专题02：排列组合与二项式定理专项训练-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题02 排列组合与二项式定理专项训练 考法1：分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【答案】C 【解析】分为三类: 从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C 2．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）正整数484有个不同的正约数___________. 【答案】9 【解析】 设为484的正约数，则，（，，，，，） 例如：，时，是484的约数， ，时，是484的约数， ，时，是484的约数， 因此，484的正约数个数，即的不同取值个数，第一步确定的值，有3种可能，第二步确定的值，有3种可能，因此的取值共有种. 故答案为：9. 3．（2022·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类： 第一类：0在个位时，有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个， 由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数． （2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类： 个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个； 个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个， 故满足条件的四位数有（个）． （3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有 个． 由分类加法计数原理知，共有（个）． 考法2：排列数与组合数的推导、化简和计算 4．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，故①正确； 对于②因为，所以，故②正确； 对于③因为，故③错误； 对于④，故④正确； 故选：C 5．（2022·全国·高三专题练习）若，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】由题意，得，化简可得，解得． 故选:B 6．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程 (1) (2) 【解析】(1)由题意得：，解得：， ，即， 解得：，结合，可得： (2)，则， 即， 解得：（舍去）或2 故方程的解为：m=2 7．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：. 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原方程可化为，整理得， 即，化简得，解得或(舍去)， 所以原方程的解是. 考法3：排列组合 8．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（       ） A．24种 B．6种 C．4种 D．12种 【答案】B 【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可， 则不同的排法共有， 故选：B． 9．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法. 故选：D 10．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为， 于是得， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种. 故选：A 11．（2022·四川成都·高三开学考试（理））某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑， 与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法. 故选：D. 12．（2022·全国·高三专题练习（理））马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 【答案】C 【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻， 则需要用插空法分析： 先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位， 在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况， 即有10种关灯方法. 故选：C 13．五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 【答案】C 【解析】所有人排成一排共有：种排法 站在右边与站在右边的情况一样多 所求排法共有：种排法 本题正确选项： 14．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（       ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 【答案】C 【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故选：C. 15．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会左边的都不选，有种； 第二类个只会左边的有人入选，有种； 第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A． 16．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（       ） A．20 B．90 C．15 D．45 【答案】D 【解析】根据题意，分2步分析： ①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法， ②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一， 所以不同的拿卡片的方法有种. 故选：. 17．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（　　）种 A．36        B．48       C．54      D．72 【答案】D 【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类， 第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案， 其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案； 区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案； 所以符合条件的涂色方案共有72种， 故选：D. 18．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（       ） A．91 B．101 C．111 D．121 【答案】B 【解析】（1）若编号为，则有种， （2）若编号为，则有种， （3）若编号为，则有种， （4）若编号为，则有种， （5）若编号为，则有1种， 所以不同的指派方法种数为种. 故选：B. 19．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（       ） A．18 B．27 C．36 D．48 【答案】C 【解析】因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素与丙，丁，戊分配到三个项目， 因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素， 所以共有种方案. 故选：C. 20．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 21．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15， 故选: D 22．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 考法4：排列组合在古典概率中的应用 23．（2024春•长宁区校级月考）10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为 　　． 【分析】分别求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解． 【解答】解：由题意，至多有一人中奖的概率为． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查了组合数的应用、古典概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 24．（2023秋•虹口区期末）将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 　　．（结果用分数表示） 【分析】根据排列组合相关知识，算出所有的值班顺序与甲、乙两人安排在同一天的值班顺序，进而利用古典概型的概率公式算出答案． 【解答】解：将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，共有种方案， 乙两人安排在同一天，共有种方案， 所以甲、乙两人安排在同一天的概率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查事件与样本空间、组合数公式与古典概型的概率公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 25．（2024春•长宁区校级月考）盒子中有大小与质地相同的8只红球和2只黑球，每次从中任取一个球，不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的概率是 　　． 【分析】先求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解． 【解答】解：由题意，所求事件的概率为． 故答案为：． 26．（2023春•黄浦区校级期中）某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办．若某同学从一箱中随机购买2个盲盒，则能买到稀有手办的概率为 　　．（结果用最简分数表示） 【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【解答】解：设能买到稀有手办为事件， 基本事件总数为， 事件包含的基本事件数为， （A）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题． 考法5：求二项展开式中的常数项、有理项、指定项 27．【2016年上海理科08】在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　　　． 【答案】解：∵在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n＝256，解得n＝8， ∴（）8中，Tr+1， ∴当0，即r＝2时，常数项为T3＝（﹣2）2112． 故答案为：112． 28．（2023春•杨浦区校级期中）在的二项展开式中，第3项为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据二项式展开式的通项公式，求出二项展开式中的第3项． 【解答】解：在的二项展开式中，第3项为． 故选：． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题． 29. （崇明）在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 【答案】45 【详解】(x4+)10的通项为 =()r=, 令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为 ==45. 30. （宝山）在的展开式中，常数项为 （结果用数字作答） 答案：160 考法6：求二项展开式中的特定项系数 31. （2024上海秋考）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【详解】令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则， ． 故答案为：10． 32．（2024上海春考04）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 　　． 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【解答】解：根据二项式展开． 故答案为：15． 【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 33．（2022·上海春考）在 的展开式中，含 项的系数为　 　 【答案】66 【知识点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N) 令36-4r=-4，得r=10， 则， 则 项的系数为66. 故答案为：66 【分析】根据二项式定理直接求解即可. 34．【2019年上海卷04】已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为　 　． 【答案】二项式（2x+1）5的展开式的通项公式为Tr+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r， 令5﹣r＝2，求得 r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40， 故答案为：40． 35．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为　　　　（结果用数值表示）． 【答案】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1•xr， 令r＝2，得展开式中x2的系数为21． 故答案为：21． 26．（杨浦）设，则______ 【答案】 【分析】先写出的二项展开式的通项，再求出即可. 【详解】的二项展开式的通项： ， 故． 故答案为：. 考法7：求二项展开式中的参数 27．（2022秋•青浦区期末）已知的展开式的常数项为45，则常数的值为 　　． 【分析】求出展开式，令的指数为0即可得出常数项为第几项，再根据常数项为45就可以得出的值． 【解答】解：第项为， 常数项为45，即，， 所以， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题考查二项式定理以及展开式中特定项的求法，属于基础题． 28．（闵行）已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为__________． 答案：； 考法8：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 29．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是 . 【答案】 【解析】二项式展开式的通项公式为， 令，解得；令，解得. 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中含项的系数是. 故答案为： 30．（2023·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为 ． 【答案】90 【解析】的通项， 令，则； 令，则， 故的展开式中的系数为. 故答案为：90． 31．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是 . 【答案】5 【解析】由题意知项和展开式中的相乘出现项， 的通项公式为， 分别令可得项的系数为， 故展开式中的系数是， 故答案为：5 考法9：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和、奇数项或偶数项系数和 32．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】78 【解析】令，可得， 令，可得 ① 令，则② 所以②①可得：， 所以，即 故答案为： 33．（2023·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ． 【答案】－256 【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32， 两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32， 两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32， 则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16， 所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. 故答案为：－256 34. （徐汇）若，，则 ． 答案：-3 35．（2023春•浦东新区期末）若，则不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】在所给的等式中，通过给赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：， 令，可得，故正确； 再令，可得①，故，故错误； 再令，可得 ②， 把①②相加除以2，可得，故正确； 在所给的等式中，令，可得， ，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题． 36．（2022春•浦东新区校级期中）设，则　　． 【分析】将原式左边用表示，然后对赋值为1，即可求出结果． 【解答】解：原式左边， 令得． 故答案为：． 【点评】本题考查二项式定理以及赋值法的应用，属于基础题． 37．．（2023秋•杨浦区校级期末）设，则　　． 【分析】由题意，令，可得的值． 【解答】解：由于， 故令，可得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题． 考法10：求二项式系数最值、项的系数最值 38（2023春•长宁区校级期末）二项式的展开式中，系数最大的项是　　 A．第项 B．第项 C．第项 D．第项和第项 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，据通项判断出项的系数与二项式系数只有符号之差， 据二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大求出系数最大的项． 【解答】解：由二项展开式的通项公式， 可知系数为，与二项式系数只有符号之差， 故先找中间项为第项和第项， 又由第项系数为，第项系数为， 故系数最大项为第项． 故选：． 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大． 39．（2023·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答） 【答案】28 【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得， 则展开式为， 可得第项的系数为， 令，即，解得， 所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为. 故答案为：28. 40．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 . 【答案】 【解析】因为的通项为，的通项为， ∵展开式系数最大的项为， 展开式系数最大的项为， ∴在的展开式中，系数最大的项为. 故答案为：. 41．（2023·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 . 【答案】210 【解析】由已知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项， 所以，即，又展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 故答案为：210. 42．（2023秋•黄浦区校级期中）已知，其中，，，，若，，1，2，，，则实数的最大值为 　　． 【分析】根据题意，利用二项式定理建立关于的表达式，然后讨论是奇数还是偶数，解关于的不等式即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可知的系数为，，1，2，，， 因此，若，则，可知是奇数，且， 即，解得，的最大值为23． 故答案为：23． 【点评】本题主要考查二项式定理及其应用、不等式的解法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 考法11：杨辉三角 43．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】AC 【解析】A：所以本选项正确； B：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第个数最大，所以本选项不正确； C：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数， 所以， ， 因此本选项正确； D：第34行是二项式的展开式系数， 所以第15个数与第16个数之比为，因此本选项不正确， 故选：AC 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专项训练 专题02 排列组合与二项式定理专项训练 考法1：分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 2．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）正整数484有个不同的正约数___________. 3．（2022·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 考法2：排列数与组合数的推导、化简和计算 4．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·全国·高三专题练习）若，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程 (1) (2) 7．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：. 考法3：排列组合 8．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（       ） A．24种 B．6种 C．4种 D．12种 9．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 10．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 11．（2022·四川成都·高三开学考试（理））某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 12．（2022·全国·高三专题练习（理））马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 13．五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 14．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（       ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 15．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A． B． C． D． 16．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（       ） A．20 B．90 C．15 D．45 17．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（　　）种 A．36        B．48       C．54      D．72 18．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（       ） A．91 B．101 C．111 D．121 19．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（       ） A．18 B．27 C．36 D．48 20．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 21．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 22．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 考法4：排列组合在古典概率中的应用 23．（2024春•长宁区校级月考）10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为 　　． 24．（2023秋•虹口区期末）将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为 　　．（结果用分数表示） 25．（2024春•长宁区校级月考）盒子中有大小与质地相同的8只红球和2只黑球，每次从中任取一个球，不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的概率是 　　． 26．（2023春•黄浦区校级期中）某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办．若某同学从一箱中随机购买2个盲盒，则能买到稀有手办的概率为 　　．（结果用最简分数表示） 考法5：求二项展开式中的常数项、有理项、指定项 27．【2016年上海理科08】在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　　　． 28．（2023春•杨浦区校级期中）在的二项展开式中，第3项为　　 A． B． C． D． 29. （崇明）在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 30. （宝山）在的展开式中，常数项为 （结果用数字作答） 考法6：求二项展开式中的特定项系数 31. （2024上海秋考）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______． 32．（2024上海春考04）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 　　． 33．（2022·上海春考）在 的展开式中，含 项的系数为　 　 34．【2019年上海卷04】已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为　 　． 35．【2018年上海03】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为　　　　（结果用数值表示）． 26．（杨浦）设，则______ 考法7：求二项展开式中的参数 27．（2022秋•青浦区期末）已知的展开式的常数项为45，则常数的值为 　　． 28．（闵行）已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为__________． 考法8：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 29．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）在的展开式中含项的系数是 . 30．（2023·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）的展开式中的系数为 ． 31．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）展开式中的系数是 . 考法9：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和、奇数项或偶数项系数和 32．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为 ． 33．（2023·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ． 34. （徐汇）若，，则 ． 35．（2023浦东新区期末）若，则不正确的是　　 A． B． C． D． 36．（2022春•浦东新区校级期中）设，则　　． 37．．（2023秋•杨浦区校级期末）设，则　　． 考法10：求二项式系数最值、项的系数最值 38（2023春•长宁区校级期末）二项式的展开式中，系数最大的项是　　 A．第项 B．第项 C．第项 D．第项和第项 39．（2023·山东青岛·统考三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答） 40．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 . 41．（2023·全国·高三专题练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 . 42．（2023秋•黄浦区校级期中）已知，其中，，，，若，，1，2，，，则实数的最大值为 　　． 考法11：杨辉三角 43．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$