第二单元专题04 圆柱的体积和容积解决实际问题-2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破（苏教版）

2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 第二单元专题04 圆柱的体积和容积解决实际问题 答案解析 一、解答题 1．小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 【正确答案】2.5分钟 【解题思路】已知鱼缸内两块石头的高度分别为10厘米和6厘米，向鱼缸内注水，要将两块石头完全淹没，那么水的高度是10厘米；根据长方体的体积公式V＝abh，求出水和两块石头的总体积； 再用总体积减去两块石头的体积，即是注水的体积；其中圆柱形石头的体积根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解； 最后用注水的体积除以水每分钟的流量，即可求出注水的时间。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【规范解答】将两块石头完全淹没时，水和两块石头的总体积： 65×25×10 ＝1625×10 ＝16250（立方厘米） 圆柱形石头的体积： 3×（16÷2）2×6 ＝3×82×6 ＝3×64×6 ＝1152（立方厘米） 注水的体积： 16250－（3848＋1152） ＝16250－5000 ＝11250（立方厘米） 11250立方厘米＝11.25立方分米 注水的时间：11.25÷4.5＝2.5（分钟） 答：至少需要2.5分钟能将两块石头完全淹没。 2．用铁皮做一个圆柱形油桶，底面直径是4分米，高是5分米。做这个油桶至少要用多少铁皮？如果1升汽油重0.68千克，这个油桶能装汽油多少千克？（结果保留整数） 【正确答案】75.36平方分米；43千克 【解题思路】利用圆柱的表面积公式，将做油桶需要的铁皮面积求出来；利用圆柱的体积公式将圆柱的体积计算出来，再乘每升油重，得到这个油桶能装的汽油重量。 【规范解答】3.14×（4÷2）²＋3.14×4×5 ＝3.14×4＋12.56×5 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 3.14×（4÷2）²×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 62.8×0.68≈43（千克） 答：做这个油桶至少要用75.36平方分米铁皮，这个油桶能装汽油43千克。 【考察方向】本题考查了圆柱的表面积和体积，灵活运用表面积和体积公式是解题的关键。 3．笑笑过生日，有4位同学来做客，她用一大盒果汁来招待，给每位同学倒上满满的一杯后，剩下的全倒给自己喝了。长方体果汁盒、杯子如下图所示，厚度忽略不计。 （1）4位客人一共喝多少毫升果汁？ （2）笑笑喝了这盒果汁的百分之几？ 【正确答案】（1）880毫升 （2）12% 【解题思路】圆柱的体积＝底面积×高，据此求出4位客人一共喝多少毫升果汁；长方体的体积＝长×宽×高，求出这盒果汁的体积，再减去4位客人喝的，求出笑笑喝的，最后笑笑喝了这盒果汁的百分之几即可。 【规范解答】（1）20×11×4 ＝220×4 ＝880（立方厘米） 880立方厘米＝880毫升 答：4位客人一共喝880毫升果汁。 （2）10×5×20 ＝50×20 ＝1000（立方厘米） （1000－880）÷1000 ＝120÷1000 ＝12% 答：笑笑喝了这盒果汁的12%。 【考察方向】本题考查百分数，圆柱、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、长方体的体积计算公式。 4．一个饮料生产商生产一种饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从外面量，易拉罐的底面直径是6厘米、高是12厘米，易拉罐侧面标有“净含量350毫升”字样。这家生产商是否欺瞒了消费者？请计算说明理由。 【正确答案】欺瞒了，理由见详解。 【解题思路】根据圆柱的体积＝底面积×高，求得易拉罐包装的体积，再与350毫升作比较即可。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） 3.14×3×3×12 ＝3.14×108 ＝339.12（立方厘米） 339.12立方厘米＝339.12毫升 339.12＜350 答：宣传的内容与真实体积不符合，这家生产商欺瞒了消费者。 【考察方向】此题主要考查圆柱体的体积的计算方法，解答时要注意单位的换算。 5．把一盒长方体包装的牛奶（如图），全部倒入底面积是20cm2，高是10cm的圆柱体杯子里，至少需要多少个这样的杯子？（牛奶盒、杯子的厚度忽略不计） 【正确答案】6个 【解题思路】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出这盒牛奶的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出杯子的容积；最后用这盒牛奶的体积除以杯子的容积，用进一法求出至少需要的杯子个数。 【规范解答】12×6×15 ＝72×15 ＝1080（cm3） 20×10＝200（cm3） 1080÷200≈6（个） 答：至少需要6个这样的杯子。 【考察方向】掌握长方体、圆柱的体积计算公式是解题的关键。 6．李师傅准备用一块铁皮做油桶，他量了量并标注了长度（如图）。 （1）如果不计铁皮厚度和结合处的损耗，这个油桶的容积是多少L？ （2）这个油桶实际的表面积是多少dm2？ 【正确答案】（1）100.48L （2）125.6dm2 【解题思路】如图可知，8dm是油桶的两个底面直径，也是油桶的高，得底面半径为8÷2÷2＝2（dm）。16.56dm是油桶底面的一个直径和底面周长的和。底面周长16.56－8÷2＝12.56（dm），再根据圆柱的体积、表面积公式计算容积和表面积。 【规范解答】（1）8÷2÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） 这个油桶的容积是： 3.14×22×8 ＝12.56×8 ＝100.48（dm3） ＝100.48L 答：这个油桶的容积是100.48L。 （2）圆柱的底面周长： 16.56－8÷2 ＝16.56－4 ＝12.56（dm） 3.14×22×2＋12.56×8 ＝25.12＋100.48 ＝125.6（dm2） 答：这个油桶实际的表面积是125.6dm2。 【考察方向】此题考查的是圆柱的表面积和体积的计算，灵活运用公式是解题关键。 7．妈妈给小雨的塑料水杯做了一个布套（如图），小雨每天上学带一壶水。 （1）至少用了多少布料？ （2）小雨在学校一天喝1.5升水，这壶水够喝吗？（水壶的壁厚忽略不计） 【正确答案】（1）785平方厘米； （2）够 【解题思路】（1）需要布料的面积就是求圆柱的表面积，，把图中数据代入公式计算即可； （2）根据圆柱的体积公式求出这壶水的体积，再转换单位，最后和1.5升比较大小。 【规范解答】（1）2×（10÷2）2×3.14＋10×20×3.14 ＝2×25×3.14＋10×20×3.14 ＝50×3.14＋200×3.14 ＝（50＋200）×3.14 ＝250×3.14 ＝785（平方厘米） 答：至少用了785平方厘米的布料。 （2）（10÷2）2×3.14×20 ＝25×3.14×20 ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1.57升 因为1.57升＞1.5升，所以这壶水够喝。 答：这壶水够喝。 【考察方向】本题主要考查圆柱表面积和体积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 8．一个圆柱形水杯，从里面量，底面直径是8厘米，高是10厘米。如果杯子里水面的高度是5厘米。 （1）水有多少毫升？ （2）杯子里面与水接触的面积是多少平方厘米？ 【正确答案】（1）251.2毫升；（2）175.84平方厘米 【解题思路】（1）根据题意，可把杯中水看作是以8厘米为底面直径，高为5厘米的圆柱体，可根据圆柱的体积公式计算出水的体积； （2）杯子的内壁与水接触的面积就是圆柱形水杯的底面积加上侧面积，列式解答即可得到答案。 【规范解答】（1）水的体积为： 3.14×（8÷2）2×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 251.2立方厘米＝251.2毫升 答：水有251.2毫升。 （2）杯子内壁与水的接触面积为： 3.14×（8÷2）2＋3.14×8×5 ＝3.14×16＋25.12×5 ＝50.24＋125.6 ＝175.84（平方厘米） 答：杯子内壁与水的接触面积为175.84平方厘米。 【考察方向】此题主要考查的是圆柱的体积公式和圆柱的表面积公式的应用。 9．每天早晨，小维妈妈都要给家人榨新鲜果汁。 （1）榨出的果汁用圆柱形容器装（如下图），正好装满，榨出的果汁有多少毫升？（容器的厚度忽略不计） （2）如果用底面积是25cm2、高是10cm的近似长方体方口玻璃杯装，够小维家5口人每人一满杯吗？（容器的厚度忽略不计） 【正确答案】（1）1130.4mL； （2）不够 【解题思路】（1）根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出每个玻璃杯的容积，再求出5杯的容积，然后与圆柱形容器的容积进行比较即可。 【规范解答】（1）3.14×（12÷2）2×10 ＝3.14×36×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（cm2） 1130.4cm2＝1130.4mL 答：榨出的果汁有1130.4mL。 （2）25×10×5 ＝250×5 ＝1250（mL） 1130.4mL＜1250mL 答：不够小维家5口人每人一满杯。 【考察方向】此题主要考查圆柱的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．一个圆柱形水池，底面直径10米，深3米，里面装水深2米。在池底和周围贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？里面装有水多少方？ 【正确答案】贴瓷砖的面积是712.7平方米，里面装水157立方米。 【解题思路】由题意知：在池底和周围贴上瓷砖，也就是相当于求圆柱的一个底面积和侧面积是多少。里面装有水多少方就是求2米高圆柱的容积。利用圆柱的表面积公式和体积公式计算即可。 【规范解答】 ＝94.2＋25×3.14 ＝94.2＋78.5 ＝172.7（平方米） 答：在池底和周围贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是712.7平方米。 78.5×2＝ 157（立方米） 答：里面装水157立方米。 【考察方向】掌握圆柱的表面积和体积计算方法是解答本题的关键。 11．某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6cm，高为12cm。（不考虑易拉罐的厚度） （1）如图，这种易拉罐侧面印有“净含量350mL”的字样，这家生产商是否欺诈了消费者？请列式计算后简要说明。 （2）如果将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内（有盖），你认为做这样的一个纸箱至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头和重叠部分忽略不计） 【正确答案】（1）是；（2）3168平方厘米 【解题思路】（1）根据圆柱体的体积公式：V＝Sh，求出圆柱形饮料罐的体积，看是否小于350mL，若是小于350mL，就是欺骗了消费者，反之则没有欺骗； （2）根据图意可知，纸箱的长是6个饮料罐底面直径的和，宽是4个饮料罐底面直径的和，高是1个饮料罐的高，根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，解答即可。 【规范解答】（1）3.14×（6÷2）2×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（cm3） ＝339.12（mL） 339.12mL＜350mL 答：这家生产商欺诈了消费者。 （2）长：6×6＝36（厘米）；宽：6×4＝24（厘米）；高：12厘米 （36×24＋36×12＋24×12）×2 ＝（864＋432＋288）×2 ＝1584×2 ＝3168（平方厘米） 答：做这样的一个纸箱至少需要硬纸板3168平方厘米。 【考察方向】此题考查的是圆柱体的体积以及长方体表面积公式的应用，要熟练掌握计算公式。 12．一个圆柱形水桶里放入一段半径4厘米的圆钢，把它全部放入水中，桶里的水面上升了8厘米；如果把水中的圆钢提起5厘米，那么桶里的水面就下降2厘米，圆钢的体积是多少？ 【正确答案】1004.8立方厘米 【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，先计算出5厘米圆钢的体积，这段圆钢的体积与水桶里下降2厘米部分的水的体积相等，用圆柱的体积除以高，计算出这个水桶的底面积。水桶里的水上升8厘米那段水的体积与圆钢的体积相等，最后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，计算出圆钢的体积是多少。 【规范解答】3.14×42×5÷2×8 ＝3.14×16×5÷2×8 ＝251.2÷2×8 ＝1004.8（立方厘米） 答：圆钢的体积是1004.8立方厘米。 【考察方向】本题解题关键是理解：5厘米圆钢的体积与水桶里下降2厘米部分的水的体积相等，水桶里的水上升8厘米水的体积与圆钢的体积相等，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，列式计算。 13．军军生病了，在医院要输液250毫升（如图1），护士给笑笑设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度，20分钟后，空的部分的高度是6厘米（如图2）。整个输液瓶的容积是多少？ 【正确答案】350毫升 【解题思路】等量关系为：整个吊瓶的容积－输20分后剩余溶液的容积＝第20分时瓶子上方没有溶液的容积，把相关数值代入即可求解。 【规范解答】解：设整个吊瓶的容积是x毫升。 x－（250－20×2.5）＝250÷10×6 x－（250－50）＝25×6 x－200＝150 x－200＋200＝150＋200 x＝350 答：整个吊瓶的容积是350毫升。 【考察方向】得到第20分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键。 14．华强镇积极响应国家的号召，在全镇开展“绿色家园，共建新生活”的活动，免费为村民修建沼气池，每个沼气池都是底面半径为5米，深为2米的圆柱形。（抹水泥的厚度忽略不计） （1）一个沼气池占地多少平方米？ （2）在每个沼气池的侧面和下底面抹上水泥，一个沼气池抹水泥的面积是多少平方米？ （3）一个沼气池的容积是多少立方米？ 【正确答案】（1）78.5平方米；（2）141.3平方米；（3）157立方米 【解题思路】（1）求沼气池的占地面积，就是求其底面积，利用圆的面积公式即可求解； （2）首先分清抹水泥的部分是一个没有盖的圆柱形沼气池，需要计算侧面面积与底面圆的面积，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可； （3）利用圆柱的体积公式v＝πr2h即可求出这个沼气池的体积是多少立方米。 【规范解答】（1）占地面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：这个沼气池的占地面积是78.5平方米。 （2）沼气池的侧面积： 3.14×5×2×2 ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 抹水泥部分的面积： 78.5＋62.8＝141.3（平方米） 答：抹水泥部分的面积是141.3平方米。 （3）3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方米） 答：这个沼气池的体积是157立方米。 【考察方向】此题主要考查学生对圆柱体表面积和体积公式的掌握与运用情况。 15．下图是由一个正方体和半个圆柱组成的一个几何体。正方体的棱长是10厘米。求几何体的表面积和体积。（取3） 【正确答案】725平方厘米；1375立方厘米 【解题思路】几何体的表面积＝正方体1个面的面积×5＋圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2；几何体的体积＝正方体体积＋圆柱体积÷2，据此列式解答。 【规范解答】10×10×5＋3×（10÷2）2＋3×10×10÷2 ＝500＋3×25＋150 ＝500＋75＋150 ＝725（平方厘米） 10×10×10＋3×（10÷2）2×10÷2 ＝1000＋3×25×5 ＝1000＋375 ＝1375（立方厘米） 答：几何体的表面积是725平方厘米，体积是1375立方厘米。 【考察方向】关键是掌握并灵活运用正方体和圆柱的表面积和体积公式。 16．为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是0.4千克； ②从内部量出圆柱形容器的底面半径是5厘米； ③从内部量出圆柱形容器的高是10厘米； ④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米： ⑤将铁块完全浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 请根据以上信息求出这个铁块的体积。 【正确答案】157立方厘米 【解题思路】先利用圆的面积公式：S=代入求出圆柱的底面积是78.5平方厘米，铁块放入后，水面上升了（8－6）厘米，铁块的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可以看作底面积是78.5平方厘米，高为（8－6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入即可求出这个铁块的体积。 【规范解答】3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 78.5×（8－6） ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 答：这个铁块的体积是157立方厘米。 【考察方向】此题的解题关键是掌握求不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱的体积公式求解。 17．妈妈怕杯子烫手，在杯子中部套上了一个用毛线勾出的装饰品，这个装饰品的面积是多少平方厘米？如果把0.5升的水倒入杯中，能不能正好装满？（杯子的厚度忽略不计） 【正确答案】125.6平方厘米；不能 【解题思路】求装饰品的面积，可根据圆柱的侧面积公式：S＝，d＝8厘米，h＝5厘米，代入即可求出这个装饰品的面积；根据圆柱的体积（容积）公式：V＝，求出这个杯子的容积，换算单位后，与0.5升比较大小，即可得解。 【规范解答】3.14×8×5＝125.6（平方厘米） 3.14×（8÷2）2×15 ＝3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝753.6（立方厘米） 753.6立方厘米＝0.7536升 0.7536＞0.5，所以装不满。 答：这个装饰品的面积是125.6平方厘米，如果把0.5升的水倒入杯中，不能装满。 【考察方向】此题的解题关键是灵活运用圆柱的侧面积和体积（容积）公式，解决实际的问题。 18．一个无盖的圆柱形铁皮水桶（如图）。 （1）做这样的一个水桶至少需要多少铁皮？ （2）李奶奶打算用这个水桶收集生活废水，它最多能装水多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【正确答案】（1）75.36平方分米 （2）62.8升 【解题思路】（1）求需要多少铁皮即求圆柱的侧面积与底面积的和，根据圆的面积公式：S＝πr2，和圆柱的侧面公式：S＝2πrh，据此解答即可； （2）根据圆柱的体积公式，V＝Sh，据此代入数值进行计算即可。 【规范解答】（1）3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×20＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 答：做这样的一个水桶至少需要75.36平方分米铁皮。 （2）3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 答：它最多能装水62.8升。 【考察方向】本题考查圆柱的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 19．砌一个圆柱形的沼气池，底面直径是2米，深5米，在池的周围和下面的底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？这个沼气池可以容纳多少立方米的沼气？ 【正确答案】34.54平方米；15.7立方米 【解题思路】由题意可知：求抹水泥部分的面积，实际上就是求圆柱的侧面积和下底的面积和，圆柱的底面直径和高已知，代入公式即可求解；再据圆柱的体积＝底面积×高，即可求出这个沼气池容纳沼气的体积。 【规范解答】抹水泥面积： 2×3.14×5＋（2÷2）2×3.14 ＝6.28×5＋3.14 ＝31.4＋3.14 ＝34.54（平方米） 沼气体积： （2÷2）2×3.14×5 ＝3.14×5 ＝15.7（立方米） 答：抹水泥部分的面积是34.54平方米，这个沼气池可以容纳15.7立方米的沼气。 【考察方向】此题主要考查圆柱的侧面积、底面积和体积的计算方法，关键是理解抹水泥部分的面积，实际上就是求圆柱的侧面积和下底的面积和。 20．立体图形的测量。 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 【正确答案】（1）3127.76平方米 （2）1617.6立方米 【解题思路】（1）涂色部分的面积＝圆柱侧面积的一半＋长×高×2＋宽×高×2－圆柱底面积，据此列式解答； （2）U形池的体积＝长方体体积－圆柱体积的一半，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。 【规范解答】（1）2×3.14×6×120÷2＋120×3.5×2＋20×3.5×2－3.14×62 ＝2260.8＋840＋140－113.04 ＝3127.76（平方米） 答：涂色部分的面积有3127.76平方米。 （2）120×20×3.5－3.14×62×120÷2 ＝8400－6782.4 ＝1617.6（立方米） 答：该U形池所占空间1617.6立方米。 【考察方向】关键是看懂图示，掌握长方体和圆柱的表面积和体积公式。 21．一张长方形铁皮，长18.84分米，宽6分米，用这张铁皮卷成一个圆柱形铁皮水桶的侧面，另配一个底面制成一个最大的水桶。这个铁皮水桶的表面积是多少平方分米？水桶的容积是多少？ 【正确答案】表面积是141.3平方分米，容积是169.56升 【解题思路】由题意可知，这个水桶的表面积等于水桶的侧面积加上一个底面的面积，根据根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的体积（容积）公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【规范解答】18.84×6＋3.14×（18.84÷3.14÷2）2 ＝113.04＋3.14×9 ＝113.04＋28.26 ＝141.3（平方分米） 3.14×（18.84÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方分米） 169.56立方分米＝169.56升 答：这个铁皮水桶的表面积是141.3平方分米，桶的容积是169.56升。 【考察方向】此题主要考查圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．一根长2米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上，它正好是一半露出水面。 （1）这根木头的体积是多少立方厘米？ （2）这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 【正确答案】（1）62800立方厘米； （2）6594平方厘米 【解题思路】先计算出圆柱体木头的半径是多少，再把长2米转化为以厘米为单位的数。 （1）根据圆柱的体积＝底面积×高进行计算即可得到答案； （2）这根木头与水接触的面积就是这根圆柱体木头表面积的一半，可根据圆柱的表面积公式进行计算即可得到答案。 【规范解答】木头横截面的半径为：20÷2＝10（厘米） 2米＝200厘米 （1）3.14×102×200 ＝314×200 ＝62800（立方厘米） 答：这根木头的体积约是62800立方厘米。 （2）两个底面积： 3.14×102×2 ＝314×2 ＝628（平方厘米） 侧面积： 3.14×20×200 ＝62.8×200 ＝12560（平方厘米） 表面积：628＋12560＝13188（平方厘米） 与水接触的面积：13188÷2＝6594（平方厘米） 答：这根木头与水接触的面积是6594平方厘米。 【考察方向】充分结合示意图，展开空间思维，想象出木头与水接触的面的具体特征，是解题关键。 23．如图，在一个长20cm，宽15cm的长方体水槽里有6cm深的水，把一根直径10cm的圆柱形钢材垂直放入水槽，直到竖立在水槽底面。这时水面上升了多少？（的近似值取3） 【正确答案】2厘米 【解题思路】将水面上升的高度设为x厘米，那么水面上升部分的体积是以10厘米为直径、（6＋x）厘米为高的圆柱的体积，同时水面上升的体积还为以20厘米为长、15厘米为宽、x厘米为高的长方体的体积。据此列方程解方程即可。 【规范解答】解：设水面上升了x厘米。 20×15×x＝3×（10÷2）2×（6＋x） 300x＝3×25×（6＋x） 300x＝75（6＋x） 300x＝450＋75x 300x－75x＝450 225x＝450 x＝450÷225 x＝2 答：水面上升了2厘米。 【考察方向】本题考查了圆柱和长方体的体积，圆柱和长方体的体积均为底面积乘高。 24．甲、乙两个高度都是20厘米的圆柱形容器的底面积之比是4∶3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，往两个容器中注入同样多的水，直到水面高度相等，这时甲容器的水面上升多少厘米？ 【正确答案】12厘米 【解题思路】根据题意，往两个容器中注入同样多的水，说明注入水的体积相等。根据圆柱的体积公式V＝Sh，等量关系：甲的底面积×甲的水面上升高度＝乙的底面积×乙的水面上升高度，据此列方程求解。 【规范解答】解：设水面高度相等时为厘米。 4（－7）＝3（－3） 4－28＝3－9 4－3＝28－9 ＝19 19－7＝12（厘米） 答：这时甲容器的水面上升12厘米。 【考察方向】抓住注入水的体积相等，运用圆柱的体积计算公式，据此列方程。 25．小明为了做实验，把一段长1米、横截面直径是20厘米的木头放在水里，小明发现它正好是一半露出水面（如图）。这段木头与水面接触的面积是多少平方米？露出水面部分的体积是多少立方米？ 【正确答案】0.3454平方米；0.0157立方米 【解题思路】从图中可以看出，这段木头与水面接触的部分是圆柱的两个半圆和侧面的一半；所以与水面接触的面积是圆柱的底面积加上圆柱侧面积的一半，其中S底＝πr2，S侧＝πdh；圆柱露出水面部分的体积是圆柱体积的一半，根据V＝πr2h求出圆柱的体积，再乘即可。 【规范解答】1米＝100厘米   20÷2＝10（厘米） 3.14×102＋3.14×20×100× ＝3.14×100＋3.14×1000 ＝314＋3140 ＝3454（平方厘米） 3454平方厘米＝0.3454平方米 3.14×102×100× ＝3.14×100×100× ＝3.14×5000 ＝15700（立方厘米） 15700立方厘米＝0.0157立方米 答：这段木头与水面接触的面积是0.3454平方米，露出水面部分的体积是0.0157立方米。 【考察方向】灵活运用圆柱的表面积、体积计算公式是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学重难易错专项突破 第二单元专题04 圆柱的体积和容积解决实际问题 一、解答题 1．小明家有一个长65厘米，宽25厘米的长方体鱼缸，为了装饰鱼缸，他在鱼缸内放了两块石头，其中一块为高10厘米，体积3848立方厘米的不规则石头，另一块为直径16厘米，高6厘米的圆柱形石头，现在用水管以每分钟4.5立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间能将两块石头完全淹没？（π取3） 2．用铁皮做一个圆柱形油桶，底面直径是4分米，高是5分米。做这个油桶至少要用多少铁皮？如果1升汽油重0.68千克，这个油桶能装汽油多少千克？（结果保留整数） 3．笑笑过生日，有4位同学来做客，她用一大盒果汁来招待，给每位同学倒上满满的一杯后，剩下的全倒给自己喝了。长方体果汁盒、杯子如下图所示，厚度忽略不计。 （1）4位客人一共喝多少毫升果汁？ （2）笑笑喝了这盒果汁的百分之几？ 4．一个饮料生产商生产一种饮料，采用圆柱形易拉罐包装，从外面量，易拉罐的底面直径是6厘米、高是12厘米，易拉罐侧面标有“净含量350毫升”字样。这家生产商是否欺瞒了消费者？请计算说明理由。 5．把一盒长方体包装的牛奶（如图），全部倒入底面积是20cm2，高是10cm的圆柱体杯子里，至少需要多少个这样的杯子？（牛奶盒、杯子的厚度忽略不计） 6．李师傅准备用一块铁皮做油桶，他量了量并标注了长度（如图）。 （1）如果不计铁皮厚度和结合处的损耗，这个油桶的容积是多少L？ （2）这个油桶实际的表面积是多少dm2？ 7．妈妈给小雨的塑料水杯做了一个布套（如图），小雨每天上学带一壶水。 （1）至少用了多少布料？ （2）小雨在学校一天喝1.5升水，这壶水够喝吗？（水壶的壁厚忽略不计） 8．一个圆柱形水杯，从里面量，底面直径是8厘米，高是10厘米。如果杯子里水面的高度是5厘米。 （1）水有多少毫升？ （2）杯子里面与水接触的面积是多少平方厘米？ 9．每天早晨，小维妈妈都要给家人榨新鲜果汁。 （1）榨出的果汁用圆柱形容器装（如下图），正好装满，榨出的果汁有多少毫升？（容器的厚度忽略不计） （2）如果用底面积是25cm2、高是10cm的近似长方体方口玻璃杯装，够小维家5口人每人一满杯吗？（容器的厚度忽略不计） 10．一个圆柱形水池，底面直径10米，深3米，里面装水深2米。在池底和周围贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？里面装有水多少方？ 11．某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6cm，高为12cm。（不考虑易拉罐的厚度） （1）如图，这种易拉罐侧面印有“净含量350mL”的字样，这家生产商是否欺诈了消费者？请列式计算后简要说明。 （2）如果将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内（有盖），你认为做这样的一个纸箱至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头和重叠部分忽略不计） 12．一个圆柱形水桶里放入一段半径4厘米的圆钢，把它全部放入水中，桶里的水面上升了8厘米；如果把水中的圆钢提起5厘米，那么桶里的水面就下降2厘米，圆钢的体积是多少？ 13．军军生病了，在医院要输液250毫升（如图1），护士给笑笑设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度，20分钟后，空的部分的高度是6厘米（如图2）。整个输液瓶的容积是多少？ 14．华强镇积极响应国家的号召，在全镇开展“绿色家园，共建新生活”的活动，免费为村民修建沼气池，每个沼气池都是底面半径为5米，深为2米的圆柱形。（抹水泥的厚度忽略不计） （1）一个沼气池占地多少平方米？ （2）在每个沼气池的侧面和下底面抹上水泥，一个沼气池抹水泥的面积是多少平方米？ （3）一个沼气池的容积是多少立方米？ 15．下图是由一个正方体和半个圆柱组成的一个几何体。正方体的棱长是10厘米。求几何体的表面积和体积。（取3） 16．为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验： ①用天平称出这个铁块的重量是0.4千克； ②从内部量出圆柱形容器的底面半径是5厘米； ③从内部量出圆柱形容器的高是10厘米； ④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米： ⑤将铁块完全浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。 请根据以上信息求出这个铁块的体积。 17．妈妈怕杯子烫手，在杯子中部套上了一个用毛线勾出的装饰品，这个装饰品的面积是多少平方厘米？如果把0.5升的水倒入杯中，能不能正好装满？（杯子的厚度忽略不计） 18．一个无盖的圆柱形铁皮水桶（如图）。 （1）做这样的一个水桶至少需要多少铁皮？ （2）李奶奶打算用这个水桶收集生活废水，它最多能装水多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 19．砌一个圆柱形的沼气池，底面直径是2米，深5米，在池的周围和下面的底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？这个沼气池可以容纳多少立方米的沼气？ 20．立体图形的测量。 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 21．一张长方形铁皮，长18.84分米，宽6分米，用这张铁皮卷成一个圆柱形铁皮水桶的侧面，另配一个底面制成一个最大的水桶。这个铁皮水桶的表面积是多少平方分米？水桶的容积是多少？ 22．一根长2米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上，它正好是一半露出水面。 （1）这根木头的体积是多少立方厘米？ （2）这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 23．如图，在一个长20cm，宽15cm的长方体水槽里有6cm深的水，把一根直径10cm的圆柱形钢材垂直放入水槽，直到竖立在水槽底面。这时水面上升了多少？（的近似值取3） 24．甲、乙两个高度都是20厘米的圆柱形容器的底面积之比是4∶3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，往两个容器中注入同样多的水，直到水面高度相等，这时甲容器的水面上升多少厘米？ 25．小明为了做实验，把一段长1米、横截面直径是20厘米的木头放在水里，小明发现它正好是一半露出水面（如图）。这段木头与水面接触的面积是多少平方米？露出水面部分的体积是多少立方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$