专题03：平面向量的12种考法专项训练-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题03 平面向量的12种考法 考法1：平面向量的投影向量与数量投影 1．（2024·上海奉贤·二模）已知向量，，则在方向上的投影向量为 ． 2．（23-24高三上·上海杨浦高级中学·开学考试）已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是 ． 3．（2023·上海杨浦·三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为 考法2：平面向量的相等与共线 4. （普陀）设、，若向量满足，且向量与互相平行， 则的最小值为 . 5．（2022·上海·高三专题练习）已知向量，若，则_________． 6．（2022·上海·高三专题练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____. 7．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·上海宝山·二模）已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为 ． 考法3：平面向量的垂直问题 9．（2023松江二模）已知空间向量，，，若，则　　． 10．（2024·上海金山·二模）已知向量，，若，则实数的值为 ． 11．（23-24高三上·上海·期中）已知，是两两垂直的单位向量，则 ． 12．（2020•新课标Ⅰ）设向量，，若，则　　． 考法4：平面向量基本定理的应用 13．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    14．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 15．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 考法5：平面向量的坐标运算 16．（2023·上海徐汇·三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 17．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 考法6：平面向量的数量积（定值、最值与范围） 18．（2023•上海）已知向量，，则　　． 19．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　． 20．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 . 21．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为 . 22．（2023·河南安阳·统考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 23.如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点，是半圆上的动点，则          的最大值是          ． 24．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 25.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边包括端点上的一个动点，则的最大值为          ． 26．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考法7：平面向量的模长问题（定值、最值与范围） 27．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则　　 A． B．2 C． D．50 28．（2020•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且，则　　． 29. （2023杨浦二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______ 30．（2023·上海崇明·统考二模）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________． 31．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________. 32．（2022·上海市金山中学高三期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 33．（2023·上海虹口·高三统考期中）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为________. 34．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______． 35．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考法8：平面向量的夹角问题（定值、最值与范围） 36．（2019•新课标Ⅲ）已知向量，，则，　　． 37．（2019•新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且，若，则，　　． 38．（2020•全国）设点，，在上，若，则　　 A． B． C． D． 39．（2020•浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是　　． 40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·安徽宣城·统考二模）已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为________． 考法9：平面向量中参数的范围最值 42．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，，为边上的高，为的中点，若，其中，，则等于___________. 43．（2022·上海市川沙中学高三期中）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________. 44．在平面直角坐标系中，点在圆上运动 定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 45．（2020·上海·华师大二附中高三阶段练习）在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______． 46．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________. 考法10：平面向量与集合综合 47.如图所示，已知四边形是矩形，为对角线与的交点，设点集，向量的集合，且，不相等，则集合有          个元素． 48．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 49．（23-24上海高三·期末）如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时， ． 考法11：平面向量结论辨析 50．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 51．【上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三三模】设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p和命题q都是真命题 D．命题p和命题q都是假命题 52．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 考法12：平面向量的其它问题 53．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量满足：，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 54．（2022·全国·高三专题练习）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（    ） A．若m+n=3，则M的最小值为3 B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值 C．若m·n=3，则M的最小值为3 D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值 55．（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 56．（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题03 平面向量的12种考法 考法1：平面向量的投影向量与数量投影 1．（2024·上海奉贤·二模）已知向量，，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求出答案. 【解析】在方向上的投影向量为. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海杨浦高级中学·开学考试）已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的公式计算即可． 【解析】向量在向量方向上的投影向量是． 故答案为： 3．（2023·上海杨浦·三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为 【答案】 【分析】设利用向量的数量积坐标公式、模的公式化简即得解. 【解析】设， 因为在上的数量投影为， 所以， 化简得. 所以点B所在直线方程为. 故答案为： 考法2：平面向量的相等与共线 4. （普陀）设、，若向量满足，且向量与互相平行， 则的最小值为 . 答案：. 5．（2022·上海·高三专题练习）已知向量，若，则_________． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 6．（2022·上海·高三专题练习）设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____. 【答案】 【分析】求出，利用三点共线，得到，求出λ和k. 【解析】由题意，， 又，且A、B、D三点共线， 由共线向量定理得，存在实数使得成立， 即， 则，解得. 故答案为：. 7．（2021·上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合平面向量的加法运算求得，进而根据平面向量共线得到，对应系数相等即可求出结果. 【解析】因为， 又因为点P、Q、S共线，所以， 所有，因此， 故，解得， 故选：D. 8．（2022·上海宝山·二模）已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】由于是上的一动点(不包含两点)， 且满足，所以且， 以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为： 考法3：平面向量的垂直问题 9．（2023松江二模）已知空间向量，，，若，则　　． 答案：-1 10．（2024·上海金山·二模）已知向量，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【解析】因为， 所以，解得. 故答案为：. 11．（23-24高三上·上海·期中）已知，是两两垂直的单位向量，则 ． 【答案】 【分析】用向量的模的定义直接运算即可得出答案. 【解析】因为，是两两垂直的单位向量， 所以，则. 故答案为：. 12．（2020•新课标Ⅰ）设向量，，若，则　　． 【解析】向量，，若， 则， 则， 故答案为：5． 考法4：平面向量基本定理的应用 13．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.    【答案】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【解析】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【解析】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 15．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【答案】/ 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【解析】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 考法5：平面向量的坐标运算 16．（2023·上海徐汇·三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据函数的平移和表达式变换即可求解. 【解析】向右平移1个单位后得， 所以向右平移1个单位，向上平移两个单位可以得到， 所以， 故答案为：. 17．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 【解析】，， ，， 由，得， 整理得：，即． 故选：． 考法6：平面向量的数量积（定值、最值与范围） 18．（2023•上海）已知向量，，则　　． 【解析】向量，， ． 故答案为：4． 19．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则　　． 【解析】方法1：由得或或， 或或， 又，，，，， ，，，． 故答案为：． 方法． 故答案为：． 20．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 . 【答案】 【解析】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 21．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为 . 【答案】32 【解析】由题意，圆， 所以设圆心，半径为2， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以， 故， 又为椭圆上一个动点，易知为椭圆的左焦点， 故当点位于椭圆右顶点时，最大， 此时， 则的最大值为． 故答案为：32． 22．（2023·河南安阳·统考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为． ， 画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大． 直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为， 解得或（舍去）． 故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为， 所以，所以， 即的最大值为． 故选：C 23.如图，在菱形中，，，以为直径的半圆与交于点，是半圆上的动点，则          的最大值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积，利用余弦定理解三角形，属于较难题． 取的中点，连接，得是等边三角形，所以 取的中点，连接，，据此可得答案． 【解答】 解：如图，取的中点，连接， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 在中，  ， 所以 ． 取的中点，连接，交半圆于点， 则，， 又 ， 当点与点重合时，取等号． 故的最大值是． 故答案为；． 24．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积，再由二次函数的性质计算可得. 【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则，， 则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，当时， 所以. 故答案为： 25.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边包括端点上的一个动点，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数量积的坐标运算，建立平面直角坐标系，数形结合即可解题． 【解答】 解：如图所示，以的中点为原点，边所在的直线为轴， 边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，中点 设，则，， ． ，，直线， 又在直线上，， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 26．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且， ，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系： 则，，设，则有， ，， ，， 化简得，由，当时，有最大值6. 故选：C 考法7：平面向量的模长问题（定值、最值与范围） 27．（2019•新课标Ⅱ）已知向量，，则　　 A． B．2 C． D．50 【解析】，， ，，，， ． 故选：． 28．（2020•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且，则　　． 【解析】，为单位向量，且， ， 可得， ， 所以， 则． 故答案为：． 29. （2023杨浦二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______ 【答案】 【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可. 【详解】 解：如图，，，则，， 已知，即，所以， 取BD的中点O，则有， 而，根据三角形三边关系可知 则，所以，当A，O，C三点共线时取等号， 记向量的夹角为，则， 同理， 由，可得， 则， 当，即时取等号， 所以，即的最小值是， 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长. 30．（2023·上海崇明·统考二模）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】依题意，设，，. 根据，即，即，整理得. 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，则有，故，解得. 故. 故答案为： 31．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________. 【答案】/ 【解析】设，则由得，可得， 由得， 因此，表示圆上的点到直线上的点的距离； 故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即. 故答案为： 32．（2022·上海市金山中学高三期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解. 【解析】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，所以， 即，所以，即 由，知， 所以 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力. 33．（2023·上海虹口·高三统考期中）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为________. 【答案】 【解析】如图作，， 如图，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系， 因为，，， 所以点的坐标为，点的坐标为 作，设点的坐标为， 因为， 所以，所以， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 因为对任意的实数，均有， 所以，又， 所以恒成立， 所以， 所以，即， 作，设点的坐标为， 则，即， 所以点在直线上， 因为， 又点在圆上一动点， 点在直线上一动点， 所以点到点的最小距离为点到点的距离减去圆的半径， 即，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立， 因为点到直线的距离， 所以点到点的距离大于等于，即， 所以， 当且仅当垂直于直线且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 34．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由，又向量与互相平行， 所以，故， 令，，则， 所以，将按向量平移至， 所以是直线上的动点，如下图示， 所以，故， 由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短， 故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1. 故答案为： 35．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 则，， 即C在以为圆心，2为半径的圆上， 如图，取，则，又， 所以有～，所以， 又因为，， 所以． 故选：B. 考法8：平面向量的夹角问题（定值、最值与范围） 36．（2019•新课标Ⅲ）已知向量，，则，　　． 【解析】， ， ， ，． 故答案为：． 37．（2019•新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且，若，则，　　． 【解析】， ， ， ，． 故答案为： 38．（2020•全国）设点，，在上，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】设， ， ，即， ，解得， ，同理可得，，， △是等边三角形， ． 故选：． 39．（2020•浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是　　． 【解析】设、的夹角为，由，为单位向量，满足， 所以， 解得； 又，，且，的夹角为， 所以， ， ； 则， 所以时，取得最小值为． 故答案为：． 40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 即，； ， 即，； 设向量与所成夹角为， （当且仅当时取等号）； 又，. 故选：A. 41．（2023·安徽宣城·统考二模）已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为________． 【答案】 【解析】因为向量满足， 所以向量满足. 设与的夹角为 所以 因为任意的的最小值为，所以恒成立， 配方后可得：恒成立， 所以当时，取得最小值3，此时，解得：. 又因为，所以. 因为，所以. 故答案为：. 考法9：平面向量中参数的范围最值 42．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，，为边上的高，为的中点，若，其中，，则等于___________. 【答案】 【分析】根据向量的加，减，数乘的法则，结合图形，求解的值. 【解析】由条件可知，所以， ， 所以，， 故答案为： 43．（2022·上海市川沙中学高三期中）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】由向量的线性运算得的关系式，然后由基本不等式得最小值． 【解析】由题意， ， ， 因为在线段上，所以，，， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 44．在平面直角坐标系中，点在圆上运动 定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 45．（2020·上海·华师大二附中高三阶段练习）在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【解析】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 46．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________. 【答案】 【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值， 表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可. 【解析】不妨设 ， ，则由题知 又 ，所以 整理得① ，所以 又 ， 所以 而 将①代入整理得： 令 ， ，有最小值， 又 ，当且仅当时等号成立 所以 ，当时有最大值 . 故答案为： . 考法10：平面向量与集合综合 47.如图所示，已知四边形是矩形，为对角线与的交点，设点集，向量的集合，且，不相等，则集合有          个元素． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量与集合的综合，属于较难题． 通过向量的表示得集合的元素，注意排除向量相等的情况． 【解答】 解：点集，向量的集合且，不重合， ， 但是其中，，，，，，，， 故中元素有个， 故答案为． 48．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ． 【答案】3 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【解析】由，得向量、、分别看作是以为起点， 以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，    由对任意的，均有，得向量、、是以为起点， 各边中点为终点的向量，则， 所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答. 49．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时， ． 【答案】3 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【解析】延长AB到M满足，取AC的靠近A的三等分点N，连接MN，如图， ，则P，M，N三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立， 则的长表示A到直线MN的距离，即的边MN上的高，设， 由，得，则，， 在中，设，由正弦定理得， 于是，，， 则 ， 若不是钝角，则， 由，得，即， 则，设， 则，，它是减函数，当时，，不满足题意， 若是钝角，则 ，设，则，， 令，，显然，即， ，两边平方整理得， 依题意，方程有非负实根，必有， 解得，此时二次函数图象与x轴有公共点，且对称轴在轴右侧， 因此方程有正实根，即， 此时，，符合题意，， 所以当的面积取得最大值12时，. 故答案为：3 【点睛】方法点睛：根据向量共线定理得出点在一条定直线上，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值即可. 考法11：平面向量结论辨析 50．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【解析】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 51．【上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三三模】设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p和命题q都是真命题 D．命题p和命题q都是假命题 【答案】B 【详解】因为， 所以当时，取得最小值. 所以， 化简得 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一. 所以命题p为假命题，命题q为真命题. 故选：B. 52．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知，从而利用数形结合求得； （2）与（1）比较仅改变了，同理利用数形结合去求出； （3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角为，从而确定两向量的位置关系，再分析,即可求得最小值; （4）关键是作出图形后，利用转化为几何关系求最小值. 【解析】 由且均为单位向量，作图：， 因为，即，所以点在以为直径的圆上或内部， 又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上， 又由，所以由图可得，故（1）正确； 由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，则点在圆的劣弧上，由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，由，可得， 所以由图可得，故（2）正确； 由平方得：， 又因为，所以得：， 上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立， 所以， 即，所以，由，可得， 又因为，所以，此时均为单位向量，如图： 由，可知 ， 而因为点是单位圆上的动点，所以， 此时由，可得：， 所以，故(3)正确； 由，作一个同心圆且半径为，分别交于点则， 由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得， 所以，而，所以，故（4）正确； 故答案为：（1），（2），（3），（4）. 【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果. 考法12：平面向量的其它问题 53．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量满足：，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果. 【解析】设，且，如图所示： 则，且等号可以取到. 故选：C. 【点睛】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题. 54．（2022·全国·高三专题练习）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（    ） A．若m+n=3，则M的最小值为3 B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值 C．若m·n=3，则M的最小值为3 D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值 【答案】A 【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题． 【解析】：设，如图： 以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，， ，， ． ①若，取，，则， ，，，， ,，此时，、两点重合，所以正确； 取，，则， 当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误； ②若，取，则 ， 当时，，故C错误； 取，时，则， 当时，取最小值，点不唯一，故D错误. 故选：A． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法. 55．（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 【答案】 【分析】首先根据已知条件，容易得出为等腰直角三角形，从而得到点坐标，代入椭圆标准方程，根据解出，再求和焦距即可. 【解析】如图所示： 因为，所以. 又因为，所以. 即为等腰直角三角形. 因为，所以. 又因为在椭圆上，所以. 因为，解得. 所以，焦距为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的基本计算，同时考查了平面向量减法的几何意义，属于中档题. 56．（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 【答案】； 【分析】由平面内三个不共线的向量且在同一直线上，可知，则数列为周期数列，.求解即可. 【解析】平面内三个不共线的向量且在同一直线上 ，即① 用替换上式中所有的，得② ①②两式相加，得，即 则，用替换中所有的，整理得 用替换中所有的，得，即 则数列是周期为6的周期数列. 故答案为： 【点睛】本题考查求周期数列的前项和.属于较难的一道题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$