1.4.1 角平分线的性质 课件-2024-2025学年湘教版八年级数学下册

1.4.1角平分线的性质 湘教版·八年级数学下册 复习导入 一 思考： (1)角平分线的定义是怎样的? 探究新知一 一 一：折一折 把∠AOB的纸片对折OA和OB边重合，然后展开，这条折痕所在的射线为这个角的________ 二：量一量 重合后，再将制片折叠，使O点在落在OA边上，再展开得到两边折痕，量一量这两条边折痕分别与∠AOB两边OA，OB形成的夹角度数 平分线 已知：OC平分∠AOB，点P在 OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证：PD=PE 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 证明：∵OC平分∠AOB , ∴ ∠1=∠2 ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在△PDO和△PEO中 ∠PDO=∠PEO ∠1=∠2 OP=OP（公共边） ∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD= PE. A D O P C E B 图1-26 1 2 总结归纳 角平分线上的点到角的两边的距离相等 符号语言： ∵ OC平分∠AOB且PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE (角平分线上的点到角两边的距离相等） A D O P C E B 1 2 A C O P D B 1（怀 化中考）：图1所示,OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ） A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 小试牛刀 一 OD 60° 2. 如图1，PC⊥OA ，PD⊥OB，垂足分别是 C ，D，CP = DP，∠CP0 = 60°，则∠COD =______，OC =_ _______ 3.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是__________ 图1 A B C D ∟ 3 探究新知二 一 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质定理: 那么： 如果： 一个点在角的平分线上 这个点到角的两边的距离相等 角的内部 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD=PE 求证：点P在∠AOB的平分线上 证明：如图1-27，过点O，P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP PD=PE ∴Rt△PDO≌Rt△PEO （HL） .∴∠AOC=∠BOC ∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. O A B D E P C 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 A D O C E B 符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB, PD＝PE ∴ 点P在∠AOB的平分线上(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) 总结归纳 P 例题解析 一 如图 ∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. (1)求证: 点B在∠ADC的平分线上; (2)求证: BD平分∠ABC. 3 4 【教材P23】 证明：（1）在△ABC中， ∵∠l=∠2，∴BA = BC. 又BA⊥AD， BC⊥CD， ∴点B在∠ADC的平分线上. （2）在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵BA=BC，BD=BD， ∴Rt△BAD≌Rt△BCD.(HL) ∴∠ABD=∠CBD. ∴BD平分∠ABC. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F， BD=CD. 求证: AB=AC. 证明：∵AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE=DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD=CD， ∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL) ∴∠B=∠C. ∴AB=AC (等角对等边). 变式练习 一 如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离 公路和铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置 (比例尺为1∶20000). 解： 500÷20000=0.025m, 0.025m=2.5cm 图上距离为2.5cm. E F C P 点P即为所求． 问题解决 一 【教材P26】 1.角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的性质定理的逆定理: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 课堂小结 一 作业布置 一 A组：教材P26第1，2题 B组：预习教材24-25页 教学阐释 01 教材解读 02 学情分析 03 教学目标 04 重点难点 05 教法学法 06 教学过程 01 教材分析 角平分线的性质的探索和证明蕴含着丰富的数学思想，是培养学生具有良好思维品质的载体 本节课是湘教版数学八年级下册第一章第四节的内容 角平分线的性质是在学生已经掌握角平分线的定义和作法，全等三角形的全等的基础上学习的，也为证明线段相等和角相等开拓了新思路，并为今后对圆的内心的学习做好铺垫 . 位置 地位 作用 02 学情分析 知识 知识基础 本节课是在学生学习了角平分线的定义、作法和全等三角形的性质和判定的基础上进行教学的。 心理基础 由于学生受三角形全等知识的迁移的影响，习惯用三角形全等的方法来解决，而不注重利用刚学的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明。 03 教学目标 1.理解角平分线的性质定理和逆定理，能够证明角平分线的性质定理. 2.通过对角平分线性质的探究，提高学生分析、解决问题的能力 3.通过一系列的探究过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学生学习数学的兴趣 04 教学重难点 重点 难点 领会角平分线的两个互逆定理 两个互逆定理的实际应用 05 教法学法 1.教法：启发 互动 探究式 2.学法： 动手操作 合作交流 自主探究 06 教学过程 Step 1 Step 2 Step 3 Step 5 Step 4 S F 环节一 情境导入 环节二 探究新知 环节三 例题解析 环节四 课堂小结 环节五 课后作业 【设计意图】使学生回忆角平分线和点到直线的距离的内容，为学习角平分线的性质作好铺垫。 复习导入 一 思考： (1)角平分线的定义是怎样的? (2)什么是点到直线的距离? 【设计意图】 探究新知使教学过程的重要环节，也是突破重点和突破难点的关键所在，为此在探究新知一时，我设置了量一量，猜一猜的环节，为猜想依据为定理的证明做铺垫，这样能更好的突破重难点。 【设计意图】 探究新知二意在让学生通过复习命题和逆命题，从而获得角平分线性质定理的逆定理，由原命题获得逆命题，顺其自然，水到渠成，这符合学生的心里特征和认知规律。 【设计意图】 角平分线的性质定理和逆定理用几何语言来描述，这在数学几何学习中培养学生的逻辑推理和书写能力都是非常重要的环节。 【设计意图】例题教学使落实教学目标，培养学生思维的载体，我选用的是教材第23页的例题1，该例题围绕重难点设问，第一问角平分线性质定理的逆定理的应用，第二问是三角形HL定理的应用. 例题的设置以及通过例题的讲解和学习，能很好 的突出重点，突破难点. 【设计意图】 练习设计上我立足于巩固,着眼于发展，同时兼顾差异，满足部分学生渴望发展的要求. 小试牛刀主要是基础训练，第二题变式题，是角平分线性质定理的逆定理的理解和运用，进一步提高学生运用知识的能力. 【设计意图】 让学生体会数学来源于生活的同时页服务于生活实际，同时也是对所学知识运用的一种提升 【设计意图】 通过学生自评与教师引导，梳理知识脉络，强化 “转化思想”“归纳法” 等数学方法的理解，培养总结反思能力，形成完整的知识体系. 【设计意图】 作业这样设计是为了把课内的知识向课外知识延伸，打开学生思路，给学生提供更为广阔的空间，引领学生继续探索，从而让学生真正成为学习的主人. $$