专题02：排列组合与二项式定理考法全归纳-2025届上海市高三数学二轮复习

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题02 排列组合与二项式定理 考法1：分类加法计数原理和分步乘法计数原理 【例1】（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示） 【答案】14 【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四， 编程在周一、二、四. ①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种， 阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案. 综上，共有种方案. 故答案为： 【例2】（2022宝山高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．150种 C．210种 D．216种 【答案】C 【解析】依题意，每名同学都有种选择方法， 所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种. 故选：C 【例3】（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置， ① 当C在位置1时，不同的摆法有种； ② 当C在位置2时，不同的摆法有种； ③ 当C在位置3时，不同的摆法有种； 由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同， 故摆放种数有. 故选：B. 考法2：排列数与组合数的推导、化简和计算 【例4】（2024春•宝山区期中）已知为正整数，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合排列数公式，即可求解． 【解答】解：为正整数，且， 则，化简整理可得，，解得或（舍去）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题． 【例5】（2024春•徐汇区期中）已知，则　　． 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解． 【解答】解：由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得． 故答案为：8． 【点评】本题考查了组合数的性质及运算，是基础题． 【例6】（2023嘉定二模）已知，若，则 . 答案：3 【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 【答案】B 【解析】因为， 所以或， 解得：或. 故选：B. 【例8】（2022复旦附中高三阶段练习）已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【解析】对于A，，故正确； 对于B，因为，所以，故正确； 对于C，因为n，m为正整数，且， 所以令，则，，此时，故错误； 对于D，，故正确； 故选：C 考法3：排列组合 【例9】（2023闵行二模）今年春季流感爆发期间，某医院准备将名医生和名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗. 若每所学校分配名医生和名护士，则不同的分配方法数为__________． 答案：； 【例10】（2024春•浦东新区期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【分析】利用“捆绑法”求解． 【解答】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列， 所以不同排法有种． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”的应用，属于基础题． 【例11】（2024春•宝山区期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【分析】利用捆绑法即可求解． 【解答】解：“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与剩下的四艺排列， 则“六艺”讲座不同的次序共有． 故选：． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题． 【例12】（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 【分析】先确定初中部和高中部各抽取的人数，再利用组合数即可得． 【解答】解：由题意，初中部和高中部总共有人， 按照分层随机抽样的原理，应从初中部抽取 人，从高中部抽取． 从初中部抽取25人，有种方法，从高中部抽取15人，有种方法， 根据分步乘法计数原理，一共有种抽样结果． 故选：． 【点评】本题考查分层抽样，考查组合数的应用，属于基础题． 【例13】（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　36　种． 【分析】先把4名志愿者分成3组，再将三组分到三所学校即可． 【解答】解：根据题意，4名志愿者分为1，1，2三组有种分法， 再将三组分到三个学校有种方法， 故不同的分法有种． 故答案为：36． 【点评】本题考查接排列组合问题，属于中档题． 【例14】（2024春•浦东新区期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　　． 【分析】先安排高一2人，然后把高二5人分4组，排列即可． 【解答】解：由题意可得不同的分配方案种数是：（种． 故答案为：2880． 【点评】本题考查排列组合的简单应用，是中档题． 【例15】（2024•黄浦区三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　　个． 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解． 【解答】解：用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2类： ①当数位上数字为奇数且个数为2时， 则有个； ②当数位上数字为奇数且个数为4时， 则有个， 则各个数位上数字和为偶数的奇数共有个． 故答案为：840． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题． 【例16】某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（       ）． A．10 B．30 C．40 D．46 【答案】C 【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人 若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择； 若女教师为1人，则男教师2人，有种选择； 故女教师最多为1人的选法种数为种 故选：C 【例17】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种. 故选：B 【例18】（2022怀远中学高三开学考试）甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【答案】B 【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素，有种排法， 其中甲、乙相邻且在两端的有种， 故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有（种）． 故选:B． 【例19】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻共有种. 将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种. 则共有种. 故选：C. 【例20】（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种． 故选：C． 【例21】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（       ） A．36 B．90 C．360 D．720 【答案】B 【解析】6个高矮互不相同的人站成两排， 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为， 故选：B 【例22】三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式. 答案：C． 【例23】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（       ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法， ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法． 故选：C． 【例24】（2022·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种． 所以共有方法数为种． 故选：C． 【例25】现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（       ）． A．56 B．50 C．62 D．36 【答案】B 【解析】依题意三个居民小区的志愿者人数有（1、1、3）和（1、2、2）两种情况， 对于（1、1、3），①当小区安排3人，则有种方法；②当小区安排1人，则有种方法； 对于（1、2、2），①当小区安排1人，则有种方法，②当小区安排2人，则有种方法， 综上，一共有种方法； 故选：B 【例26】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（       ） A．16 B．18 C．27 D．28 【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种. 故选：B 【例27】用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有种排法， 因此共有种排法， 故选：B 【例28】如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（       ） A．甲从M到达N处的走法种数为120 B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9 C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36 D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164 【答案】BD 【解析】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误. 对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确. 对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误. 对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确. 故选：BD. 考法4：排列组合在古典概率中的应用 【例29】（2019•上海高考）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 　　． 【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中恰有两位数字相同的个数为， 则其中恰有两位数字相同的概率是； 方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取， 总的基本事件个数为1000， 其中三位数字均不同和全相同的个数为， 可得其中恰有两位数字相同的概率是． 故答案为：． 【例30】（2021•上海高考）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　． 【解析】甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有种，共有种， 则对应概率， 故答案为：． 【例31】（2022•上海高考）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　． 【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测， 则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为， 故答案为：． 考法5：求二项展开式中的常数项、有理项、指定项 【例32】（2024华师大二附中模拟）展开式中的第四项是 ； 【答案】（1）； 【例33】（2024·上海青浦·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果. 【详解】因为的展开式通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故答案为： 【例34】【上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三三模】（n为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为 ． 【答案】20 【详解】第三项与第五项的系数相等， ，得， 则的展开式中的常数项为． 故答案为：20． 【例35】（2023上海交中附中模拟）的展开式中共有_____项是有理项． 【难度】★★ 【答案】26 【解析】 考法6：求二项展开式中的特定项系数 【例36】（2024·上海·二模）在的二项展开式中，的系数为 . 【答案】2000 【分析】写出二项展开式的通项公式，令求出答案. 【详解】的二项展开式通项公式， 令得， 所以的系数为2000 故答案为：2000 【例37】（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 【答案】45 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得， 即含的项的系数为45. 故答案为：45 【例38】（2024·上海闵行·二模）在的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求． 【详解】的二项展开式的通项为: ． 由，得． 的二项展开式中，项的系数是． 故答案为：． 【例39】（2024·上海长宁·二模）在的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为， 令，解得， 所以， 所以二项式的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 【例40】（23-24高三下·上海浦东新·期中）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答） 【答案】270 【分析】由二项式展开式的通项求特定项系数. 【详解】的展开式的通项是， 由题意得，, 因此，的系数是. 故答案为：. 【例41】（2022杨浦区二模）设，则______ 【答案】 【分析】先写出的二项展开式的通项，再求出即可. 【详解】的二项展开式的通项： ， 故． 故答案为：. 考法7：求二项展开式中的参数 【例42】（2024·上海黄浦·二模）若的展开式中的系数是，则实数 . 【答案】 【分析】根据通项公式得到，求出，从而得到方程，求出. 【详解】通项公式为， 令，解得， 故，解得. 故答案为： 【例43】（2024·上海崇明·二模）若的二项式展开式中的系数为10，则 ． 【答案】1 【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得. 【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得. 故答案为：1. 【例44】【2023青浦7】若的展开式的常数项是，则常数的值为_______. 【答案】 【提示】，令，得，得它的常数项为，， 考法8：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【例45】（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为 　　（用数字作答）． 【解析】的通项公式为， 当时，，当时，， 的展开式中的系数为． 故答案为：． 【例46】已知的展开式中常数项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式中第项 当时，，时，， 所以的展开式中常数项为， 所以，得. 故选：A 考法9：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和、奇数项或偶数项系数和 【例47】（2024·上海普陀·二模）设，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得，然后分别令，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 且，，所以是二项式系数最大的项，则， 令，则， 令，则， 则. 故答案为： 【例48】（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 【答案】 【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可. 【详解】令可得， 又展开式的通项为， 令可得；令，可得， 所以， 所以， 故答案为：1. 【例49】2023杨浦二模】已知(是正整数)，， 则 . 【答案】 【解析】因为，所以，令，得. 【例50】（2023徐汇二模）若，，则 ． 答案：-3 【例51】（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以， 则. 故答案为：40 考法10：求二项式系数最值、项的系数最值 【例52】【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三最后一模】的二项展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【详解】设展开式的第项的系数最大， 则，解得， 所以系数最大的项为第或第项， 所以系数最大的项为： ， . 故答案为： 【例53】假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________. 【答案】 【解析】由二项式知：，而项的系数是， ∴时，有且为奇数，又由， ∴可得. ∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：， ∴. 故答案为：. 【例54】（2024上海交大附中模拟）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________． 【答案】 【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则； 由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第项的系数最大， 则，化简可得： 经验证可得， 则该展开式中系数最大的项为. 故答案为: . 考法11：杨辉三角 【例55】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________． 【答案】          494 【解析】由二项式系数的性质得：第n行的数字之和为， 去除所有1的项后所得三角数阵的第n行有n个数字，其和为，而， 所以数列的前28项和. 故答案为：；494 【例56】（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【解析】当时，第斜列各项之和为， 同理，第斜列各项之和为，所以， 所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则. 故选：C． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题 专题02 排列组合与二项式定理11种考法 考法1：分类加法计数原理和分步乘法计数原理 【例1】（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项； （2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示） 【例2】（2022宝山高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ） A．120种 B．150种 C．210种 D．216种 【例3】（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 考法2：排列数与组合数的推导、化简和计算 【例4】（2024春•宝山区期中）已知为正整数，且，则　　． 【例5】（2024春•徐汇区期中）已知，则　　． 【例6】（2023嘉定二模）已知，若，则 . 【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 【例8】（2022复旦附中高三阶段练习）已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（    ） A．； B．； C．； D． 考法3：排列组合 【例9】（2023闵行二模）今年春季流感爆发期间，某医院准备将名医生和名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗. 若每所学校分配名医生和名护士，则不同的分配方法数为______． 【例10】（2024春•浦东新区期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【例11】（2024春•宝山区期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有　　 A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【例12】（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为　　 A． B． C． D． 【例13】（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 　　种． 【例14】（2024春•浦东新区期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 　　． 【例15】（2024•黄浦区三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 　　个． 【例16】某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（       ）． A．10 B．30 C．40 D．46 【例17】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【例18】（2022怀远中学高三开学考试）甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【例19】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 【例20】（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【例21】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（       ） A．36 B．90 C．360 D．720 【例22】三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【例23】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（       ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【例24】（2022·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【例25】现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（       ）． A．56 B．50 C．62 D．36 【例26】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（       ） A．16 B．18 C．27 D．28 【例27】用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ） A．6 B．12 C．16 D．18 【例28】如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（       ） A．甲从M到达N处的走法种数为120 B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9 C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36 D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164 考法4：排列组合在古典概率中的应用 【例29】（2019•上海高考）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 　　． 【例30】（2021•上海高考）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 　　． 【例31】（2022•上海高考）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　． 考法5：求二项展开式中的常数项、有理项、指定项 【例32】（2024华师大二附中模拟）展开式中的第四项是 ； 【例33】（2024·上海青浦·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【例34】【上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三三模】（n为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为 ． 【例35】（2023上海交中附中模拟）的展开式中共有_____项是有理项． 考法6：求二项展开式中的特定项系数 【例36】（2024·上海·二模）在的二项展开式中，的系数为 . 【例37】（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 【例38】（2024·上海闵行·二模）在的二项展开式中，项的系数为 . 【例39】（2024·上海长宁·二模）在的展开式中的系数为 ． 【例40】（23-24高三下·上海浦东新·期中）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答） 【例41】（2022杨浦区二模）设，则______ 考法7：求二项展开式中的参数 【例42】（2024·上海黄浦·二模）若的展开式中的系数是，则实数 . 【例43】（2024·上海崇明·二模）若的二项式展开式中的系数为10，则 ． 【例44】【2023青浦7】若的展开式的常数项是，则常数的值为_______. 考法8：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【例45】（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为 　　（用数字作答）． 【例46】已知的展开式中常数项为，则（    ） A． B． C． D． 考法9：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和、奇数项或偶数项系数和 【例47】（2024·上海普陀·二模）设，若，且，则 . 【例48】（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则 【例49】2023杨浦二模】已知(是正整数)，， 则 . 【例50】（2023徐汇二模）若，，则 ． 【例51】（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 考法10：求二项式系数最值、项的系数最值 【例52】【上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三最后一模】的二项展开式中系数最大的项为 . 【例53】假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________. 【例54】（2024上海交大附中模拟）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________． 考法11：杨辉三角 【例55】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________． 【例56】（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$