专题6-5 三角形周长（边长代数和）问题(5大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题6-5 三角形周长（边长代数和）问题 题型一：三角形周长定值问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 例题2．（河南省漯河市2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试题）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 例题3．（24-25高三下·贵州·开学考试）设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的周长． 精练核心考点 1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 2．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 3（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 题型二：三角形周长最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东汕尾·期末）函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)求a与的值； (2)若，求周长的最大值． 例题2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)若，求的周长的最大值. 例题3．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值． 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）. (1)求； (2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值. 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上， (1)若，，求c； (2)若是的角平分线，，求周长的最小值． 题型三：三角形周长范围问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 例题2．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 例题3．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西南宁）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若，求 周长的取值范围. 题型四：三角形边长问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 例题2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在中，的对边分别为，且满足__________． 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． (1)求； (2)若的面积为为的中点，求的最小值． 例题3．（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分㓩为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 精练核心考点 1．（2024·广东广州·模拟预测）三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积. (1)求的大小； (2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值. 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数的内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)设为边的中点，且的面积为，求的长. 题型五：三角形边长代数和问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 例题3．（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 精练核心考点 1．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 2．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-5 三角形周长（边长代数和）问题 题型一：三角形周长定值问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 例题2．（河南省漯河市2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试题）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若是的一条内角平分线，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再通过三角函数的运算求出角；（2）根据三角形内角平分线性质以及三角形面积公式建立等式，结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）由已知及正弦定理：， ， ， ，. （2）在中，由， 可得：， 又平分，则， 所以， 整理得①． 又由余弦定理，可得，即， 则有②， 由①②解得：或（舍）， 所以的周长为. 例题3．（24-25高三下·贵州·开学考试）设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理对已知条件进行化简即可求解. （2）利用正弦定理进行边角互化可得，再根据角平分线的定义可得，再由 以及三角形面积公式可得 值，再利用余弦定理即可求得 值，从而得出结论. 【详解】（1） 由于 ，两边同时乘以 并化简可得：， 根据正弦定理可得 ，代入可得， 化简得：，进一步化简：， 由余弦定理可知，代入上面的等式： ，化简得， 即 所以由余弦定理可得：， 由于，所以. （2）已知， 由正弦定理可得 ，即 ， 因为是的角平分线，且由（1）可知 ， 所以 ， 因为  ，根据三角形面积公式可得： ， 将 代入上式可得： ， 化简可得： ，即 ， 将 代入 可得： 即， 因为 ，所以解得，， 代入余弦定理可得： ，则 . 所以， 综上，的周长为. 精练核心考点 1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）解法一：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；解法二：利用余弦定理角化边，进而利用余弦定理求出，由此可得； （2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长. 【详解】（1）解法一： 因为， 由正弦定理得， 所以， ， 即， 因为，所以， 因为，所以. 解法二： 因为， 由余弦定理得， 即， 即， 所以， 所以， 因为，所以. （2）解法一：因为的面积， 所以， 因为，所以， 由（1）得， 所以，故， 解得， 所以的周长. 解法二： 由（1）得， 因为， 所以，整理得， 即，又，所以为等边三角形， 即， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6 解法三： （2）由（1）得， 所以， 当且仅当时取”， 因为， 所以， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6. 2．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再应用余弦定理即可求角的大小； （2）由三角形面积公式，应用等面积法列方程得，结合（1）的结论，并应用余弦定理求边长，进而确定三角形的周长. 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 3（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 题型二：三角形周长最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东汕尾·期末）函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)求a与的值； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)，． (2)6 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化成，结合题设条件即可确定a与的值； （2）根据（1）已得，由求得，方法一：利用正弦定理和恒等变换知识，将表示成，由三角函数的性质即可求得周长的最大值；方法二：利用余弦定理和基本不等式，推理求出周长的最大值. 【详解】（1）． 由题意知，，因，则可得， 故， 由在的图象上，可得，故． （2）（解法一）由（1）知，则， 即，因为，所以， 所以，解得， 由正弦定理，， 则得，，因， 则 ． 因为，所以， 所以，即有， 从而，所以周长的最大值为6． （解法二）由（1）知，所以， 即，因为，所以， 所以，即， 在中，由余弦定理，， 由（1）知，即， 所以， 故，即， 当且仅当时，等号成立， 故，所以周长的最大值为6． 例题2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解即可； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得周长的最大值 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，则， 可得，所以. （2）由余弦定理得， 且，， 可得， 当且仅当时取等号， 则，即，可得， 所以周长的最大值为. 例题3．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得的值，即可求得答案. （2）利用正弦定理推出，设，确定t的范围，再利用余弦定理推得，谈论和时两种情况，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 故， 因为，故， 则， 而， 故，则； （2）由于，则， 在中，； 在中，； 而，故，设， 则，即， 在中，， 即，于是，故， 分别在利用余弦定理得， 两式相减得， 当时，上式恒成立，此时为正三角形，周长为； 当时，，于是， 故， 由于，故当时，取最小值， 故周长的最小值为. 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知中，角所对的边分别是，其中，． (1)求的外接圆半径； (2)求周长的最大值． 【答案】(1)3 (2)． 【知识点】正弦定理求外接圆半径、求三角形中的边长或周长的最值或范围、已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理即可求解； （2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用基本不等式及三角形的周长公式即可求解. 【详解】（1）依题意，解得， 故的外接圆半径． （2）由（1）知，， 由余弦定理，， 因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以周长的最大值为． 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知（）. (1)求； (2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解; （2）由是角的内角平分线，可得到，化简得到，表示出周长，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：, 所以 因为在内，有,所以， 所以, 所以,或， 即， 或，由，故. （2）因为是角的内角平分线，且， 所以,即， 整理得：，所以，所以， 当且仅当时，上式取到最小值， 在中由余弦定理可得：， 所以周长： ， 当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为. 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上， (1)若，，求c； (2)若是的角平分线，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）运用三角形外角性质及正弦定理即可求得结果. （2）由等面积法可得，再由余弦定理可得，再结合基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）如图所示，   ， ，， ， ， 在中，由正弦定理得，即， （2），是的角平分线，如图所示，    则， 由得， 又，所以， 在中，由余弦定理得，则， 设的周长为l，则， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 即：，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的周长最小值为 题型三：三角形周长范围问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）由（1）知，利用余弦定理得到，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 故， 所以. 因为，， 所以， 因为，所以. （2）由（1）可知，，由余弦定理，得， 又，所以. 由基本不等式得：，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 又， 即，又，所以， 所以， 即周长的取值范围是. 例题2．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求函数的零点 【分析】（1）化简，求出最小值，建立关于的方程，解方程得解； （2）解三角函数方程可得或，最后写成集合形式得解； （3）求周长范围转化为求的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围. 【详解】（1） 因为的最小值为，所以当时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以或，解得或，， 的解集为：或. （3）因为在锐角中，，，， 所以，即 所以，所以， 设的外接圆半径为R，则有 所以 所以 又 所以，所以， 所以周长的取值范围为 例题3．（23-24高一下·广东惠州·期中）已知的内角所对的边分别是. (1)求角； (2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理，即可求解； （2）方法一：由正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式，求得，进而求得周长的取值范围； 方法二：根据题意，利用正弦定理求得，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得，又因为，所以. （2）方法一：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 因为，所以，即， 由三角形性质知，当且仅当时，等号成立， 所以，故周长的取值范围为. 方法二：因为外接圆的直径为， 由正弦定理得，则， 因为，可得，所以， 所以，故周长的取值范围为. 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西南宁）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）在中，由正弦定理边角关系得，由余弦定理求，进而可得答案. （2）由正弦定理可得，推出，，借助辅助角公式及三角函数性质得周长的取值范围. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为为的内角，则，所以. （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以的周长为： ， 因为，所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）结合（2）的结论求出的范围，即可得解. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以； （2）因为，， 由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的面积的最大值为； （3）由（2）可知， 则，又， 所以，即，显然， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的周长的取值范围为. 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简已知等式可得，即可求得答案； （2）利用正弦定理可得三角形周长的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 即, 则， 则，而， 故，即， 故，而，， 故； （2）由，结合正弦定理得， 则， 故 ， 而，故， 故的范围为， 即周长的取值范围为. 题型四：三角形边长问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 例题2．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在中，的对边分别为，且满足__________． 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题． (1)求； (2)若的面积为为的中点，求的最小值． 【答案】(1)任选一条件，都有 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）选①，由正弦定理角化边结合余弦定理，即可求得答案；选②，利用三角函数诱导公式求出，结合角的范围即可求得答案； （2）利用三角形面积可求出，再将平方后结合基本不等式，即可求得答案；另外，也可利用的面积以及在中利用余弦定理求解. 【详解】（1）选择条件①，， 则， 由正弦定理可得，即， 所以，由，所以． 选择条件②，， 即，所以， 由，则， 所以，则． （2）由，解得． 又， 所以 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 另解：因为为中点， 所以，得， 在中，由余弦定理得 所以，当且仅当时等式成立， 所以的最小值是． 例题3．（23-24高一下·湖南·期末）已知内角所对的边长分㓩为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A； （2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，则. （2）因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 精练核心考点 1．（2024·广东广州·模拟预测）三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积. (1)求的大小； (2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理可得，即可求解， （2）根据正弦定理可得，即可根据二倍角公式化简得，利用余弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，即， 所以， 所以， 因为，所以． （2）在和中，由正弦定理可得， 设，，则， 故两式相除可得，即, 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用辅助角公式可得； （2）利用正弦定理可得，再由并利用三角函数单调性可求得的取值范围． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． （2）由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 3．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数的内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)设为边的中点，且的面积为，求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的运算律 【分析】（1）利用三角函数特殊值和角的范围，直接求出角； （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理和面积公式，以及中线向量公式来求出中线长. 【详解】（1）因为，所以. 所以.因为，所以，所以. （2）因为，所以. 所以.因为，所以. 所以. 由余弦定理，得，且， 所以，即. 所以，即. 因为，所以. 所以，即.所以. 因为，所以. 所以， 所以. 题型五：三角形边长代数和问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边角互换，结合恒等变换证结论；（2）由（1）及余弦公式，结合基本不等式可解. 【详解】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 例题2．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 例题3．（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （2）由及同角三角函数的平方关系求出，结合（1）得，计算出，再根据正弦定理即可得出； （3）由正弦定理得出，由两角差的正弦公式及辅助角公式得出，其中，结合题意得，根据正切函数的单调性列出不等式求解即可． 【详解】（1）由已知可得， 因为，所以， 所以． 由余弦定理可得， 所以． （2）因为，所以， 又因为，所以， 于是， 由正弦定理得． （3）因为，且，所以， 所以 ，其中． 要使得存在最大值，则能取到，因为， 所以，于是，所以， 于是，解得． 精练核心考点 1．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据已知等式和正弦定理，化简即可求解. （2）利用正弦定理得，又为锐角三角形，解得，从而得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）由， 可得， 即， 所以，即， 因为，所以，又，所以； （2）由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 2．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）用余弦定理化简即可证明； （2）结合(1)根据正弦定理得到，三角恒等变换得到，根据范围得到证明； （3）由，根据锐角三角形确定，得到范围. 【详解】（1）由余弦定理结合， 可得， 化简得：，证毕； （2）由(1) 结合正弦定理可得：， 即， 即， 即， 因为，，故或(舍去)， 则，证毕. （3）由(2)可得， 因为为锐角三角形， 可得，即， 解得：，即有， 所以， 即的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$