精品解析：山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年上学期12月份月考八年级数学试题

2024-2025学年第一学期阶段性学业水平测试 八年级数学试题 考试范围：第十一至第十四章；考试时间：120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第I卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项）． 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方和积的乘方的计算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则． 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4. 如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解． 【详解】解：补充条件， 在与中 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. 将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用代数式分别表示两个图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：第一个图形中“大正方形”的边长为，因此面积为， 第二个图形中阴影部分的面积为， 所以有， 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，读懂题意，分别表示出相应图形的面积是解本题的关键． 6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE=DE，AF=DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE=AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DF∥AB，然后根据平行线分线段长比例定理可计算出CF． 【详解】由作法得EF垂直平分AD， ∴AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD， ∵AD平分∠BAC， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝DE＝DF＝4， ∴四边形AEDF为菱形， ∴DF∥AB， ∴，即， ∴CF＝2． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 7. 下列分解因式正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断得出答案，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可得，，，，，正好是五边形的外角和为． 【详解】解：如图： ∵，，，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的外角和，解题的关键是得出，，，，． 9. 计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： = = 展开后多项式不含x、y的一次项， ， ， ， 故选B． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键． 10. 如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为16cm2，则△PBC的面积为（　　） A. 4cm2 B. 8cm2 C. 12cm2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用三角形的面积公式可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的平分线，， （等腰三角形的三线合一）， ，（等底同高）， ， 又的面积为， ，即， 解得， 即的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 11. 某网店实行优惠购物，优惠规定如下：如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元，若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，根据题意先求出的范围，再分类讨论即可，解题的关键是读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 当时，则， 两次购物的实际付款共为：元； 当时，则， 两次购物的实际付款共为：元； 当时，则， 两次购物的实际付款共为：（元）； ∴可能，不可能， 故选：． 12. 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　） A. （44，5） B. （44，2） C. （45，5） D. （45，2） 【答案】B 【解析】 【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题． 【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟， （1，1）表示粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动， （2，2）表示粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动， （3，3）表示粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动， …， 于是会出现： （44，44）点粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动， ∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度， ∴粒子的位置为（44，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律． 第II卷 （非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）． 13. 若点与点关于y轴对称，则m+n的值是____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得，再代入计算即可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变换，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相等． 14. 分解因式：3a2-3__． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【详解】3a2-3=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)； 故答案是；. 【点睛】本题考查的知识点是用提公因式法和公式法进行分解，解题关键是熟记因式分解的方法. 15. 如图，已知，的延长线交于点F，且经过点E，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据邻补角定义求得的度数，再根据全等三角形的性质求解的度数，然后根据三角形外角的性质可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16. 若，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有________组． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出 再求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∵m、n都是自然数， ∴整数n为0，1，2，3，4， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 即符合条件的m，n的值有3组． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能求出方程是解此题的关键． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°． ∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°． ∴Rt△DBE中，BE=2DE=2． 18. 如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________． 【答案】15° 【解析】 【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1， ∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE， ∴CE为线段BD的垂直平分线， ∴PD=BP， ∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD， ∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值， 连接BP1，则BP1=DP1， ∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC， ∴∠CBP1=∠CDP1， ∵AC=BC=CD， ∴∠CDP1=∠CAD，即 延长AC至Q， ∵∠ACB=90°，∠BCD=60°， ∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1， ∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°， ∴当的值最小时，=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键． 三、解答题（本大题共7小题、共52分）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【解析】 【分析】首先根据乘法公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后根据多项式除以单项式的法则得出答案，将x和y的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解：原式= = =， 将，，代入得 原式 ． 【点睛】本题主要考查的是多项式的乘法和除法的计算法则，属于基础题型．在解决这个问题的时候，公式的应用是非常关键的． 20. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行解答即可； （2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，于点E．于点D． （1）求证：； （2）连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴° ∴ 在和中， ∴（）； （2）3 【解析】 【分析】（1）先得出，，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差得出，，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、垂直定义，利用证明是解题的关键． 22. 阅读材料并解答问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或.从而解决某些问题. 例：已知，，求的值. 解： 问题：（1）1.如果，则__________. （2）2.已知，，求的值. 【答案】（1）7；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据=()2-2,即可代入已知条件进行求解； （2）根据，即可代入已知条件进行求解. 【详解】（1）∵=()2-2, ∴=32-2=7； (2). ∴ 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形求解. 23. 观察下列等式： ， ， ． （1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式： ； （2）根据上面各式的规律可得 ；（n为正整数，且）． （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由所列举等式所呈现的规律可直接得出答案； （2）由规律可得答案； （3）根据规律可求出的值，进而求出答案． 【小问1详解】 解：由所列举的式子的规律可得，第5个等式为： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由所列举的式子的规律可得， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算规律，解题的关键是根据题意找出变化中的规律． 24. 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． （1）点______“和谐点”（填“是”或“不是”）； （2）已知点 ①若点P是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a的值； ②若点P是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q，，求点Q的纵坐标． 【答案】（1）不是 （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）由题干“和谐点”的定义计算出和即可判断点P是否为“和谐点”； （2）①根据“和谐点”的定义列出方程，解方程即可； ②根据点P是第一象限内的一个“和谐点”，得出，设点E的坐标为，点Q的坐标为，根据点E、Q在同一直线上得出，表示出，，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示： ∵，， ∴点P不是“和谐点”； 【小问2详解】 解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，如图所示： ∵，点P是第二象限内的一个“和谐点”， ∴，， ∴， 解得：； ②∵点P是第一象限内的一个“和谐点”， ∴， ∴， 设点E的坐标为，点Q的坐标为， 设直线为，把代入得：， ∴， ∴直线为， 把代入得：， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ， ， ， 把代入得：， 整理得：， 把代入得： ， 即点Q的纵坐标为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式混合运算，一元一次方程的应用．理解“和谐点”的定义和利用数形结合的思想是解答本题的关键． 25. 如图，△ABC中，∠ACB＝45°，于点D，过点C作交AD于点E，且点E为AD的中点，连接MD，过点D作交CM于点N． （1）若∠B＝60°，求∠ACM的度数； （2）猜想：△DMN是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． （3）求证：NE＝ME+AM． 【答案】（1）15° （2） 是等腰直角三角形， 证明：∵，， ∴∠MDN＝∠ADC＝90°， ∴∠MDA＝∠NDC， ∵，， ∴∠AMC＝∠ADC＝90°，∠AEM＝∠CED, ∴∠MAD＝∠NCD， 在△MAD和△NCD中， ， ∴（ASA）， ∴DM＝DN， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （3） 证明：过点D作于H， ∵点E为AD的中点， ∴， 在△AME和△DHE中， ， ∴（AAS）， ∴ME＝EH，AM＝DH， ∵△DMN是等腰直角三角形，， ∴DH＝HN， ∴AM＝HN， ∴EN＝EH+HN＝ME+CN． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BCM＝30°，即可得； （2）根据，得∠MDN＝∠ADC＝90°，即可得∠MDA＝∠NDC，根据，及∠AEM＝∠CED,可得∠MAD＝∠NCD，利用ASA可证明，根据全等三角形的性质得到DM＝DN，根据等腰直角三角形的性定义证明； （3）过点D作于H，利用AAS证明，根据全等三角形的性质得到ME＝EH，AM＝DH，证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴∠CMB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴， ∵∠ACB＝45°， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段性学业水平测试 八年级数学试题 考试范围：第十一至第十四章；考试时间：120分钟． 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第I卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项）． 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4. 如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ） A. B. C. D. 5. 将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步作图：①分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，两弧交于两点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于点E，F；③连接DE，DF，若BD＝6，AE＝4，CD＝3，则CF的长是（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 7. 下列分解因式正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，（ ） A. B. C. D. 9. 计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7 10. 如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为16cm2，则△PBC的面积为（　　） A. 4cm2 B. 8cm2 C. 12cm2 D. 不能确定 11. 某网店实行优惠购物，优惠规定如下：如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元，若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元 A. B. C. D. 12. 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（　　） A. （44，5） B. （44，2） C. （45，5） D. （45，2） 第II卷 （非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）． 13. 若点与点关于y轴对称，则m+n的值是____． 14. 分解因式：3a2-3__． 15. 如图，已知，的延长线交于点F，且经过点E，，，则_________． 16. 若，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有________组． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_____． 18. 如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________． 三、解答题（本大题共7小题、共52分）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 21. 如图，在中，，，于点E．于点D． （1）求证：； （2）连接，若，，求的面积． 22. 阅读材料并解答问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或.从而解决某些问题. 例：已知，，求的值. 解： 问题：（1）1.如果，则__________. （2）2.已知，，求的值. 23. 观察下列等式： ， ， ． （1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式： ； （2）根据上面各式的规律可得 ；（n为正整数，且）． （3）求的值． 24. 新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． （1）点______“和谐点”（填“是”或“不是”）； （2）已知点 ①若点P是第二象限内的一个“和谐点”，且，求a的值； ②若点P是第一象限内的一个“和谐点”，如图②，点E是线段上一点，连接并延长交的延长线于点Q，，求点Q的纵坐标． 25. 如图，△ABC中，∠ACB＝45°，于点D，过点C作交AD于点E，且点E为AD的中点，连接MD，过点D作交CM于点N． （1）若∠B＝60°，求∠ACM的度数； （2）猜想：△DMN是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由． （3）求证：NE＝ME+AM． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $