第07讲 勾股定理的逆定理（5个知识清单+5类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第07讲 勾股定理的逆定理 课程标准 学习目标 1两点间的距离公式 2 勾股定理的逆定理 3 勾股数 4勾股定理的应用 5 平面展开-最短路径问题 1、理解勾股定理的逆定理，能证明勾股定理的逆定理. 2、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形. 3、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合的 4、重点：勾股定理逆定理的应用． 5、难点：勾股定理逆定理的证明． 知识点01两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【即学即练1】 1．（2023春•蚌山区期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【解答】解：点到原点的距离为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了点的坐标意义、勾股定理，利用勾股定理计算点到原点的距离是解题关键． 2．（2023春•定远县校级期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 【分析】先利用两点间的距离计算出AB、BC、AC的长，则可计算出△ABC的周长，再利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，然后计算△ABC的面积． 【解答】解：∵A（0，2），B(4,0)，C(6,4)， ∴AB＝＝2,＝2， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+2+2＝4+2； ∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积＝． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 知识点02 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【即学即练1】 3．（2024春•宁国市期末）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵（）2+（）2＝（）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∠C=90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠C＝180°＝75°，故△ABC是直角三角形，符 合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理． 【即学即练2】 4．（2024春•太和县校级月考）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则∠C为　　． 【分析】直接通过特殊值，满足条件a2+b2＞c2，推出结果即可． 【解答】解：当a＝b＝c时，满足a2+b2＞c2， 当a＞b＞c时，满足a2+b2＞c2， 所以∠C可能是锐角． 故答案为：锐角． 【点评】本题考查三角形的形状的判断，特殊值法能够避繁就简，注意表达式的形式的转化． 【即学即练3】 5．（2024春•铜官区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝6，BC=8,AB＝10，CD⊥AB于D． （1）求CD的长． （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得∠ACB＝90°，然后再根据三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵AC＝6，BC＝8，AB=10, ∴AC2+BC2＝100，AB2＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， ∴10CD＝6×8， ∴CD＝4.8， ∴CD的长为4.8； （2）∵∠ACB＝90°， ∴△ABC的面积＝AC•BC＝×6×8=24， ∴△ABC的面积为24． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 知识点03 勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【即学即练1】 6．（2024春•镜湖区校级期中）下列各组3个整数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 【分析】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．依此判断即可． 【解答】解：A、42+52＝41≠62，故不是勾股数； B、62+82＝100≠92，故不是勾股数； C、132+142＝365≠152，故不是勾股数； D、82+152＝289＝172，故是勾股数； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股数，注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【即学即练2】 7．（2024春•阜南县期末）已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b,c为勾股数. 【分析】分别求出n2﹣1与2n的平方和，再分解因式发现正好等于（n2+1）的平方． 【解答】证明：∵a＝n2﹣1，b=2n,c＝2n2+1（n≥2，且n为整数）， a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1， b2＝4n2， c2＝（n2+1）2， a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2， ∴a＝n2﹣1，b＝2n,c=2n2+1（n≥2，且n为整数）,是勾股数 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 知识点04勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【即学即练1】 8．（2024春•铜官区校级期中）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm,现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm,则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2≤a≤25 C．25﹣2≤a≤13 D．11≤a≤15 【分析】根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：∵将一根长为25cm的吸管，置于底面直径为10cm，高度为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，x＝12cm， 最长时等于杯子斜边长度是：x＝＝2（cm）， ∴a的取值范围是：25﹣2≤a≤25﹣12， 即25﹣2≤a≤13， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题． 【即学即练2】 9．（2024春•蜀山区期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 　　海里． 【分析】根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【解答】解：如图，由已知得，OB=24×2.5=60海里，OA＝18×2.5＝45海里， 在△OAB中，∠AOB＝90°， 由勾股定理得OB2+OA2＝AB2， ∴AB＝＝75（海里）． 答：两船半小时后相距75海里， 故答案为：75． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【即学即练3】 10．（2024春•蚌埠期末）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图推开两扇门（AD和BC，且 AD＝BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　　寸． 【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，得出四边形DEFC是矩形，根据HL证明Rt△ADE≌Rt△BCF得出AE＝BF，从而得出OE＝OF＝1寸，设AD＝BC＝x寸，则AE＝BF＝（x﹣1）寸，再根据勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF＝CD＝2寸， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴AE＝BF， 又∵AO＝BO， ∴OE＝OF＝1寸， 设AD＝BC＝x寸，则AE＝BF＝（x﹣1）寸， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， AD2＝AE2+DE2， 即x2＝（x﹣1）2+102， 解得x＝， ∴AO＝BO＝寸， ∴AB＝2AO＝101（寸）， 故答案为：101． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 知识点05 平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 【即学即练1】 11．（2024春•凤阳县期末）如图，一长方体状包装盒的长为12cm，宽为8cm，高为16cm,点B离点C4cm，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．20cm B． C．28cm D． 【分析】根据不同的展开图形，分别根据勾股定理求解，再比较大小． 【解答】解：如图1：把前面和右面展成一个平面，， 如图2：把上面和右面展成一个平面，， 由题意可知：第3种情况：AB＝＝＝4， ∵＜4， 故选：A． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，掌握转化思想和勾股定理是解题的关键． 【即学即练2】 12．（2024春•无为市月考）如图，在一张长方形纸板ABCD上放着一根长方体木块．已知AD＝3米，AB＝4米．该木块的长与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程是 　　米． 【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为4+2＝6米；宽为3米． 于是最短路径为：（米）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是关键． 【即学即练3】 13．（2023春•金安区校级期中）如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别为12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃蜜糖，则它的最短路程为多少？ 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图1展开，连接DC，则DC的长就是从D处爬到C处的最短路程， 在Rt△DBC中，AD＝12cm+8cm＝20cm,×30cm＝15cm， 由勾股定理得：DC＝＝25（cm）； 即从D处爬到C处的最短路程是25cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长． 题型01判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．3，3，5 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 2．（安徽宿州·期中）在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．. 【答案】直角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案． 【详解】∵32+72=58， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的运用. 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 【答案】等腰直角三角形，理由见解析． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理及逆定理．根据图中网格，先用勾股定理求出三角形三边的长，再根据三边的长度及勾股定理逆定理即可作出判断． 【详解】解：等腰直角三角形，理由如下： 由图网格及勾股定理得 ，， ， 是等腰直角三角形． 题型02 在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在正方形网格内，四点都在小方格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】作关于的对称点，连接，，则，在网格中运用勾股定理得到线段长，进而证明是等腰直角三角形，得到，即． 【详解】解：作关于的对称点，连接，，如图所示： ， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中求角度问题，涉及勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（21-22八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（即，，均为格点），则上的高为 ．    【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题、在网格中判断直角三角形 【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， 为直角三角形，， 设边上的高为， ， ， ， 上的高为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)边上的高为2 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】首先通过勾股定理逆定理得出这个三角形是直角三角形，然后通过三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为2、和， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形，两个直角边长为2、， ∴这个三角形的面积为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键． 8．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在四边形中，，则四边形的面积为 ．    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，   ，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、求一次函数解析式 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，再根据角的直角三角形性质求解即可； （2）设，表示出，由，根据勾股定理得到p与m的关系式，化简得：，解得：故，求出直线的表达为为，得出，由两点坐标公式可求，以及，则得出的值． 【详解】（1）解：连接， 点，点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或（舍）， ∴， 设，代入得， ， 解得：，， ， 当时，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，一次函数解析式的求解，一次函数与坐标轴的交点，已知两点求距离，角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型04 勾股定理逆定理的实际应用 10．（八年级下·安徽合肥·期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 【详解】解：如图所示， AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 11．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为 （2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可； （2）过作交于点．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该三角形为直角三角形，其中为斜边， ∴这块试验基地的面积为， 故答案为：； （2）解：过作交于点． 设，则． 在和中， 由勾股定理得 ， 解得， 在中，由勾股定理得, ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积． 【答案】这块菜地的面积为 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 答：这块菜地的面积为． 题型05 勾股定理逆定理的拓展问题 13．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 14．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 【答案】3或2或． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值． 【答案】（1） ；（2）. 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据中垂线性质可知，作AB的垂直平分线，与AC交于点P，则满足PA=PB，在Rt△ABC中，用勾股定理计算出AC=8cm，再用t表示出PA=t cm，则PC=cm，在Rt△PBC中，利用勾股定理建立方程求t； （2）过P作PD⊥AB于D点，由角平分线性质可得PC=PD，由题意PC=cm，则PB=cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求t. 【详解】（1）作AB的垂直平分线交AB于D，交AC于P，连接PB，如图所示， 由垂直平分线的性质可知PA=PB，此时P点满足题意， 在Rt△ABC中，cm， 由题意PA= t cm，PC=cm， 在Rt△PBC中，， 即，解得 （2）作∠CAB的平分线AP，过P作PD⊥AB于D点，如图所示 ∵AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴PC=PD 在Rt△ACP和Rt△ADP中， ∴ ∴AD=AC=8cm ∴BD=AB-AD=10-8=2cm 由题意PD=PC=cm，则PB=cm， 在Rt△ABD中， 即 解得 【点睛】本题考查了勾股定理的动点问题，熟练运用中垂线性质和角平分线性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是关键. 一、单选题 1．下列各组数：①3、4、5   ②4、5、6   ③2.5、6、6.5   ④8、15、17，其中是勾股数的有(   ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】用勾股定理逆定理逐一分析即可． 【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义； ∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义； ∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义； ∵82+152=172，④符合勾股数的定义， 是勾股数的有：①④，共2组， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数，取两较小的数的平方和与较大的数进行比较是解题的关键． 2．若△ABC三边长a，b，c满足+||+()2=0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性 【分析】根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：∵+|b-a-1|+(c-5)2=0， ∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0， ∴a=12，b=13，c=5， ∵， ∴△ABC是直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键． 3．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 4．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系． 5．给出下列几组数：① 4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【详解】①42+52≠62，∴不能组成直角三角形；②82+152≠162，∴不能组成直角三角形；③当n=1时，三边长为：0、2、2，不能组成直角三角形；④(m2－n2)2+( 2mn)2=( m2＋n2)2,且m>n>0，∴能组成直角三角形. 故选D. 【点睛】本题关键在于勾股定理逆定理的运用． 6．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据勾股定理逆定理，可以得出是直角三角形，，根据平分，平分，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的定义，熟练掌握性质灵活运用是本题的关键． 7．下列条件不能判定是直角三角形的是（  ） A． B． C． D．是的一条中线， 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形、根据等边对等角证明 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， ∴， ∴不是直角三角形， 故选项A符合题意； ∵ ∴设，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选项B不符合题意； ∵， ∴设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 如图， ， ∵是的一条中线，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键． 8．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（  ） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】因为，所以△ABC是直角三角形，算出面积即可。 【详解】∵， ∴△ABC是直角三角形，且5和12是两条直角边长， ∴△ABC的面积为． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆应用，已知三边判定一个角是90°，关键是要认真计算． 9．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】勾股定理的逆定理 【详解】∵(a+b)2-c2=2ab， ∴a2+2ab+b2-c2=2ab. ∴a2+b2=c2. ∴此三角形是直角三角形. 故选A. 点睛: 解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a ²＋b ²＝c ²，则三角形ABC是直角三角形． 10．如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解. 二、填空题 11．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元 【答案】10800 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得为直角三角形，CD为斜边；由此可知，四边形ABCD由和构成，即可求解． 【详解】解：在中， ∵， ∴AC=5． 在中，，， 而， 即， ∴， 即： =． 所以需费用：（元）． 故答案为10800． 【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 12．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】作C点关于OB的对称点 ，连接C'D交OB于点E，连接 ，过作 交OA于点F，则 ，此时CE+DE最小，可得到 是等边三角形，从而得到 ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作C点关于OB的对称点 ，连接C'D交OB于点E，连接 ，过作 交OA于点F，则 ，此时CE+DE最小， 由对称性可得： ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∵， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵OD＝2， ∴DF=1， 在 中，由勾股定理得： ， 即CE+DE的最小值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 13．如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理；延长到E使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，勾股定理的逆定理得，再由勾股定理即可求解；掌握判定方法及性质，能作出辅助线，用“倍长中线法”是解题的关键． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ； ∴ 故答案为：． 14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【详解】解：设中间长的边长为x，较长边为x+1，较短边为x-7， ∵此三角形周长为30米， ∴x+x+1+x-7=30， 解得：x=12， 则x+1=13，x-7=5， ∵52+122=132， ∴这个三角形的形状为直角三角形． 故答案为：直角． 三、解答题 15．判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长． （1）8，15，17；        （2）7，12，15；        （3）12，15，20；        （4）7，24，25． 【答案】（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）能． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可； （3）利用勾股定理的逆定理进行判断即可； （4）利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：（1）因为， 所以能作为直角三角形的三边长； （2）因为， 所以不能作为直角三角形的三边长； （3）因为， 所以不能作为直角三角形的三边长； （4）因为， 所以能作为直角三角形的三边长． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 16．如图，D为边上的一点，，，，，求的长． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，，然后再利用勾股定理计算长即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴16． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 17．如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗？为什么？ 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的逆定理 【分析】首先根据勾股定理的逆定理可得；然后再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论. 【详解】AD平分∠BAC， 理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴，即 ∴AD平分∠BAC. 18．如图，以一边为直角边构造，且，，，．      (1)求证：为直角三角形． (2)若点P为上一动点，连接，，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【知识点】两点之间线段最短、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得； （2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N， 则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得． 【详解】（1）证明：根据题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴△ABC为直角三角形； （2）解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，    则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， 当B、P、M三点共线时，取最小值为， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是． 19．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的? 【答案】（2） 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，即可进行判断 【详解】，，，， （1）只有一个是直角三角形，（2）有两个直角三角形，（3）没有直角三角形， （2）是正确的． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 20．已知中，，上的中线，请你判断的形状，并说明理由 ． 【答案】为等腰三角形． 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了利用勾股定理逆定理和垂直平分线的性质解题,由是的中线可得，由勾股定理逆定理可得，所以垂直平分，所以是等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形． ∵是的中线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 21．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．    【答案】点到的距离约为 【知识点】点到直线的距离、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离，    在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 22．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由. 【答案】直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理 根据正方形的性质即勾股定理可得，，，即可判断结果． 由勾股定理得，，， ∵， ∴△AEF是直角三角形． 23．如图所示,正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出一个周长为的三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，判断你所画三角形的形状，并说明理由． 【答案】见解析，是直角三角形，见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】先根据题意画出图形，即有一条边长是5，另外两条边长分别是的三角形，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：如图，(或)就是所求的三角形； 以为例： ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 勾股定理的逆定理 课程标准 学习目标 1两点间的距离公式 2 勾股定理的逆定理 3 勾股数 4勾股定理的应用 5 平面展开-最短路径问题 1、理解勾股定理的逆定理，能证明勾股定理的逆定理. 2、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形. 3、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合的 4、重点：勾股定理逆定理的应用． 5、难点：勾股定理逆定理的证明． 知识点01两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【即学即练1】 1．（2023春•蚌山区期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 2．（2023春•定远县校级期中）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 知识点02 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【即学即练1】 3．（2024春•宁国市期末）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【即学即练2】 4．（2024春•太和县校级月考）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2＞c2，则∠C为　　． 【即学即练3】 5．（2024春•铜官区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝6，BC=8,AB＝10，CD⊥AB于D． （1）求CD的长． （2）求△ABC的面积． 知识点03 勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【即学即练1】 6．（2024春•镜湖区校级期中）下列各组3个整数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 【即学即练2】 7．（2024春•阜南县期末）已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b,c为勾股数. 知识点04勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【即学即练1】 8．（2024春•铜官区校级期中）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm,现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm,则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2≤a≤25 C．25﹣2≤a≤13 D．11≤a≤15 【即学即练2】 9．（2024春•蜀山区期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 　　海里． 【即学即练3】 10．（2024春•蚌埠期末）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图推开两扇门（AD和BC，且 AD＝BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　　寸． 知识点05 平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 【即学即练1】 11．（2024春•凤阳县期末）如图，一长方体状包装盒的长为12cm，宽为8cm，高为16cm,点B离点C4cm，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．20cm B． C．28cm D． 【即学即练2】 12．（2024春•无为市月考）如图，在一张长方形纸板ABCD上放着一根长方体木块．已知AD＝3米，AB＝4米．该木块的长与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程是 　　米． 【即学即练3】 13．（2023春•金安区校级期中）如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别为12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃蜜糖，则它的最短路程为多少？ 题型01判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数是三角形的三边长，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．3，3，5 C．4，5，6 D．5，12，13 2．（安徽宿州·期中）在△ABC中，， ，，则△ABC是 三角形．. 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，，判断三角形的形状，并说明理论． 题型02 在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在正方形网格内，四点都在小方格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，为格点三角形（即，，均为格点），则上的高为 ．    6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）若一个三角形的三边长分别为2、和，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在四边形中，，则四边形的面积为 ．    9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点，点，其中． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，点P是x轴正半轴上一点，，交轴于点，于点，求的值．（用含的式子表示） 题型04 勾股定理逆定理的实际应用 10．（八年级下·安徽合肥·期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 11．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为 （2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ． 12．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积． 题型05 勾股定理逆定理的拓展问题 13．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 14．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值． 一、单选题 1．下列各组数：①3、4、5   ②4、5、6   ③2.5、6、6.5   ④8、15、17，其中是勾股数的有(   ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2．若△ABC三边长a，b，c满足+||+()2=0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 5．给出下列几组数：① 4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．④ 6．如图，在中，，，，和的平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列条件不能判定是直角三角形的是（  ） A． B． C． D．是的一条中线， 8．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（  ） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 9．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入 元 12．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为 ． 13．如图，在中，边上的中线，的长度为 ． 14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是 三角形． 三、解答题 15．判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长． （1）8，15，17；        （2）7，12，15；        （3）12，15，20；        （4）7，24，25． 16．如图，D为边上的一点，，，，，求的长． 17．如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗？为什么？ 18．如图，以一边为直角边构造，且，，，．      (1)求证：为直角三角形． (2)若点P为上一动点，连接，，求最小值． 19．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的? 20．已知中，，上的中线，请你判断的形状，并说明理由 ． 21．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．    22．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由. 23．如图所示,正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出一个周长为的三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，判断你所画三角形的形状，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$