专题03：平面向量12种考法专项训练-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题03 平面向量的12种考法 1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 考法1：平面向量的投影向量与数量投影 【例1】（2023青浦二模）已知向量和，则在方向上的投影是___________． 【例2】（2023静安二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________. 【例3】（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知，与的夹角为60°，则在上的数量投影为_________. 考法2：平面向量的相等与共线 【例4】（2022•全国高考）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 【例5】（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是 . 【例6】（2024闵行中学高三阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【例7】（2020·上海交大附中高三开学考试）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 考法3：平面向量的垂直问题 【例8】（2023•全国高考）设向量，，若，则　　 A．5 B．2 C．1 D．0 【例9】（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则　　． 【例10】（2022·上海市彭浦中学高三期中）已知向量，．若，则实数k的值为________． 考法4：平面向量基本定理的应用 【例11】（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　 A． B． C． D． 【例12】（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 考法5：平面向量的坐标运算 【例13】（2023•上海高考）已知向量，，则　　． 【例14】（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________. 【例15】（2021•乙卷）已知向量，，若，则　　． 考法6：平面向量的数量积（定值、最值与范围） 公式法、平方法、投影法、极化恒等式、基底法、建系法、转化法 【例16】（2019•新课标Ⅱ）已知，，，则　　 A． B． C．2 D．3 【例17】（2022•乙卷）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 【例18】（2024格致中学高三期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【例19】（2024复旦附中开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【例20】已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例21】在平面直角坐标系中，点在圆上运动，4．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为    ） A． B． C． D． 【例22】（2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 考法7：平面向量的模长问题（定值、最值与范围） 坐标运算法、平方法、构造法 【例23】（2022•乙卷）已知向量，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【例24】（2021•甲卷）若向量，满足，，，则　　． 【例25】（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 【例26】（2023·上海长宁·二模）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 【例27】（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________. 【例28】（2023·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【例29】（2023·山东潍坊一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例30】（2023上海交大附中调研模拟）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______． 考法8：平面向量的夹角问题（定值、最值与范围） 【例31】（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　 A． B． C．5 D．6 【例32】（2023•甲卷）向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 【例33】（23-24高三上·上海虹口·期中）平面上的三个单位向量，，满足，则，，两两间的夹角中最小的角的大小为 ． 【例34】（2023·上海闵行·二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 . 【例35】（2024上海复兴高级中学期中）在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考法9：平面向量中参数的范围与最值 【例36】（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________． 【例37】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________. 【例38】（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是________. 【例39】已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ． 考法10：平面向量与集合综合 【例40】【2020年上海卷12】已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　　． 【例41】（2022·上海·高三专题练习）已知向量的夹角为锐角，且满足､，若对任意的，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为___________. 【例42】（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 考法11：平面向量结论辨析 【例43】（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（    ） A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 【例44】（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【例45】（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若是所在的平面内的点，且.给出四个命题：①；②的最小值一定是；③点、一定在一条直线上；④、在向量方向上的投影一定相等.其中正确的个数是___________. 考法12：平面向量与其它综合 【例46】（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 【例47】（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 【例48】（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则_______. 【例49】对任意两个非零的平面向量和，定义和之间的新运算：若非零的平面向量，满足：和都在集合中，且设与的夹角，则          ． 【例50】定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． 设，求证：； 求中函数的“相伴向量”模的取值范围； 已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取 【例51】在中，角的对边分别为，已知． 求角的大小； 若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 若，且外接圆半径为，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题03 平面向量的12种考法 1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有： （1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 考法1：平面向量的投影向量与数量投影 【例1】（2023青浦二模）已知向量和，则在方向上的投影是___________． 答案：．； 【例2】（2023静安二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________. 答案： 【例3】（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知，与的夹角为60°，则在上的数量投影为_________. 【答案】 【分析】根向量的投影即可求解. 【解析】解：由题意得数量投影为：， 故答案为： 考法2：平面向量的相等与共线 【例4】（2022•全国高考）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，． ， ，． 故选：． 【例5】（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是 . 【答案】 【分析】把用向量表示出来，利用三点共线可求答案. 【解析】因为，所以， 又三点共线，所以. 故答案为：. 【例6】（2024闵行中学高三阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【例7】（2020·上海交大附中高三开学考试）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】或0 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【解析】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 考法3：平面向量的垂直问题 【例8】（2023•全国高考）设向量，，若，则　　 A．5 B．2 C．1 D．0 【解析】向量，，， ，可得， ． 故选：． 【例9】（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则　　． 【解析】向量，为单位向量，且，的夹角为， ， 又与垂直， ， 即，则． 故答案为：． 【例10】（2022·上海市彭浦中学高三期中）已知向量，．若，则实数k的值为________． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【解析】由题意，可得. 故答案为： 考法4：平面向量基本定理的应用 【例11】（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图， ， ，即． 故选：． 【例12】（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【答案】/ 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【解析】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 考法5：平面向量的坐标运算 【例13】（2023•上海高考）已知向量，，则　　． 【解析】因为向量，， 所以，，． 故答案为：． 【例14】（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐标及模长，即可求的坐标. 【解析】由相反向量为且模长为， ∴. 故答案为： 【例15】（2021•乙卷）已知向量，，若，则　　． 【解析】因为向量，， 则， 又， 所以， 解得． 故答案为：． 考法6：平面向量的数量积（定值、最值与范围） 公式法、平方法、投影法、极化恒等式、基底法、建系法、转化法 【例16】（2019•新课标Ⅱ）已知，，，则　　 A． B． C．2 D．3 【解析】，， ， ， 即， 则 故选：． 【例17】（2022•乙卷）已知向量，满足，，，则　　 A． B． C．1 D．2 【解析】因为向量，满足，，， 所以， 两边平方得， ， 解得， 故选：． 【例18】（2024格致中学高三期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 【例19】（2024复旦附中开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接、， 则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 【例20】已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过作的平行线交圆于点，过作，垂足为， 在平行四边形中，，，， 可得，，则由余弦定理可得， 由，可得，则四边形为正方形， 则，因为， 则的最小值为， 即的最小值为，故C正确。 故选：C. 【例21】在平面直角坐标系中，点在圆上运动，4．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设点，而， 则， 因此， 由，得，则， 因此， 所以的取值范围为. 故选：B 【例22】（2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 【答案】/0.25 【解析】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离， 故内切圆半径， 由对称性可知，关于轴对称，设，， 则，， 其中，故 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 考法7：平面向量的模长问题（定值、最值与范围） 坐标运算、平方法、构造圆 【例23】（2022•乙卷）已知向量，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】， 故， 故选：． 【例24】（2021•甲卷）若向量，满足，，，则　　． 【解析】由题意，可得， 因为，，所以， 所以． 故答案为：． 【例25】（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【解析】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 【例26】（2023·上海长宁·二模）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【解析】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 【例27】（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解析】如图，设，，，，， 则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上， ，所以点在射线上， 所以， 作点关于射线对称的点，则，且， 所以（当且仅当点三点共线时取等号） 所以的最小值为， 故答案为：. 【例28】（2023·浙江宁波·高三期末）若单位向量满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 不妨，所以中点坐标为， 因为，所以C在以为直径的圆上，即， 所以， 令， 则 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【例29】（2023·山东潍坊一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知,，故， 如图建立坐标系，，， 设，由可得： ， 所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上， 所以，几何意义为到距离的2倍， 由儿何意义可知， 故选：D. 【例30】（2023上海交大附中调研模拟）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 ，， 由圆的方程知：圆的半径，． 设，则，为线段的中垂线，， ，即， ； ，，解得：， . 故答案为：. 考法8：平面向量的夹角问题（定值、最值与范围） 【例31】（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则　　 A． B． C．5 D．6 【解析】向量，，， ， ，，， ，， 解得实数． 故选：． 【例32】（2023•甲卷）向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，，且，所以， 所以， 即，， 解得，， 所以， 又，， 所以， ， 所以，． 故选：． 【例33】（23-24高三上·上海虹口·期中）平面上的三个单位向量，，满足，则，，两两间的夹角中最小的角的大小为 ． 【答案】 【分析】对两边同时平方化简可求出同理可得，，即可得出答案. 【解析】对两边同时平方可得：， 则，则， 由可得：，两边同时平方可得： ，则， 则， 由可得：，两边同时平方可得： ，则， 则. 所以，，两两间的夹角中最小的角为所成角，大小为. 故答案为： 【例34】（2023·上海闵行·二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 . 【答案】/60o 【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果. 【解析】，是单位向量，由得：， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减， 因此， 所以向量，的夹角的取值范围为.则向量的夹角的最小值为. 故答案为：. 【例35】（2024上海复兴高级中学期中）在平行四边形中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量， 由题意，所以， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A 考法9：平面向量中参数的范围与最值 【例36】（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________． 【答案】或 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值. 【解析】由，得，即， ， 在中，已知，，， 所以 ， 即，解得或 所以实数的值为或. 故答案为：或. 【例37】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________. 【答案】 【解析】由题意可知，为的外心， 设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为, 因为 ，两边乘以，即， 的夹角为，而， 则 ，得①， 同理两边乘 ，即，， 则 得②， ①②联立解得，， 所以， 故答案为： 【例38】（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是________. 【答案】 【解析】以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆直线相切，而，圆心， 所以半径，所以圆：， 因为， 即，因为动点在圆上或圆内移动， 所以，设，则， 所以不等式可化为：， 所以，易得不等式有解，则， 所以，即，解得， 所以原式 ， 所以当，，即，时，. 故答案为：. 【例39】已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴， 建立如图所示平面直角坐标系： 因为，所以，记圆心，半径为， 所以圆的方程为，， 不妨设，所以, ,, 因为所以， 因为， 所以， 所以可得， 将代入上式可得，①， 因为，②， 将①的平方和②的平方相加可得：， 所以， 所以， 将带入可得，，即， 即，所以， 所以的取值范围为。 故答案为： 考法10：平面向量与集合综合 【例40】【2020年上海卷12】已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　　． 【答案】解：如图，设，， 由||＝1，且||∈{1，2}， 分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的k的最大值为6． 故答案为：6． 【例41】（2022·上海·高三专题练习）已知向量的夹角为锐角，且满足､，若对任意的，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据题目信息对任意的，都有|x+y|≤1成立，分别两边平方，分离出，只需，转化为求的最大值，结合式子的特点，利用基本不等式求出最大值为. 【解析】解：因为，且､， 则|x|2=x==1≥(x+y)2恒成立， 所以=恒成立， 只需， 又， 当且仅当18x2=2y2时取等号，此时的最大值为， 所以，即的最小值为， 故答案为： 【点睛】分离出是解题的关键，以及对求的最大值，观察分式的特点联想基本不等式，需要一定的计算能力. 【例42】（2024·上海·模拟预测）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【解析】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 考法11：平面向量结论辨析 【例43】（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（    ） A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 【答案】A 【分析】时，题干条件变形得到，由向量基本定理得到满足条件的点存在且是唯一；当时，条件变形得到，得到三点共线，与已知矛盾，故（2）为真命题. 【解析】当时，， 所以， 所以， 因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确； 当时，，即，所以∥， 因为，有公共点，所以三点共线， 这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在， （2）为真命题. 故选：A 【例44】（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以 ，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值. 【例45】（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若是所在的平面内的点，且.给出四个命题：①；②的最小值一定是；③点、一定在一条直线上；④、在向量方向上的投影一定相等.其中正确的个数是___________. 【答案】2 【分析】根据向量运算得到在边的高所在的直线上，③④正确，再判断①②错误，得到答案. 【解析】，则，即， 故在边的高所在的直线上，故③④正确； 不一定为，①错误； 设高与交于点，故的最小值为最靠近的点对应的，②错误. 故答案为：2. 考法12：平面向量与其它综合 【例46】（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 【答案】 【分析】首先根据已知条件，容易得出为等腰直角三角形，从而得到点坐标，代入椭圆标准方程，根据解出，再求和焦距即可. 【解析】如图所示： 因为，所以. 又因为，所以. 即为等腰直角三角形. 因为，所以. 又因为在椭圆上，所以. 因为，解得. 所以，焦距为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的基本计算，同时考查了平面向量减法的几何意义，属于中档题. 【例47】（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 【答案】； 【分析】由平面内三个不共线的向量且在同一直线上，可知，则数列为周期数列，.求解即可. 【解析】平面内三个不共线的向量且在同一直线上 ，即① 用替换上式中所有的，得② ①②两式相加，得，即 则，用替换中所有的，整理得 用替换中所有的，得，即 则数列是周期为6的周期数列. 故答案为： 【点睛】本题考查求周期数列的前项和.属于较难的一道题. 【例48】（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知具有线性相关的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若为原点），则_______. 【答案】##-0.125 【分析】根据样本中心必在回归直线上即可求解. 【解析】, 所以, 所以样本中心为, 因为样本中心必在回归直线上,所以解得. 故答案为：. 【例49】对任意两个非零的平面向量和，定义和之间的新运算：若非零的平面向量，满足：和都在集合中，且设与的夹角，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题以新定义为背景考查向量数量积的应用，结合了三角函数的相关知识，需要学生有一定的分析计算能力． 化简，，则，因此依据的范围即可求出的范围，进而确定其值，求出． 【解答】 解：， ， ， ，，， ，，，， ，，即， ， 故答案为：． 【例50】定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． 设，求证：； 求中函数的“相伴向量”模的取值范围； 已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取 【答案】解： ， 函数的相伴向量， ； ， ，， 的取值范围为； 的相伴函数， 其中，， 在处取得最大值 所以，，即，， ， ， 为直线的斜率，由几何意义知， 令，，， 又在上单调递增， 当时，， 当时，， ， ．  【解析】 本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，属于较难题． 依题意，将化为，于是结论可证； 利用向量模的概念可求得，利用正弦型函数的性质可求得的取值范围； 由可求得，时取得最大值，其中，为直线的斜率，由几何意义知，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【例51】在中，角的对边分别为，已知． 求角的大小； 若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 若，且外接圆半径为，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】解：依题意，由正弦定理，， 及 可得， 由余弦定理得 ， 则， 则， 因为， 所以； 由为锐角三角形，，，可得， 由正弦定理， 则， 则 ， 则的周长为 ， 由，则， 因为， 整理得：， 解得或舍去， 所以， 则周长的取值范围是； 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，则， 则．  【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，利用向量的数量积求最值，属于较难题． 直接利用正余弦定理即可求解； 利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$