精品解析：山东省泰安市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

高二年级考试 数学试题 2025.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 4. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面的一个法向量为，点在平面内，则点到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知圆与圆有两个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 750 B. 800 C. 850 D. 832 8. 已知是椭圆左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为等比数列的前三项，则的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 过、两点的直线方程为 B. 点关于直线的对称点为 C. 若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D. 直线的倾斜角为 11. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到点的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 的取值范围为 C. 曲线的方程为 D. 的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________. 14. 已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与圆交于两点，且． （1）求实数的值； （2）设为坐标原点，求的面积． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 17. 已知数列的前项和，设． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）若，求线段中点到轴距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数学试题 2025.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的方程可知，即可直接写出其渐近线的方程. 【详解】由双曲线的方程可知，根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为. 故选：D. 2. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因等差数列，故，于是 故选：B 3. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 4. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【详解】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 5. 若平面的一个法向量为，点在平面内，则点到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可； 【详解】由题意, 所以点到的距离， 故选：B 6. 已知圆与圆有两个公共点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解； 【详解】由题意可得：， 即：， 解得：，且， 所以的取值范围为， 故选：C 7. 已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 750 B. 800 C. 850 D. 832 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出两个数列的通项公式，然后找出公共项的规律，确定新数列的首项、公差等，最后利用数列求和公式求出新数列的和. 【详解】数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为. 数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为. 设，即，化简可得. 因为、为正整数，所以必须是的倍数，设（）. 将代入的通项公式，可得，所以新数列的通项公式为. 当时，，所以新数列首项为.新数列的公差. 令，即，，，因为为正整数，所以最大取16，即新数列有16项. 根据等差数列求和公式，这里，，. 则. 故选：B. 8. 已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率. 【详解】 因，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为等比数列的前三项，则的可能值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得. 【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或. 故选：AC 10. 下列结论正确是（ ） A. 过、两点的直线方程为 B. 点关于直线的对称点为 C. 若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D. 直线的倾斜角为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；利用点关于直线的对称性可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用直线倾斜角与斜率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点关于直线的对称点为， 由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上， 所以，，解得， 所以，点关于直线的对称点为，B对； 对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 所以，，解得，此时，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对. 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到点的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 的取值范围为 C. 曲线的方程为 D. 的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用曲线经过坐标原点可得，利用两点距离公式及条件化简整理可判断C；将点代入曲线方程可判断A；利用的面积转化得，通过检验可判定B；根据已知条件利用平面向量基本定理及余弦定理可判断D． 【详解】对于C，因为曲线经过坐标原点，所以． 因为点为曲线上一点，所以， 所以，整理得， 所以曲线的方程为，所以C选项正确； 对于A，点的坐标满足方程，所以A选项正确； 对于B，的面积， 所以，存在使得，取最大值， ，由题意，为原点也符合题意，故，B选项错误； 对于D，因为，则， 即①， 根据余弦定理可得， 即②， 联立①②可得，即， 当P点位于的两侧且在x轴上时“=”成立， 即的最大值为4，所以D选项正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是抓住曲线经过坐标原点得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示双曲线的充要条件可得. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧； 【详解】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系 ， 易知平面 的一个法向量为 ， 设 ， 当直线 与平面 所成的角为时， ， 所以 ， 则点 的轨迹是以 为球心，为半径的球， 为侧面 内的一个动点， 则点 的轨迹在侧面 内是以 为圆心，为半径的劣弧， 设轨迹分别交 于点 ， ， 可得 ， 则 ，则 ， 劣弧 的长为 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与圆交于两点，且． （1）求实数的值； （2）设为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把圆转化为标准方程，再应用点到直线距离列式计算求参； （2）应用点到直线的距离及弦长计算面积即可. 【小问1详解】 圆的方程可化为 ∴圆心,半径 ∵ ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）， 到的距离， ∴， ∴的面积为. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，得出，再左右平方应用数量积公式计算即可求解； （2）空间向量法求出异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 设， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， 又， ， ∴， ∴直线与所成角的余弦值为． 17. 已知数列的前项和，设． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合对数运算即可求得答案； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ∵ 当时， 当时， 当时，符合上式， ∴ ∴； 【小问2详解】 设 由（1）知 ∴ ∴ ∴. 18. 如图，在平面四边形中，，点满足，，将沿折起至位置，使得点不在平面内． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 在中， 所以，解得， 所以，， 所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，即， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以， 平面与平面的余弦值为. 19. 已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）若，求线段中点到轴的距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）16； （3）. 【解析】 【分析】(1) 由抛物线的定义及中点坐标公式即可求得； (2) 由题可知和到直线的距离相等．联立直线与抛物线方程，用韦达定理即可； (3) 可设的方程为，联立直线与抛物线方程可得，将其代入中即可得的方程，根据方程可看出直线恒过定点，同理直线也恒过定点，从而求得坐标，即可得斜率. 【小问1详解】 设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且， 所以由抛物线的性质可得，即， 因此线段中点到轴的距离为. 【小问2详解】 因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等， 所以． 由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为， 由得． 则， 因此， 故当时，四边形面积取得最小值. 【小问3详解】 由题意可知，直线斜率不为，且点的横坐标均不为， 设的方程为, ，整理得， 设，由韦达定理， 所以，同理， 因为，所以， 即，因此， 故的方程为， 从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点， 所以，因此，即直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $