精品解析：广东省深圳市宝安中学（集团）初中部2024—2025学年上学期九年级开学考数学试卷

宝安中学（集团）初中部2024-2025学年九年级下册开学检测 数学试卷 一、单选题（3×10=30分） 1. 下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（3×5=15分） 11. 一元二次方程的解为 ______． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有________粒发芽． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于_____． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______． 15. 如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是________． 三、解答题（55分） 16. 先化简，再求值 （1）（-1），其中x的值从不等式的正整数解中选取． ÷（a+2-），其中a2+3a-1=0． 17. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 19. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 20. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 21. 综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与交于点，，顶点在上，取的中点，连结，． 【观测发现】与抛物线的对称轴平行，度量得，． 【实践操作2】如图2，连结交于点，记点到，的距离分别为，，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 （1）求的长． （2）建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． （3）根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． 22. 定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． （1）如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； （2）如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学（集团）初中部2024-2025学年九年级下册开学检测 数学试卷 一、单选题（3×10=30分） 1. 下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 俯视图是从物体上面看，所得到的图形． 【详解】解：A，三棱雉的俯视图是，故此选项错误； B，六棱柱的俯视图是六边形，故此选项错误； C，正方体俯视图是正方形，故此选项正确； D，圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项错误， 故选：C． 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在中，， 可设，则 由勾股定理得， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】， ， 则， 即， 故选：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、相交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 7. 如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作，垂足为点E，利用求得，从而得到是等腰直角三角形，设则，在中，利用三角函数求得；在中，利用三角函数求得，据此解答 本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， ， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为点， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 故选：． 8. 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 9. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，根据，得到，证明，得到，，在证明，求出，在证明，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， 故选：C． 二、填空题（3×5=15分） 11. 一元二次方程的解为 ______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， 或 ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有________粒发芽． 【答案】9500 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 先得到麦种的发芽概率约为0.95，再利用发芽概率乘以小麦种子总数即可求解． 【详解】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率约为0.95， ∴播种该种小麦10000粒种子，有粒发芽， 故答案为：9500． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决． 【详解】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，）， 则﹣a•＝6，点D的坐标为（，）， ∴， 解得，k＝﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积， 根据第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可． 【详解】解：如图， 由题意和图可得：， ∴， 故答案为：48． 15. 如图，中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，在中，由直角三角形斜边中线定理可得，利用“”证得，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理得的长，再根据中位线定理可得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵是的中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理、中位线定理等，解题的关键是证得，求出的长． 三、解答题（55分） 16. 先化简，再求值 （1）（-1），其中x的值从不等式的正整数解中选取． ÷（a+2-），其中a2+3a-1=0． 【答案】（1），-2；（2），. 【解析】 【分析】（1）直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的x的值，进而得出答案． （2）首先通分，并根据同分母分式的加法法则，化简小括号内的算式；然后计根据分式的除法化成最简结果，再把a2+3a-1=0变形代入化简后的式子，求出化简后式子的值即可． 【详解】（1）（-1）÷， =×， =（-）×， =×， =， 解不等式组得：-1≤x＜3， 当x=2时，原式==-2. 故答案为，-2. （2）÷(a+2−)， =÷=×， =； ∵a2+3a−1=0， ∴a2+3a=1， ∴3a2+9a=3， 故原式=. 故答案为，. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值. 17. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ； （2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率， （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意有4个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个， ∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种， 妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率． 18. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2） 证明：如图，连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则， 由作图可知， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； （3） 直线即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定与性质即可得出答案； （2）连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则，由作图得到四边形是平行四边形，得到，再证明，即可得出结论； （3）连接，作线段的垂直平分线垂足为，作直线即可． 【小问1详解】 解：依据1是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 依据2是平行四边形的对角线互相平分， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表： （元） 20 25 30 … （袋） 20 15 10 … 若日销售量是销售价的一次函数，试求： （1）日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题； （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可 （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为， 由题意得， 解得． 所求函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，设利润为元，得 整理得 当时，取得最大值，最大值为225 每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 20. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 【答案】（1） 选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题． 证明：如图，连接OD， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． ∵OA=OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠C＝∠ODA， ∴． ∵∠DEC=90°， ∴∠ODE=∠DEC=90°，即， ∴DE是⊙O的切线． 故答案为：①和②，③；（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线； （2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接BD， ∵AB为直径， ∴，即． ∵AB=BC， ∴AD=CD=5． 在和中， ∴， ∴，即， ∴． 故圆O的直径为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线． 21. 综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与交于点，，顶点在上，取的中点，连结，． 【观测发现】与抛物线的对称轴平行，度量得，． 【实践操作2】如图2，连结交于点，记点到，的距离分别为，，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 （1）求的长． （2）建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． （3）根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点推理、数形结合是解题的关键． （1）设，根据矩形的性质，得出，根据二次函数图象抛物线的对称性，结合与抛物线的对称轴平行，，得出，推出，，根据矩形的判定，证明四边形是矩形，得出，，证明出，得出，得出求解，根据得出答案即可； （2）以所在直线为轴，射线方向为正方向，以所在直线为轴，射线方向为正方向，建立直角坐标系，根据点是抛物线的顶点，由（1）得出，，得出顶点坐标为，点坐标为，设抛物线解析式为，把代入求解，得出平移前抛物线的表达式即可； （3）根据四边形是矩形，得出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，推出，得出．平移前，由（1）得，，得出，则，进一步得出计算；设向右平移了，则，，则，得出 求解，最后得出平移后抛物线的表达式即可． 【小问1详解】 解：∵点是的中点， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵与抛物线的对称轴平行，， ∴，， ，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，以所在直线为轴，射线方向为正方向，以所在直线为轴，射线方向为正方向，建立直角坐标系， ∵点是抛物线的顶点，由（1）得：，， ∴顶点坐标为，点坐标为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴平移前抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 平移前，由（1）得，， ∴， ∵， ∴平移前，， ∴； 设向右平移了， ∴平移后，，， ∵， ， 解得：， ∴抛物线向右平移了， ∴平移后抛物线的表达式为，即． 22. 定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． （1）如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； （2）如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【答案】（1）①；② （2）满足条件的的长为 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的值； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，证明垂直平分，得出，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）若，则，，推出四边形不是等腰直角四边形，不符合条件．若与不垂直，当时，此时四边形是等腰直角四边形，当时，此时四边形是等腰直角四边形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，，； 若时，如图所示： 则四边形和为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，； ∴四边形不可能是等腰直角四边形； 若与不垂直，当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点F不在边上，不符合题意； 若与不垂直，当时，如图所示： 此时四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $