专题04：空间向量与立体几何14种考法专项训练-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题06 空间向量与立体几何14种考法 考法1：空间向量的有关概念与运算 1．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】∵， 故选:B 2.【嘉定2023一模11】在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.【答案】 【解析】依题意：，所以在方向上的投影向量为 3．已知棱长为的正四面体，为中点，为中点，则___________. 【答案】## 【详解】 . 故答案为：. 4．已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______. 【答案】 【详解】解：因为，，， 所以，解得， 所以， 所以，， 因为向量与所成角为钝角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 此时与共线同向， 综上可得. 故答案为： 考法2：平面基本性质的理解 5．.(2020·衡水中学模拟)有下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任意三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面． 其中真命题的所有序号有________． 【答案】②③ 【解析】①中，对于平面四边形来说不成立，故①是假命题；②中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故②是真命题；由②的分析可知③是真命题；④中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故④是假命题． 6．（2022·上海·高三专题练习）在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（       ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 【答案】A 【解析】如图所示， 因为EF属于一个面ABC，而GH属于另一个面ADC，且EF、GH相交于点P， 所以点P在两面的交线上， 又AC是两平面的交线， 所以点P必在线AC上. 故选：A. 考法3：异面直线的判定 7．如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ） A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线 C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线 【答案】B 【解析】设，连接， 因为平面，平面，， 故直线与异面直线. 在矩形中，因为为所在棱的中点，故， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，， 故，故， 故选：B 8．（2019·上海松江·高三二模）在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________ 【答案】 【分析】先求出12条棱中任取三条的情况属,再数出符合条件的情况数,进一步求出概率 【详解】正方体中共有12条棱,任取其中三条,则可能的结果有种,若它们所在的直线两两垂直,则需要在“前、后”,“左、右”,“上、下”中各选取一条符合条件的棱,共有8中,故 故答案为 【点睛】本题考查组合数,考查线线异面关系,考查概率问题 考法4：空间中的位置关系的判定 9.【杨浦2023一模14】对于平面和两条直线、，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若、与所成的角相等，则∥ C. 若∥，∥，则∥ D. 若，∥，在平面外，则∥ 【答案】D 【解析】对A. ，A错误；对B，与可以相交，平行或异面，B错误； 对C，与可以相交，平行或异面，C错误；对D，由直线与平面平行的判定定理得，故D正确. 10．（2024·上海静安·二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】若，，则或与相交或与异面，故A错误； 若，，，则或与相交，故B错误； 若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 若，，，，当与相交时，有，否则，与不一定平行，故D错误． 故选：C． 11.【青浦2023一模14】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）. A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 B 若，平行于同一平面，则与可能异面 C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D. 若，垂直于同一平面，则与可能相交 【答案】A 【分析】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B，D；利用反证法推理说明C作答. 【解析】法一：对于A，因，不平行，令，存在直线， 若，则，故A不正确；因为是单选题，所以选A 法二：对于B，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于， 把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，B正确； 对于C，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，C正确； 对于D，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，D正确. 综上，选A 12.【浦东2023一模15】已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①平面内的所有直线均与直线异面； ②平面内存在与直线垂直的直线； ③平面内不存在直线与直线平行； ④平面内所有直线均与直线相交. A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】对于①，错误，反例：平面内存在直线与直线相交； 对于④，错误，反例：平面内存在直线与直线异面；而②，③正确；所以选B. 13．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 【答案】D 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【详解】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 考法6：空间几何体的结构特征 14．（2024春•闵行区校级月考）在三棱锥中，，，，．若和都是等腰直角三角形，则满足条件的有序实数对，，的个数为 　3　． 【分析】根据题意，按垂直的情形分3种情况讨论，分析，，可能的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，如图所示，为等边三角形，且，都是等腰直角三角形， 分3种情况讨论如下： ①当，时，， 此时中，． 所以，，， 此时，，，，此时，，，2，； ②当，时，， 此时中，， 此时，此时，，， 此时，，，，； ③当，时，， 此时中，， 此时，此时，，， 此时，，，1，； 所以，，的取值有3种不同情况． 故答案为：3． 【点评】本题考查棱锥的结构特征，注意按垂直的情形分情况讨论，属于基础题． 考法7：空间几何体的表面积和体积 15.【黄浦2023一模8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】 13.【崇明2023一模8】将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为 . 【答案】 【解析】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图 ，则扇形弧长 设圆锥底面圆半径为，则，得 则在中，圆锥的高 16．（2023•黄浦区二模）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为 　　． 【分析】先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积． 【解答】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为， 故几何体的表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题． 17．（2023•松江区模拟）已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为 　　． 【分析】根据条件可以求出母线长，进而可以求出结果． 【解答】解：如图所示，为底面圆心，，，则， 在中由等面积可知， 即， 又因为，即， 则， 则该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题． 考法8：球的体积和表面积 18．（2024•浦东新区校级四模）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 　　． 【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解． 【解答】解：球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为， 所以球的表面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查球的表面积，属于基础题． 19．（2024•闵行区三模）现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 　　（损耗忽略不计）． 【分析】利用圆柱的体积与球的体积相等，列出方程求解即可． 【解答】解：由圆柱和球的体积相等得：， 该钢球的表面积为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆柱和球的体积计算，属基础题． 20.【青浦2023一模11】已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，为上底面圆的圆心，为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为_________.【答案】 【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，由公式算球的体积. 【解析】由于AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，，如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为， 由外接球的定义，，易得在线段上， 又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径， ，则 21．（2024•浦东新区校级模拟）半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为 　　． 【分析】依题意作圆锥轴截面图，按球缺的定义结合几何条件即可求解． 【解答】解：如图所示为圆锥轴截面，，为小球与圆锥侧面的切线上两点，圆锥母线， 设内切球的半径为．由题意是等边三角形，则，， 所以小球的半径． 又，所以，则， 解得，则是中点， 同理可得是中点，所以， 故到的距离为，则上部分球缺的高， 上部分即较小部分球缺的体积为， 则较小部分球缺的体积与球的体积之比为． 故答案为：． 【点评】本题考查球体的体积的计算，考查转化思想，考查运算能力和直观想象，属于中档题． 考法9：直线与平面平行的证明 22．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； （2）因为平面，平面，所以，，又， 故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，则，， 因为平面，平面，所以， 所以，解得， 所以 ，则， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 23．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为平面，是的中点，，， 所以，为直角三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 24．（2024·上海长宁·二模）如图，在长方体中，； (1)求二面角的大小； (2)若点在直线上，求证：直线平面； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. （2）设，求出，则，再由可证明直线平面. 【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为 所以， 所以二面角的大小为. （2）设，则设，， 所以，所以， 平面的法向量为， ，因为平面， 所以直线平面. 25．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 考法10：直线与平面垂直的证明 26．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理可得，，由此即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，求解以及平面的法向量为，利用向量的坐标运算得线面夹角即可；方法二：利用体积相等求解点到平面的距离，即可得与平面所成角． 【详解】（1）证明：由题意得，， ，， ， 在中，由，得， 同理可得，又平面，故平面. （2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为轴正方向建立空间直角坐标系， 则点，故，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 故， 因此直线与平面所成角的正弦值. （方法二），， 则，． 记点到平面的距离为，因为， 所以，则， 设直线与平面所成角为，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 27．（2023上·上海松江·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可. 【详解】（1）由底面，平面，得， 由，得，而平面， 所以平面． （2）由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，， 显然，四边形为矩形，于是， 而四棱锥的体积，解得， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 28．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【详解】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 29．（2024·上海闵行·二模）如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】（1）连接，在等腰梯形中，，，， 则，于是，即， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得， 在中，， 由平面，平面，得， 则，于是， 因此为二面角的平面角， 因为，平面， 则平面，又平面，则， 在中，，，则， 所以二面角的大小为. 考法11：空间中的角度问题 30．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 31.【静安2023一模11】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 . 【答案】五； 【提示】，，所以 32．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解. 【详解】圆锥的轴截面图如图所示： 由题意，解得，即圆锥的底面半径为. 故答案为：. 33．（2023·上海崇明·统考一模）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线. 【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以底面圆半径为1，所以母线长等于. 故答案为：. 16．【上海市奉贤区2023届高三二模】如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）取中点，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面，                                        设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 解得， 所以， 因为底面，     所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 17．【上海市宝山区2023届高三二模】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． (1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以, 在中， 因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为， 所以， 则点A、B、D、P的坐标分别是， E是PB的中点，则，于是，. 设的夹角为θ，则有， 故， ∴异面直线DE与PA所成角的大小是. （2）连接， 分别是的中点， ， 平面PAD，平面PAD， 平面PAD. 因为，, 设平面PAD的法向量， 则，令，则， 所以，又， 则点E到平面PAD的距离. 考法12：点、线、面间的距离计算 18．已知空间三点，则点到直线的距离为_____________． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】易知， 则，， 故点到直线的距离为． 故答案为：. 19．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 20．（2024春•杨浦区校级月考）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则　　 A． B． C． D． 【分析】通过平行得到平面与的交点，从而得到与面的交线，再由平行得到与平面的交线，从而确定点的位置，根据为的四等分点得到为的三等分点，从而得到的长． 【解答】解：如图， 平面与平面的交线与平行， 即过点作的平行线，交于点，连接， 因为，分别为棱和的中点， 所以为的四等分点， 过点作，交于点， 从而为的三等分点， 故． 故选：． 【点评】本题考查线面位置关系的应用，属于中档题． 21．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）连接，显然，因为， ． 所以，于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有， ， 点到平面的距离为： . 22．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明线面垂直； (2)利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以 且， 所以以为原点，所在直线为轴建系如图， 因为，， D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点， 所以, 设平面的法向量为， 所以所以， 令，则， 因为，平面BDE，所以平面BDE. （2）, 直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影， 设与的夹角为， 则有 所以， 所以直线MN到平面BDE的距离为. 考法13：存在性问题 23.【虹口2023一模19】(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分) 如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2. （1）求证：； （2）求点C到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点E，使得直线DE 与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】（1）由点在底面ABC上的投影为AC的中点D，知又 故 ……2分 因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故 而故 由 得 ……4分 （2）由点 D为AC的中点，侧面 为菱形，知由是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2， 可得 由（1）知直线两两垂直，故以点 为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系；则相关点的坐标为： …… 6分 设平面的一个法向量为则 即取 得 …… 8分 又故点C到平面的距离为 ……10分 （3）假设满足条件的点E存在，并设则 ……12分 于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，可得 …… 14分 解得 又 因此存在满足条件的点E，且 …… 16分 24.【闵行2023一模18】如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线. （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧BC上是否存在一点D，满足∥平面？若存在， 求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】（1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决； （2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小 【解析】（1）如图，延长交于点，显然， 又因为，，所以，……2分 因为，所以， 所以线段的长即为点到平面的距离， ………4分 由题意得， 所以点到平面的距离为； ……………………6分 （2）如图，过点作的平行线，交劣弧于点，连接，， ……8分 因为∥，平面，平面，所以∥平面， 同理可证∥平面， 因为，且平面，平面， 所以平面∥平面， ………………………10分 又因为平面，所以∥平面. 所以在劣弧上存在一点，满足平面. ………12分 因为为底面圆的内接正三角形， 所以. ………………14分 考法14：最值与范围问题 25．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即.故选：A． 26．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为　　 ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 【分析】直接证明直线面，即可判断①是否正确；由正方体结构特征，即可判断②是否正确；证明三棱锥的体积为定值，即可判断③是否正确；求出异面直线与所成角的最小值，即可判断④是否正确． 【解答】解：对于①：因为，，， 所以面， 又面， 所以，同理可得， 因为， 所以面，故①正确； 对于②：由正方体可知平面不垂直平面，故②错误； 对于③：因为，面，面， 所以面， 因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值， 又△的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故③正确； 对于④：当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为， 所以异面直线与所成角的取值范围为，，故④错误， 故选：． 【点评】本题考查命题真假得判断，空间直线与平面位置关系，解题中需要空间想象能力与运算求解能力，属于中档题． 27．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由二面角的平面角定义，可得为和所在的两个半平面所成的二面角，设，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表达式，进而求得取值范围． 【解答】解：设，，则， 由题意，，在上的投影是同一点，设为，连接，， 则为和所在的两个半平面所成的二面角， 则， 由，可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，所以，则． 故选：． 【点评】本题考查二面角的定义，考查相似三角形及余弦定理的应用，属中档题． 28．（2023秋•嘉定区校级期末）如图，在中，已知，，是斜边上任意一点（不含端点），沿直线将折成直二面角，当　　时，折叠后、两点间的距离最小． A． B． C． D．3 【分析】设，然后用将，，表示出来即可求解． 【解答】解：如图， 设，则， 过作，垂足为，过作交的延长线于， 由已知条件可得，平面，，， ，，，，则， 则， 则当，即为的角的角分线时，取得最小值， 此时，即，解得． 故选：． 【点评】本题考查三角函数在几何体中求距离的应用，属于中档题． 29．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE垂直AC，得底面，又EB垂直AC，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，， 设，，，，， 设平面VBC的一个法向量， 则，即，所以. 设平面VEF的一个法向量，则，即， 解得，令，则，所以，设平面与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则 当时，的最大值为. 故选：D 30．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 【分析】（1）先证明平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明； （2）先根据体积建立方程求出，再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求解． 【解答】解：（1）证明：根据题意可知，，且， 可得平面平面，又直线平面， 直线平面； （2）设，则根据题意可得该四棱柱的体积为， ，底面，在底面内过作，垂足点为， 则在底面内的射影为， 根据三垂线定理可得， 故即为所求， 在中，，，， ，又， ， 二面角的大小为． 【点评】本题考查线面平行的证明，面面平行的判定定理与性质，二面角的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题． 考法15：应用问题 31．（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．      【答案】/ 【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积. 【详解】分别取，的中点，，连接，，    过点作的垂线，垂足为， 因为，,所以，所以， 根据对称性易得， 所以， 在中，，所以， ， 又， 所以. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题06 空间向量与立体几何14种考法 考法1：空间向量的有关概念与运算 1．已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.【嘉定2023一模11】在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________. 3．已知棱长为的正四面体，为中点，为中点，则___________. 4．已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______. 考法2：平面基本性质的理解 5．.(2020·衡水中学模拟)有下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任意三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面． 其中真命题的所有序号有________． 6．（2022·上海·高三专题练习）在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（       ） A．点必在直线上 B．点必在直线BD上 C．点必在平面内 D．点必在平面外 考法3：异面直线的判定 7．如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ） A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线 C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线 8．（2019·上海松江·高三二模）在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________ 考法4：空间中的位置关系的判定 9.【杨浦2023一模14】对于平面和两条直线、，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若、与所成的角相等，则∥ C. 若∥，∥，则∥ D. 若，∥，在平面外，则∥ 10．（2024·上海静安·二模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 11.【青浦2023一模14】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）. A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 B 若，平行于同一平面，则与可能异面 C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 D. 若，垂直于同一平面，则与可能相交 12.【浦东2023一模15】已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①平面内的所有直线均与直线异面； ②平面内存在与直线垂直的直线； ③平面内不存在直线与直线平行； ④平面内所有直线均与直线相交. A.1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 考法6：空间几何体的结构特征 14．（2024春•闵行区校级月考）在三棱锥中，，，，．若和都是等腰直角三角形，则满足条件的有序实数对，，的个数为 　　． 考法7：空间几何体的表面积和体积 15.【黄浦2023一模8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为 . 16．（2023•黄浦区二模）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为 　　． 17．（2023•松江区模拟）已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为 　　． 考法8：球的体积和表面积 18．（2024•浦东新区校级四模）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 　　． 19．（2024•闵行区三模）现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 　　（损耗忽略不计）． 20.【青浦2023一模11】已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，为上底面圆的圆心，为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为_________. 21．（2024•浦东新区校级模拟）半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为 　　． 考法9：直线与平面平行的证明 22．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 23．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与的所成角的大小． 24．（2024·上海长宁·二模）如图，在长方体中，； (1)求二面角的大小； (2)若点在直线上，求证：直线平面； 25．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 考法10：直线与平面垂直的证明 26．（2024·上海徐汇·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 27．（2023上·上海松江·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 28．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 29．（2024·上海闵行·二模）如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 考法11：空间中的角度问题 30．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 31.【静安2023一模11】在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 . 32．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为 ． 33．（2023·上海崇明·统考一模）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 16．【上海市奉贤区2023届高三二模】如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 17．【上海市宝山区2023届高三二模】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． (1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 考法12：点、线、面间的距离计算 18．已知空间三点，则点到直线的距离为_____________． 19．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 20．（2024春•杨浦区校级月考）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，过点，，的平面交于点，则　　 A． B． C． D． 21．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 22．如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，. (1)求证：平面BDE； (2)求直线MN到平面BDE的距离. 考法13：存在性问题 23.【虹口2023一模19】(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分) 如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2. （1）求证：； （2）求点C到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点E，使得直线DE 与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 24.【闵行2023一模18】如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线. （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧BC上是否存在一点D，满足∥平面？若存在， 求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由. 考法14：最值与范围问题 25．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为　　 ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 27．（2024•浦东新区三模）边长都是为1的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，、分别是对角线、上的动点，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•嘉定区校级期末）如图，在中，已知，，是斜边上任意一点（不含端点），沿直线将折成直二面角，当　　时，折叠后、两点间的距离最小． A． B． C． D．3 29．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 30．（2023•上海）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 考法15：应用问题 31．（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．      2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$