中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三条角平分线相交于同一点可知平分，从而得解． 【详解】解：∵角平分线，相交于点， ∴平分． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握三条角平分线相交于同一点是解题的关键． 4．如图，将△ABC折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线段 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知 则l是△ABC的角平分线， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 5．如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么∠AOE的余角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义得到相等的角，由平角的定义，可知∠EOC与∠COD互余，∠AOE与∠BOD互余．而∠AOE＝∠EOC，故可知∠AOE的余角有两个． 【详解】解：∵OD平分，OE平分 又是平角 即 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平角的定义，平分线的定义，余角的定义，解题关键是理解“如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角”，只与和有关，与位置无关． 6．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故答案为“线段”． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，则∠DCE＝ 度． 【答案】25 【分析】根据∠A＝20°，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，可得∠ABC＝70°，∠ACB＝∠CDB＝90°，进而有∠BCD＝∠A＝20°，结合CE平分∠ACB，问题得解． 【详解】解：∵∠A＝20°，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高， ∴∠ABC＝70°，∠ACB＝∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝20°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝45°， ∴∠DCE的度数为：45°-20°＝25°． 故答案为：25． 【点睛】角平分线的定义以及三角形高线的性质等知知识，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 题型二 角平分线性质定理及其应用 1．如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 先根据角平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长． 故选：C． 2．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点到的距离为， 故选：B． 3．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解最小值是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，此时根据角平分线性质得出，再逐一判断即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 所以的最小值为， 所以，，不符合题意，符合题意； 故选：． 4．如图，在中，，平分，于，，则的面积为（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解∶过D点作于F，如图 平分，于，于F， ． ， ． 故选∶D． 5．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 6．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，平分， ， ， ． 故答案为：6． 7．如图，在中，，平分交于点，若，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，如图，过D点作交于点，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离＝点D到的距离，熟练掌握角平分线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：如图，过D点作交于点， ∵， , ∵平分交于点，，，， ， 故答案为：3． 8．如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 9．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】33 【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解． 【详解】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F， ∵PB、PC分别平分和，于D， ∴PD=PE，PD=PF， ∴PD=PE=PF=3， ∵△ABC的周长是22， ∴△ABC的面积是 ． 故答案为：33 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．过点D作DE⊥AB于点E.求证：△ACD≌△AED． 【答案】见解析. 【分析】首先根据AD平分∠CAB， ，可得CD=DE，即可证明△ACD≌△AED. 【详解】证明： AD平分∠CAB CD=DE △ACD≌△AED（AAS）. 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，是基本知识，应当熟练掌握. 11．如图，BP、CP分别是△ABC的内角或外角平分线，请你根据下面的三种情形分别画出点P到△ABC三边所在直线的距离． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等,作图即可. 【详解】直接过点向各边所在直线做垂线即可 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等,解题的关键是熟练掌握角平分线的性质. 题型三 角平分线判定定理及其应用 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（       ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理的应用，根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”解答即可，熟练掌握其判定定理是解决此题的关键． 【详解】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”可得集贸市场应建在、、的角平分线的交点处， 故选：C． 12．如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 3．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 5．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】∵于点，于点，， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 6．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】由‘在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上’容易得到问题答案． 【详解】由图知点Ｐ在∠BAC、∠CBE、∠BCD的内部， ①正确，理由如下： ∵点P到AE、AD的距离相等， ∴点P在∠BAC的平分线上． ②正确，理由如下： ∵点P到AE、BC的距离相等， ∴点P在∠CBE的平分线上． ③正确，理由如下： ∵点P到AD、BC的距离相等， ∴点P在∠BCD的平分线上． ④正确，理由如下： ∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是角平线的一个判定定理——在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．要强调的是这定理的两个易错点：1点在角的外部时，该定理不成立；2点到角两边的距离是点到角两边所在直线的距离即点到直线的垂线段的长度，要注意必须是垂线段的长度． 题型四 角平分线性质的实际应用 1．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 2．如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等，    车站在的平分线上， ∵，，， ∴， ∴， 平分， 车站应该建在点， 故选：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是应用角平分线的性质来解决问题． 3．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 4．如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 【答案】度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 题型五 用尺规作图作三角形的角平分线及其应用 1．下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图．作一个角的平分线． 【详解】解：选项A属于作一个锐角平分线； 故选：A． 2．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边，于点．②分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内两弧交于点．③作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作于E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E， 由基本作图可知，平分， ∵平分，，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 【答案】C 【分析】根据作图痕迹发现BD平分，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 由作图痕迹发现BD平分， ∴， ∴，，故A、B正确； ∵， ∴， 结合图形可得：与的高相同， ∴，故C错误； 的周长为：，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 6．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤． 根据作角平分线的步骤即可判断． 【详解】解：作已知的平分线 ，作图步骤是： 第一步：在，上分别截取，，使； 第二步：分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C； 第三步：作射线； ∴合理的顺序是：②③①， 故选：C． 7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，解题关键是理解角平分线作图方法和熟记角平分线性质． 根据作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， 过作于，则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∴点到边的距离等于， 故答案为：3． 8．如图，用尺规可以作一个角的平分线．它的原理是通过证明三角形全等的方式说明．证明全等的过程中，采用的判定定理是 ．    【答案】 【分析】易知：，，因此符合的条件． 【详解】解：连接，，    由作图知：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，要清楚作图时作出的线段与、与是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键． 9．如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为 ．    【答案】5 【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积． 【详解】由作法得平分， 如图所示，过点D作于E，∵，    根据角平分线的性质，得 ， 的面积． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用． 10．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作． 11．作图题：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P. （注意保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】见解析. 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°． （1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）66° 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案； （2）直接利用角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求； （2）∵AB＝AC，∠ABC＝76°， ∴∠C＝76°， ∵∠ABC的平分线BD， ∴∠DBC＝×76°＝38°， ∴∠BDC＝180°﹣76°﹣38°＝66°． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是解题关键． 13．如图，△ABC中，AB＝AC， (1)请你利用直尺和圆规完成如下操作： ①作△ABC的角平分线AD； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连接PB，PC． 请你观察图形解答下列问题： （2）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；请说明理由． （3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）PA=PB=PC，理由见解析；（3）80°． 【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD和AB的垂直平分线，它们相交于P点； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC； （3）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：（1）如图，AD、EF 、点P为所作； （2）PA=PB=PC，理由： ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC， ∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案为PA=PB=PC； （3）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°-2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC， ∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°． 【点睛】本题考查角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键． 14．如图所示，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余，OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=70°，求∠1的度数． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）． （2）解∵∠EDO与∠1互余 ∴∠EDO+∠1=90° ∵OC⊥OD ∴∠COD=90° ∴∠EDO+∠1+∠COD=180° ∴______+______=180° ∴ED∥AB．（______） ∴∠AOF=∠OFD=70°（______） ∵OF平分∠COD，（已知） ∴∠COF=∠COD=45°（______） ∴∠1=∠AOF-∠COF=______°． 【答案】（1）见解析；（2）∠EDO，∠AOD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义，25 【分析】（1）依据OF平分∠COD交DE于点F，进行作图即可； （2）依据同旁内角互补，两直线平行，判定ED∥AB，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠1的度数． 【详解】解：（1）如图所示，OF平分∠COD交DE于点F， （2）∵∠EDO与∠1互余， ∴∠EDO+∠1=90°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD=90°， ∴∠EDO+∠1+∠COD=180°， ∴∠EDO+∠AOD=180°， ∴ED∥AB，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠AOF=∠OFD=70°，（两直线平行，内错角相等） ∵OF平分∠COD，（已知） ∴∠COF=∠COD=45°，（角平分线的定义） ∴∠1=∠AOF-∠COF=25°． 故答案为：∠EDO，∠AOD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义，25． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 1．点在的平分线上，，分别是两边上的动点，连接，．若，则与之间的关系是（  ） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，先证明，然后分点在线段延长线上、点在线段延长线上时，点在线段上、点在线段上时，点在线段延长线上、点在线段上时，点在线段上、点在线段延长线上时四种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论思是解题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则， ∵点在的平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， 如图，点在线段延长线上、点在线段延长线上时， ∵， ∴，即； 如图，点在线段上、点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，点在线段延长线上、点在线段上时， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 如图，点在线段上、点在线段延长线上时， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 综上可知：与之间的关系是相等或互补， 故选：． 2．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中的尺规作图可知，是的角平分线，由直角三角形两锐角互余可判断A选项；由角平分线性质可判断B选项；由角平分线定义可判断C选项；由两个三角形全等的性质可判断D选项，从而确定答案． 【详解】解：A、在中，，则， ， 在中，，则， ， 故该选项正确，不符合题意； B、由图中尺规作图的痕迹，可知是的角平分线， 、， ， 故该选项正确，不符合题意； C、由图中尺规作图的痕迹，可知是的角平分线， ， 故该选项正确，不符合题意； D、若，则， ， 而题中并未明确告知是否为的角，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查几何综合，涉及基本尺规作图-作角平分线、直角三角形性质、角平分线定义、角平分线性质、三角形全等的性质等知识，熟练掌握角平分线尺规作图及相关性质是解决问题的关键． 3．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2； 故选A． 4．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 5．如图，是的角平分线，交于点O，，，以下错误的是（   ） A． B． C． D．若的周长为m，，则 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．A利用三角形的内角和以及角平分线平分角，求出的度数，进行判断；B、在上截取，证明，得到，再证明，得到，进而得到；C、根据B可得，，即可得出结论；D、连接，过点作，垂足分别为：，利用角平分线的性质，以及，进行求解即可； 【详解】解：A、∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； 故本选项不符合题意； B、如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故本选项不符合题意； C、由②可知，， ∴， 故本选项不符合题意； D、连接，过点作，垂足分别为：， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； 故本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，是的角平分线．若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过作于点，由角平分线的性质得，再由三角形面积公式列式计算即可． 本题考查了角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，， ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、三角形内角和定理等知识．过点F作，垂足分别为，在上截取，根据角平分线性质定理得到，证明，则，证明，得到，则，得到，由即可得到答案． 【详解】解：过点F作，垂足分别为，在上截取， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故答案为： 8．如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； (1)作的平分线，交于点 (2)为上的动点，在上确定一点，使的最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的作图、轴对称的性质等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）以点D为圆心，长为半径画弧，交于点，连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）如图，点P即为所求， 9．如图，在中，，是的外角．    (1)求证：． (2)利用尺规作图分别做出，的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若，求的度数． (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理与外角的性质，尺规作图——作角平分线，角平分线的性质及判定． （1）根据三角形的内角和定理与邻补角互补即可证明； （2）根据尺规作图作角平分线的方法即可作图．由角平分线得到， ，根据三角形外角的性质得到即可解答； （3）过点F作于点M，于点N，于点H，根据角平分线的性质得到，，从而，根据角平分线的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴． （2）解：所求图形，如图所示．    ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ． （3）证明：过点F作于点M，于点N，于点H，    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 10．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； （1）利用三边对应相等证明，得到即可； （2）根据角平分线的性质可知点P到的距离等于，求出，进而计算出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是的平分线； 理由：在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解： ∵平分，， ∴点P到的距离等于， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11．学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③;④相等 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 【详解】解：如图，作平分交于点 在中， ， 又平分，平分， ，， ， 又 ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 故答案为：①；②；③；④相等 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4角平分线的性质 题型一 三角形的角平分线的定义及其应用 1．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是△ABC的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是△ABC的角平分线 2．如图所示，是△ABC的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．如图，将△ABC折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线段 5．如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么∠AOE的余角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，则∠DCE＝ 度． 题型二 角平分线性质定理及其应用 1．如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 2．如图，在中，，是的角平分线．若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 4．如图，在中，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D．7 5．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 7．如图，在中，，平分交于点，若，，则点到的距离为 ． 8．如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是 ． 9．如图，已知△ABC的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是 ． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．过点D作DE⊥AB于点E.求证：△ACD≌△AED． 11．如图，BP、CP分别是△ABC的内角或外角平分线，请你根据下面的三种情形分别画出点P到△ABC三边所在直线的距离． 题型三 角平分线判定定理及其应用 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（       ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．不确定 12．如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 3．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，其理论依据是 ． 5．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．    6．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是 ．（填序号） 题型四 角平分线性质的实际应用 1．在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（     ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 2．如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    4．如图，为了促进当地旅游发展､某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 题型五 用尺规作图作三角形的角平分线及其应用 1．下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A．   B．   C．    D．   2．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边，于点．②分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内两弧交于点．③作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．60 C．45 D．30 5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 6．如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 8．如图，用尺规可以作一个角的平分线．它的原理是通过证明三角形全等的方式说明．证明全等的过程中，采用的判定定理是 ．    9．如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为 ．    10．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 11．作图题：某地有两个村庄M、N和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点P. （注意保留作图痕迹，不用写作法） 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°． （1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数． 13．如图，△ABC中，AB＝AC， (1)请你利用直尺和圆规完成如下操作： ①作△ABC的角平分线AD； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P； ③连接PB，PC． 请你观察图形解答下列问题： （2）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；请说明理由． （3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数． 14．如图所示，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余，OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=70°，求∠1的度数． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）． （2）解∵∠EDO与∠1互余 ∴∠EDO+∠1=90° ∵OC⊥OD ∴∠COD=90° ∴∠EDO+∠1+∠COD=180° ∴______+______=180° ∴ED∥AB．（______） ∴∠AOF=∠OFD=70°（______） ∵OF平分∠COD，（已知） ∴∠COF=∠COD=45°（______） ∴∠1=∠AOF-∠COF=______°． 1．点在的平分线上，，分别是两边上的动点，连接，．若，则与之间的关系是（  ） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 2．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5.5 4．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，是的角平分线，交于点O，，，以下错误的是（   ） A． B． C． D．若的周长为m，，则 6．如图，是的角平分线．若，则的面积是 ． 7．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，， ． 8．如图，中，，垂足为．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）； (1)作的平分线，交于点 (2)为上的动点，在上确定一点，使的最短． 9．如图，在△ABC中，，是△ABC的外角．    (1)求证：． (2)利用尺规作图分别做出，的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若，求的度数． (3)连接，求证：平分． 10．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 11．学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$