20.4 一次函数的应用（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

20.4 一次函数的应用 题型一 最大利润问题 1．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的关系式； (2)这100台电脑的销售总利润能否为15760元？请说明理由． 【答案】(1)（的自然数） (2)不能，理由见解析 【解析】（1）解：∵销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台， ∴ ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台 ∴y与x的关系式为的自然数） （2）解：不能，理由如下： 当总利润为15760元时 即 取自然数 不符合题意 所以这100台电脑的销售总利润不能为15760元。 2．某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，并确定最少费用W的值． 【答案】(1)A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元 (2)当时，W取得最小值，最小值为1125 【解析】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元， ，解得：， 答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元； （2）解：由题意，得：， ∵购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，最小值为1125． 3．某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 【答案】(1)， (2)1300 【解析】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：， 其中，x的取值范围是：； （2）解：由（1）可知， ∴随x的增大而减小， 当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大， 即， 答：函数的最大值为1300. 4．近年来；市民交通安全意识逐步增强，骑行用头盔需求量持续增大．某生产厂家销售的甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元．某商店打算购进头盔共100顶，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每顶降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少顶甲种头盔能使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】应购买50顶甲种头盔，最少费用是5000元 【解析】解：设购买甲种头盔x顶，则购买乙种头盔顶．根据题意，得 ，解得， 设总费用为y元，则 ， ， y随x的增大而增大，减小而减小， 当x取最小值时，y有最小值， 此时， 答：应购买50顶甲种头盔，最少费用是5000元． 5．为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元 【解析】（1）解：根据题意得：， 与的函数表达式为； （2）解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的， ， 解得， ， 当时，最大，最大值为（元）， 答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元． 6．某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)5600元 【解析】（1）解：当时，设（k为常数，且）． 将代入得， 解得，， ∴． 当时，设（a、b为常数，）． 将代入得， ， 解得，， ∴． （2）由题意知，购进x千克乙商品，则购进千克甲商品． ∴， 解得，． 设甲、乙两种商品全部销售完的总利润为w元． 由题意得，． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最大值，为． ∴当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600元． 7．某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 (1)求关于的函数关系式； (2)若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 【答案】(1) (2)68万元 【解析】（1）解：根据题意得，y关于x的函数关系式为； （2）解：由题得：， 解得， ∵x为整数， ∴x的最小值为4， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∴该公司至少需要投入资金68万元． 题型二 行程问题 1．2024年12月，台湾省前领导人马英九第三次访问在陆，21日到达第二站成都，一行人乘车前往距驻地170千米的大熊猫基地参观，下面是他们离开驻地的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【解析】解：设段的函数解析式是， ∵的图象过， ， 解得， ∴段的函数解析式是， 离目的地还有20千米时，即， 当时，， 解得：， 故选：C． 2．“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，她们出发2.3小时后，离目的地还有（    ）千米． A．48 B．32 C．28 D．22 【答案】D 【解析】解：当时，设， 将和代入解析式得， 解得：， 当时，， 当时，（千米）， 距离目的地还有：（千米）， 故选：D． 3．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【解析】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：，解得： 则，故此项不符合题意； D．由上可知，故此项错误，符合题意． 故选：D． 4．小英目前在甲地工作，“十一黄金周”期间，回乙地探亲．甲乙两地相距，现有一列火车从甲地出发，以的速度向乙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与乙地的距离． (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)火车离开甲地行驶了40分钟，此时小英距离家里还有多远？ 【答案】(1)，是的一次函数 (2) 【解析】（1）解：依题意得：， 与之间的关系式为：，是的一次函数． （2）解：分钟小时， 当时， ． ∴此时小英距离家里还有. 5．如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)货车离甲地的距离是 【解析】（1）解：由题意得： 与之间的关系式是， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得：把代入，则有： ； 答：货车离甲地的距离是． 6．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【答案】(1)解析式为；解析式为 (2)小时或小时后，甲乙两人相距 【解析】（1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 7．如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 【答案】(1)千米 (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米 【解析】（1）解：前10分钟所行驶的距离为 (千米)， (千米)． 故刚发生故障时小明离家有千米． （2）解：后5分钟的速度为 (千米/分钟)， (千米/分钟)． 故维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米． 8．智慧学习小组成员共同编制如下一个数学问题：小敏从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，然后散步走回家．小敏离家的距离与她所用的时间的关系如图所示：解答下列问题： (1)小敏家离体育场的距离为_______，小敏跑步的平均速度为_______． (2)当时，请直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：由题意得：小敏分钟跑步到体育场，走了， ∴小敏家离体育场的距离为，小敏跑步的平均速度为：． 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，设， ∴， 解得：， ∴， ∴关于的函数表达式为：． 题型三 方案选择 1．某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)， (2)选择方案②更为优惠，见解析 【解析】（1）解：由题意，得：，； （2）当时，； ， 选择方案②更为优惠． 2．“双减”政策受到各地教育部门积极响应，某校为加强学生体育锻炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价4元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球个． (1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出、与的函数关系式； (2)当时，该班在哪个商店购买更省钱？ 【答案】(1)， (2)甲商店 【解析】（1）解：由题意可得， ，， 即，； （2）当时，元；元， ∵， ∴到甲商店购买更省钱． 3．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【解析】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 4．河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x张，费用为y元） 方案一：充值元购买年卡，每张门票元． 方案二：每张门票的单价按图中的折线所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．    (1)当购买张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？ (2)求方案二中y关于x的函数关系式，并写出折线所表示的实际意义． (3)该单位选择哪种购买方案更划算？ 【答案】(1)按方案一应花费元；按方案二应花费1500元 (2)；折线所表示的实际意义见解析 (3)见解析 【解析】（1）解：当购买15张门票时，按方案一应花费（元）； 按方案二应花费：1500元． （2）解：当时，设． 将代入，得．解得． ∴． 当时，设． 将，代入， 得，解得． ∴． ∴方案二中y关于x的函数关系式为 折线所表示的实际意义为若购买门票的张数不大于15时，则每张的价格是100元；若购买门票的张数大于15时，则每张的价格是90元． （3）解：方案一中:． 当 时，． ∴选择方案二划算． 当时，令 ， 解得． ∴时，选择方案二更划算． 令， 解得． ∴时，选择两种购买方案一样划算． 令 ， 解得． ∴时，选择方案一更划算． ∴当购买门票张数时，该单位选择购买方案二更划算；当购买门票张数时，该单位选择两种购买方案一样划算；当购买门票张数时，该单位选择购买方案一更划算． 5．馇酥是陕西省咸阳市乾县的著名小吃，被列为陕西省第二批非物质文化遗产项目之一，作为当地的民间食品，有着悠久的历史和文化背景，因其油多而不腻、糖多而不厌、滋养而不过补，深受省内外人们的喜爱．王英去咸阳旅游，准备带些馇酥回家给家人品尝，她发现甲、乙两家食品超市都在销售相同品质的馇酥，且标价均为12元/千克，经询问，两家超市均给出了优惠方案，甲超市的优惠方案是：无论购买多少，一律按标价的8折付款；乙超市的优惠方案是：若一次性购买不超过5千克，按标价付款，若一次性购买超过5千克，则超过部分按标价的5折付款．设王英购买的数量为x（）千克，在甲超市购买需付款元，在乙超市购买需付款元． (1)分别求、与x之间的函数关系式； (2)若王英一次性购买9千克，请计算并说明，王英在哪家超市购买较划算？ 【答案】(1)， (2)王英在乙超市购买较划算，见解析 【解析】（1）解：根据题意，得 ； ； （2）当时， ， ， ∵， ∴王英在乙超市购买较划算． 6．毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 【答案】(1)， (2)1.5kg 【解析】（1）解：根据题意得： 关于的函数表达式为， 关于的函数表达式为． （2）解：根据题意得：， 解得， 答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg． 7．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 (1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； (2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元 【解析】（1） （2）根据题意可得， ∴ ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，此时． 答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元． 题型四 一次函数与几何综合 1．8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 由此可知直线l经过， 设直线l解析式为， 则，解得：， ∴直线l解析式为， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【解析】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 4．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：联立， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）过点A作轴， ∵点A的坐标为， ， 当时，， ， ∴点C的坐标为， ， ． 5．如图，一次函数的图象过点，与x轴相交于点C．过点A作轴，垂足为B．    (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【解析】（1）一次函数的图象过点， ， 解得， 即一次函数的表达式是； （2）由（1）知：， 当时，；点的坐标为， ， 又点坐标为， 的面积； 6．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【解析】（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 7．小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【答案】(1)；分钟/米 (2)小阳离家的路程y与x的函数解析式为 (3)小明和小阳之间的路程为米 【解析】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 （2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 （3）解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 题型五 其他问题 1．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设蜡烛燃烧的长度为，燃烧的时间为分钟．由题意可设（），则 ， ∴， ∴． 当时，， ∴剩余蜡烛的长度为：． 故选． 2．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【解析】解：设一次函数的解析式：， 把代入，得， 解得：， ， 把代入， 解得：． 故， 故选：B． 3．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时，． 当时，． 当时，． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 4．空气中传播的速度与气温之间的关系式为；当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 m． 【答案】1715 【解析】解：当时，， 则当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为：， 故答案为：1715． 5．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】3 【解析】设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得：， ， 把代入， 得． 故答案为：3． 6．高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降，请直接写出该地空中气温与高度之间的关系式，并求距地面处的气温T． 【答案】；距地面处的气温T为． 【解析】解：∵离地面距离每升高，气温下降， ∴该地空中气温与高度之间的关系式为：； 当时，． 即距地面处的气温T为． 7．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 【答案】(1) (2)日销售量是个 【解析】（1）解：设一次函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：将代入得，， ∴日销售量是个． 1．对一次函数，下列结论中错误的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．点在该函数的图象上 C．函数的图象与直线平行 D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为 【答案】D 【解析】解：、∵， ∴函数值随自变量的增大而减小，该选项说法正确，不合题意； 、当时，， ∴点在该函数的图象上，该选项说法正确，不合题意； 、函数的图象与直线平行，该选项说法正确，不合题意； 、当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为，, ∴与坐标轴围成三角形的斜边长， ∴与坐标轴围成三角形的周长为，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 2．如图，已知正方形的边长为4，点从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当点在时，则：时， ，图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为平行于轴的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为方向向下的一条直线的一部分， 综上，满足题意的只有选项D的图象； 故选D． 3．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 【答案】24 【解析】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为 ，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为 ，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 4．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示． (1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式． (2)两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ 【答案】(1) (2)租书卡和会员卡收费分别为：元，元 【解析】（1）解：观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点和，为正比例函数， 可设其函数关系式为，把点代入得： ∴， ∴函数关系式为； ∵用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数， ∴可设其函数关系式为， ∵其图象经过点和， ∴代入可得： ， 解得： ∴函数关系式为； （2）解：用租书卡的方式租书，每天租书的收费为元； 用会员卡的方式租书，每天租书的收费为元． 5．某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元、20元、甲种苹果的进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元． (1)求甲种苹果进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) (2)若该水果店购进甲、乙两种苹果共，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于，且不高于． ①求销售两种苹果所获总利润w(单位：元)与甲种苹果进货量x(单位：)之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元，若所获总利润恰好为940元，则a的值为 ． 【答案】(1)y与x之间的函数解析式为 (2)①w与x之间的函数关系式为，甲、乙两种苹果各进货获得的总利润最大；②1.2 【解析】（1）解：当时，设y与x之间的函数解析式为为常数，且， 将坐标代入，得， 解得：， ∴； 当时，设y与x之间的函数解析式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， ∴． 综上，y与x之间的函数解析式为． （2）解：①当时，， ∵， ∴w随x的减小而增大， ∵， ∴当时，w值最大，； 当时，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w值最大，， ． 答：w与x之间的函数关系式为，甲、乙两种苹果各进货获得的总利润最大． ②由①可知，当时，总利润最大． 根据题意，得， 解得：． 故答案为：1.2． 6．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为，已知直线，分别交y轴于A，B两点．    (1)求k的值； (2)点C是x轴的一点，若的面积与面积相等，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或 【解析】（1）解：直线与相交于点P，点P的横坐标为，直线的函数表达式为， 当时，， 的坐标为， 把代入，得， 解得：； （2）解：∵直线的函数表达式为与y轴交点为A， 当时，， 点A的坐标为， ∵直线的函数表达式为与y轴交点为B， 当时，， ， ， 又由，可得， 令与x轴的交点为E，    当时，，解得：， 点E的坐标为， 设点C的坐标为，则， 解得：或， 的坐标为或． 7．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.6 11.2 13.8 (1)依据小亮测量的数据，求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)9个 【解析】（1）解：观察数据可知，每增加1个碗，碗的总高度增加， 则与之间的函数关系满足一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将点和代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． （2）解：由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以此时碗的数量最多为9个． 8．自我县推进“四个蹄子赶超四个轮子”工程以来，某养牛基地的规模逐渐扩大．为将优质牛肉销售至更广泛的市场，养牛基地通过东方甄选等直播平台，将优质牛肉快递至全国各地．养牛基地现与甲、乙两家快递公司合作： 甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克18元收费；超过1千克，超过的部分按每千克12元收费． 乙公司：按每千克14元收费，另加包装费3元．设小明的快递物品x千克． (1)当时，请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； (2)当x为何值时，两家公司收费相同． (3)现有4500千克牛肉，养牛基地决定同时与甲、乙两公司合作．甲、乙两公司都由于人手不足，每家公司最多可快递3000千克牛肉．养牛基地怎样与两家快递公司合作更省钱？最低运费是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)养牛基地在甲公司快递3000千克牛肉，乙公司快递1500千克牛肉时，运费最低，最低运费是57009元 【解析】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时： 解得： 当时，两家公司收费相同； （3）解：设在甲公司快递m千克牛肉，则在乙公司快递（）千克牛肉，运费为W， 随m的增大而减小 每家公司最多可快递3000千克牛肉 当时，元 养牛基地在甲公司快递3000千克牛肉，乙公司快递1500千克牛肉时，运费最低，最低运费是57009元． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.4 一次函数的应用 题型一 最大利润问题 1．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的关系式； (2)这100台电脑的销售总利润能否为15760元？请说明理由． 2．某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，并确定最少费用W的值． 3．某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 4．近年来；市民交通安全意识逐步增强，骑行用头盔需求量持续增大．某生产厂家销售的甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元．某商店打算购进头盔共100顶，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每顶降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少顶甲种头盔能使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 5．为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． (1)求y与x的函数解析式； (2)当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 6．某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 7．某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 (1)求关于的函数关系式； (2)若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 题型二 行程问题 1．2024年12月，台湾省前领导人马英九第三次访问在陆，21日到达第二站成都，一行人乘车前往距驻地170千米的大熊猫基地参观，下面是他们离开驻地的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，她们出发2.3小时后，离目的地还有（    ）千米． A．48 B．32 C．28 D．22 3．甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 4．小英目前在甲地工作，“十一黄金周”期间，回乙地探亲．甲乙两地相距，现有一列火车从甲地出发，以的速度向乙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与乙地的距离． (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)火车离开甲地行驶了40分钟，此时小英距离家里还有多远？ 5．如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 6．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 7．如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 8．智慧学习小组成员共同编制如下一个数学问题：小敏从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，然后散步走回家．小敏离家的距离与她所用的时间的关系如图所示：解答下列问题： (1)小敏家离体育场的距离为_______，小敏跑步的平均速度为_______． (2)当时，请直接写出关于的函数表达式． 题型三 方案选择 1．某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 2．“双减”政策受到各地教育部门积极响应，某校为加强学生体育锻炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价4元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球个． (1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出、与的函数关系式； (2)当时，该班在哪个商店购买更省钱？ 3．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 4．河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x张，费用为y元） 方案一：充值元购买年卡，每张门票元． 方案二：每张门票的单价按图中的折线所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．    (1)当购买张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？ (2)求方案二中y关于x的函数关系式，并写出折线所表示的实际意义． (3)该单位选择哪种购买方案更划算？ 5．馇酥是陕西省咸阳市乾县的著名小吃，被列为陕西省第二批非物质文化遗产项目之一，作为当地的民间食品，有着悠久的历史和文化背景，因其油多而不腻、糖多而不厌、滋养而不过补，深受省内外人们的喜爱．王英去咸阳旅游，准备带些馇酥回家给家人品尝，她发现甲、乙两家食品超市都在销售相同品质的馇酥，且标价均为12元/千克，经询问，两家超市均给出了优惠方案，甲超市的优惠方案是：无论购买多少，一律按标价的8折付款；乙超市的优惠方案是：若一次性购买不超过5千克，按标价付款，若一次性购买超过5千克，则超过部分按标价的5折付款．设王英购买的数量为x（）千克，在甲超市购买需付款元，在乙超市购买需付款元． (1)分别求、与x之间的函数关系式； (2)若王英一次性购买9千克，请计算并说明，王英在哪家超市购买较划算？ 6．毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 7．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 (1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； (2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？ 题型四 一次函数与几何综合 1．8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ． 3．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 4．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)求的面积； 5．如图，一次函数的图象过点，与x轴相交于点C．过点A作轴，垂足为B．    (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 6．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 7．小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 题型五 其他问题 1．某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 2．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数关系如图所示，则图中的值为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 3．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 4．空气中传播的速度与气温之间的关系式为；当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 m． 5．一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 6．高空的气温与距地面的高度有关，某地地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降，请直接写出该地空中气温与高度之间的关系式，并求距地面处的气温T． 7．已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数． 35 50 55 …… 35 20 15 …… (1)求与之间的函数表达式； (2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？ 1．对一次函数，下列结论中错误的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．点在该函数的图象上 C．函数的图象与直线平行 D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为 2．如图，已知正方形的边长为4，点从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为 ． 4．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示． (1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式． (2)两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ 5．某水果店销售甲、乙两种苹果，售价分别为25元、20元、甲种苹果的进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的关系如图所示，乙种苹果的进价为14元． (1)求甲种苹果进货总金额y(单位：元)与甲种苹果的进货量x(单位：)之间的函数解析式；(不要求写出自变量的取值范围) (2)若该水果店购进甲、乙两种苹果共，并能全部售出，其中甲种苹果的进货量不低于，且不高于． ①求销售两种苹果所获总利润w(单位：元)与甲种苹果进货量x(单位：)之间的函数关系式，并给出总利润最大的进货方案； ②为回馈客户，水果店决定在总利润最大的前提下对两种苹果进行让利销售，甲、乙两种苹果的售价均降低a元，若所获总利润恰好为940元，则a的值为 ． 6．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为，已知直线，分别交y轴于A，B两点．    (1)求k的值； (2)点C是x轴的一点，若的面积与面积相等，求点C的坐标． 7．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.6 11.2 13.8 (1)依据小亮测量的数据，求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 8．自我县推进“四个蹄子赶超四个轮子”工程以来，某养牛基地的规模逐渐扩大．为将优质牛肉销售至更广泛的市场，养牛基地通过东方甄选等直播平台，将优质牛肉快递至全国各地．养牛基地现与甲、乙两家快递公司合作： 甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克18元收费；超过1千克，超过的部分按每千克12元收费． 乙公司：按每千克14元收费，另加包装费3元．设小明的快递物品x千克． (1)当时，请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； (2)当x为何值时，两家公司收费相同． (3)现有4500千克牛肉，养牛基地决定同时与甲、乙两公司合作．甲、乙两公司都由于人手不足，每家公司最多可快递3000千克牛肉．养牛基地怎样与两家快递公司合作更省钱？最低运费是多少？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$