第一单元 四则运算（八个重难点突破）-2024-2025学年四年级下册数学重难点专题突破（人教版）

第一单元 四则运算 一、加减法的意义和各部分间的为关系 二、乘除法的意义和各部分间的为关系 三、带小括号的混合运算 四、带中括号的混合运算 五、巧填运算符号 六、四则混合脱式计算 七、租船问题 八、购票问题 知识点1加减法的意义和各部分间的为关系 1、把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 2、已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，所求的加数叫做差。减法是加法的逆运算。 3、加法各部分间的关系：和=加数+加数 加数=和-另一个加数 4、减法各部分间的关系：差=被减数-减数 减数=被减数-差 被减数=减数+差 重难点一 空间向量的有关概念 【典例1】小红在计算一道减法题时，不小心把墨水洒在作业本上，如图，这道题只留下了验算的竖式，那么他计算的算式可能是( )，也可能是( )（要写完整的一道算式）。 【分析】验算减法时，看差与减数的和是否等于被减数，所以根据验算的竖式可知，被减数等于581，254和327是减数和差，据此写出两个减法算式即可。 【解答】当254是减数时 581－254＝327 当327是减数时 581－327＝254 所以他计算的算式可能是581－254＝327，也可能是581－327＝254。 【典例2】根据410－90＝320，写出1道加法算式和1道减法算式。 ( )      ( ) 【分析】根据被减数－减数＝差，被减数＝差＋减数，减数＝被减数－差，据此即可解答。 【解答】加法算式：320＋90＝410或90＋320＝410 减法算式：410－320＝90 【变式1-1】利用加、减法各部分间的关系，填出括号中的数。（用竖式计算。） (1)255－( )＝178 (2)( )＋145＝201 【分析】（1）根据减数＝被减数－差，用255减178，根据三位数减法法则算出结果，即把相同数位对齐，从个位算起，哪一位不够减就向前一位借1作十，再继续减； （2）根据一个加数＝和－另一个加数，用201减145，再根据三位数减法法则算出结果即可。据此解答。 【解答】（1） 所以，255－77＝178。 （2） 所以，56＋145＝201。 【变式1-2】填数。 【分析】根据加、减法的意义和各部分之间的关系可知，求一个加数可以用和减去另一个加数，求减数可以用被减数减去差，据此解答。 【解答】510－320＝190，620－320＝300，750－320＝430，780－340＝440，780－280＝500，780－175＝605。 所以， 【变式1-3】根据加、减法各部分间的关系，填一填。 加数 80 143 加数 70 202 和 198 328 被减数 324 230 减数 140 175 差 53 102 【分析】根据加减法各部分间的关系：加数＋加数＝和，一个加数＝和－另一个加数，被减数－减数＝差，被减数－差＝减数，减数＋差＝被减数，根据表中需要求的数，利用相应关系进行计算。 【解答】198－80＝118 143＋70＝213 328－202＝126 324－140＝184 175＋53＝228 230－102＝128 所以填表如下： 加数 80 143 126 加数 118 70 202 和 198 213 328 被减数 324 228 230 减数 140 175 128 差 184 53 102 知识点2乘除法的意义和各部分间的为关系 1、求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 2、已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。除法是乘法的逆运算。 3、乘法各部分间的关系：积=因数x因数 因数=积÷另一个因数 4、除法各部分间的关系：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=商x除数 重难点二 空间向量的加减运算 【典例3】432÷27的意义是：已知两个数的( )是432，和其中( )是27，求另一个因数的( )。 【分析】在乘法运算中，存在“因数×因数＝积”的关系。432÷27中的432相当于乘法中的积，27相当于其中一个因数，除法运算“432÷27”就是为了求出在乘法关系中与27相乘得到432的另一个因数，这就是432÷27所表示的数学意义。 【解答】432÷27的意义是：已知两个数的积是432，和其中一个因数是27，求另一个因数的运算。 【典例4】根据720－□÷3＝510，得出□÷3＝( )，□＝( )。 【分析】这是一道有除有减的算式，根据整数的四则运算规则，先算乘除后算加减。因此我们可以先把□÷3看成一个整体，即这个式子就变成了被减数－减数＝差，已知被减数和差，即减数＝被减数－差，所以用720－510就等于□÷3，算出□÷3＝210后，再根据被除数÷除数＝商，即被除数＝除数×商，求出被除数，即可求出□。 【解答】□÷3＝720－510＝210，即□＝210×3＝630。 所以根据720－□÷3＝510，得出□÷3＝（210），□＝（630）。 【变式2-1】根据168－54＝114，206×67＝13802，直接写出各题的得数。168－114＝( )，13802÷206＝( )。 【分析】根据减法算式各部分之间的关系，被减数－减数＝差，被减数－差＝减数，减数＋差＝被减数；根据乘法算式各部分之间的关系，因数×因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数。据此解答。 【解答】根据分析可知： 根据168－54＝114，206×67＝13802，直接写出各题的得数。168－114＝54，13802÷206＝67。 【变式2-2】根据算式120×15＝1800写出两个除法算式( )和( )。 【分析】根据“积÷一个因数＝另一个因数”即可写出两个除法算式。 【解答】根据算式120×15＝1800写出两个除法算式：1800÷120＝15和1800÷15＝120。 【变式2-3】一道没有余数的除法中，被除数、除数与商的和487，商是7，被除数是( )，除数是( )。 【分析】根据题意，因为没有余数，商是7，所以被除数是除数是7倍，把除数看作1份，被除数就是7份，用三个数的和减商，得到被除数和除数的和，即487－7＝480；再用被除数和除数的和480除以它们的总份数（7＋1），即可得到1份数除数，再用除数乘7得到被除数。据此解答。 【解答】除数： （487－7）÷（7＋1） ＝480÷8 ＝60 被除数：60×7＝420 所以，被除数是420，除数是60。 知识点3乘除法的意义和各部分间的为关系 1、一个算式里，有小括号，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2、一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 3、解决租船类问题 处理这类问题一般用假设法。假设法是一种常用的推测性的思考方法，先假设几 种情况，再根据不同情况得出结论，最后综合分析得到最优方案。处理好船数与多余人数之间的关系是解决租船类问题的关键。 重难点三 带小括号的混合运算 【典例5】一位司机从2004年7月至今，总共违反交通规则110次，累计罚款8750元。你能根据这些情况填出括号里的数吗？ 不遵守交通信号 85次 每次罚款100元 违反禁停规定 25次 每次罚款( )元 【分析】根据题意，不遵守交通信号，一次罚款100元，一共有85次不遵守交通信号，即先算出不遵守交通信号总共罚款的钱。再用8750减去不遵守交通信号的罚款数，就是违反禁停规定的罚款。已知违反禁停规定有25次，即用算出来的违反禁停规定的罚款除以25次，即可算出每次违反禁停规定要罚款多少钱。 【解答】（8750－100×85）÷25 ＝（8750－8500）÷25 ＝250÷25 ＝10（元） 因此，每违反禁停规定一次，就罚款10元。 【典例6】小汽车和卡车从相距680km的两地同时相向而行，在离中点20km的地方相遇。已知卡车每小时行40km，两车开出后( )小时相遇。 【分析】两地相距400km，那么中点到两地的距离都是680÷2＝340（km），已知在离中点20km的地方相遇，有两种情况。 情况一：卡车过了中点20km，则卡车行驶的路程是340＋20＝360（km），用卡车行驶的路程除以卡车每小时行驶的距离，即可求出两车开出后几小时相遇的。 情况二：卡车还没到中点，离中点还有20km，则卡车行驶的路程是340－20＝320（km），用卡车行驶的路程除以卡车每小时行驶的距离，即可求出两车开出后几小时相遇的。 【解答】680÷2＝340（km） 情况一： （340＋20）÷40 ＝360÷40 ＝9（小时） 情况二： （340－20）÷40 ＝320÷40 ＝8（小时） 所以两车开出后9小时或8小时相遇。 【变式3-1】一列慢车车身长125米，车速是每秒17米，一列快车车身长140米，车速是每秒22米，相距70米，快车从后面追上并完全超过需要( )秒。 【分析】快车从后面追上并完全超过时，快车比慢车多行的路程等于两车的距离加两车车身长度，快车比慢车多行的路程除以两车的速度差等于快车从后面追上并完全超过需要的时间，据此即可解答。 【解答】（70＋125＋140）÷（22－17） ＝335÷5 ＝67（秒） 快车从后面追上并完全超过需要67秒。 【变式3-2】阳光小学四（2）班的同学去清华古洞游玩，师生共48人，中午订盒饭，每份10元，买5份赠1份，至少需要( )元钱。 【分析】根据分析可知，买5份赠1份也就是6份只要5份的钱，6份实际只需要（10×5）元钱，用师生总共人数除以6等于需要几个6份盒饭，再乘1个6份需要的钱，即等于至少需要的钱，据此即可解答。 【解答】48÷（5＋1）×（10×5） ＝48÷6×50 ＝8×50 ＝400（元） 至少需要400元钱。 【变式3-3】四（8）班学生分2个组打扫操场卫生，操场总面积是3000平方米，1组有40人，负责打扫运动区，平均每人打扫60平方米，2组有6人，负责打扫看台。下面是班长计算2组学生平均每人打扫卫生面积的算式：40×60＝2400，3000－2400＝600，600÷6＝100，合并成一道综合算式是：( )。 【分析】先计算40与60的乘积，求出1组40人一共打扫的面积，用操场总面积减去1组40人一共打扫的面积，求出2组学生要打扫的面积，再除以2组人数6，即可求出2组学生平均每人打扫卫生面积，那么先计算40与60的乘积，再用3000减去40与60的乘积，求出差，再除以6即可。 【解答】（3000－40×60）÷6 ＝（3000－2400）÷6 ＝600÷6 ＝100 所以班长计算2组学生平均每人打扫卫生面积的算式：40×60＝2400，3000－2400＝600，600÷6＝100，合并成一道综合算式是：（3000－40×60）÷6＝100。 重难点四 带中括号的混合运算 【典例7】计算时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的。据此解答。 【解答】 ＝45×[400÷20] ＝45×20 ＝900 计算时，先算加法，再算除法，最后算乘法，结果是900。 【典例8】算式25×32＋48÷16，如果要添上括号改变运算顺序，使改变后的算式先算加法，再算除法，最后算乘法，那么算式应变为( )。 【分析】算式25×32＋48÷16是先同时计算乘法和除法，再算加法；如果把运算顺序改成先算加法，再算除法，最后算乘法，是把加法和除法提前了，而且加法在最前面，所以给加法加上小括号，给除法加上中括号，由此解答。 【解答】由分析知，算式应变为25×[（32＋48）÷16]。 【变式4-1】根据图中信息想一想： 算式“12÷[（60－12）÷12]”解决的问题是( )。 【分析】算式“12÷[（60－12）÷12]”中，60表示总钱数，12表示还剩的钱数，则60－12表示花费钱数。12表示一筒羽毛球的个数，（60－12）÷12表示一个羽毛球的价钱。则12÷[（60－12）÷12]表示剩下的钱数还可以买羽毛球个数。 【解答】12÷[（60－12）÷12] ＝12÷[48÷12] ＝12÷4 ＝3（个） 剩下的钱还可以买3个羽毛球。 算式“12÷[（60－12）÷12]”解决的问题是剩下的钱还可以买多少个羽毛球。 【点评】解决本题时应明确算式中各个数字表示的意义，进而明确算式表示的意义。 【变式4-2】四（1）班举行“财富小舵手”财商启航活动，有22名男生和20名女生共同参与，每支财富小队由6位成员携手合作。老师计划要把245枚货币平均分给这些财富小队，每队分得多少枚货币？列综合算式为： 。 【分析】首先要计算出总共有多少个财富小队，这需要先求出班级的总人数，再除以每个小队的人数，即（22 ＋ 20）÷6；然后用货币的总数除以小队的数量，就能得到每队分得的货币数。   【解答】245÷[（22 ＋ 20）÷6] ＝245÷（42÷6） ＝245÷7 ＝ 35（枚） 每队分得 35枚。 列综合算式为：245÷[（22 ＋ 20）÷6]。 【变式4-3】小红爱吃糖，妈妈规定平均每天吃4颗，小红前10天平均每天吃了5颗，那么后5天中平均吃( )颗才能达到妈妈的要求。 【分析】前10天加后5天等于15天，妈妈规定平均每天吃的颗数乘15等于15天总共可以吃的颗数，5乘10等于前10天吃了的颗数，总共可以吃的颗数减前10天吃了的颗数等于剩下可以吃的颗数，再除以5，即等于后5天平均可以吃的颗数，据此即可解答。 【解答】[4×（10＋5）－5×10]÷5 ＝[60－50]÷5 ＝10÷5 ＝2（颗） 后5天中平均吃2颗才能达到妈妈的要求。 【点评】本题主要考查了平均数在实际生活中的应用，熟练掌握平均数的求法是解答本题的关键。 重难点五 巧填运算符号 【典例9】在横线填适当的运算符号，让等式成立。 378－62－16＝378 （62＋16）        600÷20÷5＝600÷（20 5） 【分析】根据题意分别计算出等号左边的结果，再根据等号右边的算式，把括号看成一个整体，逐步分析，填上合适的运算符号，使等号右边算式的结果和等号左边算式的结果相等即可。 【解答】378－62－16 ＝316－16 ＝300 因为62＋16＝78，且378－78＝300， 所以378－（62＋16） ＝378－78 ＝300 则378－62－16＝378－（62＋16）； 600÷20÷5 ＝30÷5 ＝6 因为600÷100＝6，且20×5＝100， 所以600÷（20×5） ＝600÷100 ＝6 则600÷20÷5＝600÷（20×5）。 【典例10】在括号填上运算符号，在横线填上合适的数字。 253－97＝253( )100( )3          2039999＜20 0000 【分析】（1）仔细观察算式及数据特点可知，97比较接近100，可以将其转化为100－3，然后再根据：a－（b－c）＝a－b＋c将小括号去掉即可。 （2）大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大。如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。2039999和20____0000比较大小，两个数都是七位数且前两位上的数相同。要使2039999＜20____0000，那么横线上的数必须大于3，横线上可以填4，5，6，7，8，9。 【解答】（1）253－97 ＝253－（100－3） ＝253－100＋3 （2）2039999＜2040000（答案不唯一） 【变式5-1】在括号内填上运算符号，使等式成立。 3( )3( )3( )3＝24 4( )4( )4( )4＝2 【分析】加上运算符号后，先考虑运算顺序，然后再计算。计算整数混合运算时，同级运算时，从左往右依次计算；两级运算时，先算乘除法，再算加减法；有小括号时，先算小括号里的，再算小括号外的，据此用“＋、－、×、÷或者小括号”使算式的结果符合要求。 【解答】3×3×3－3 ＝9×3－3 ＝27－3 ＝24 4÷4＋4÷4 ＝1＋1 ＝2（答案不唯一） 【变式5-2】巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 【分析】根据整数的四则混合运算顺序，和括号的意义，灵活选择。 【解答】要想结果为0，可以是任意一个数乘0得0，例如；要想结果为1，可以是两个相同的数相除，例如；要想结果为7，可以由得出，例如。也可用其他方法推理得出。 【点评】本题可以用尝试法解答，答案不唯一，认真审题计算即可。 【变式5-3】填上合适的“＋、－、×、÷、（    ）、［］”运算符号使等式成立。 如：；1　　2　　3　　4＝24；8　　6　　6　　4　　＝24。 【分析】在这几个数中加入“＋、－、×、÷、（    ）、［］”运算符号，只要使计算结果等于24即可，根据混合运算的计算顺序填空即可。 【解答】1×2×3×4 ＝2×3×4 ＝6×4 ＝24 8×6÷（6－4） ＝48÷2 ＝24 即1×2×3×4＝24；8×6÷（6－4）＝24。 【点评】此题考查的是对运算符号的熟练运用，熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。 重难点六 四则混合脱式计算 【典例11】计算下面各题。 560÷[（603－253）÷50]            471＋102÷（61－44） 【分析】根据整数四则混合运算顺序： 在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，就从左往右依次计算，如果既有加减法又有乘除法，要先算乘除法再算加减法；如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。据此计算。 【解答】560÷[（603－253）÷50] ＝560÷[350÷50] ＝560÷7 ＝80 471＋102÷（61－44） ＝471＋102÷17 ＝471＋6 ＝477 【典例12】计算。 （420－42×5）÷3        （450÷15－13）×30         15×[42÷（3＋11）]        1800÷[（15＋10）×3] 【分析】和 ：要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。 和：在算式里，既有小括号，又有中括号， 要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 【解答】 【变式6-1】脱式计算。 324－45×6÷27        595÷[81－（863－799）] 【分析】（1）先计算乘法，再计算除法，最后计算减法。 （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的减法，最后计算中括号外的除法； 【解答】324－45×6÷27 ＝324－270÷27 ＝324－10 ＝314 595÷[81－（863－799）] ＝595÷[81－64] ＝595÷17 ＝35 【变式6-2】计算下面各题。 42×105－85÷5           42×（105－85÷5）          42×[（105－85）÷5] 【分析】第1题，先算乘法、除法，再算减法。 第2题，先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算小括号外的乘法。 第3题，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 【解答】42×105－85÷5            ＝4410－17 ＝4393 42×（105－85÷5）           ＝42×（105－17） ＝42×88 ＝3696 42×[（105－85）÷5] ＝42×[20÷5] ＝42×4 ＝168 【变式6-3】计算。 （120－85）×12÷7            22×[（416－96）÷8]      （216－25×8）＋198 （252＋340）÷（82－45）  940×[128－（154－37）]   720÷（15－3×2） 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再按照从左到右的顺序计算； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （3）先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算小括号外面的加法； （4）先算小括号里面的加减法，再算除法； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的乘法； （6）先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算小括号外面的除法。 【解答】（120－85）×12÷7 ＝35×12÷7 ＝420÷7 ＝60 22×[（416－96）÷8] ＝22×[320÷8] ＝22×40 ＝880 （216－25×8）＋198 ＝（216－200）＋198 ＝16＋198 ＝214 （252＋340）÷（82－45） ＝592÷37 ＝16 940×[128－（154－37）] ＝940×[128－117] ＝940×11 ＝10340 720÷（15－3×2） ＝720÷（15－6） ＝720÷9 ＝80 重难点七 租船问题 【典例13】电商“爱心助农”活动中，一位消费者下单了50千克沃柑。商家怎样包装最省运费？运费最少是多少钱？ 每个能装5千克     每个能装8千克 每个运费20元     每个运费24元 【分析】单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，总价÷数量＝单价；分别用除法计算出两种纸箱每千克是多少元，得出大号纸箱每千克的价钱更划算，那么多用大号纸箱且装满最划算；用50千克除以8千克，计算出的商为大号纸箱的数量，余下的装小号纸箱，发现不能装满，可以拿出1个大号纸箱的千克数，那么商减去1为大号纸箱实际的数量；用余下的人数加上1个大号纸箱的千克数，除以5千克计算出小号纸箱的数量，最后分别用乘法计算出两种纸箱的总价，再相加即可；据此解答。 【解答】小号纸箱每千克：20÷5＝4（元） 大号纸箱每千克：24÷8＝3（元） 4＞3，多用大号纸箱且装满最划算 大号纸箱： 50÷8＝6（个）……2（千克） 6－1＝5（个） 小号纸箱： （2＋8）÷5 ＝10÷5 ＝2（个） 总价： 5×24＋2×20 ＝120＋40 ＝160（元） 答：商家用5个大号纸箱和2个小号纸箱包装最省运费，运费最少是160元钱。 【典例14】四（1）班38名同学租观光自行车游灵湖，他们如何租车最划算，费用是多少元？ 【分析】可以根据每辆车的价格÷人数＝人均价格，分别求出两种观光自行车的人均价格，比较后尽量多租人均价格便宜的车且空座位最少甚至没有空座位，则租车最划算；用总人数38除以人均价格最便宜的每辆车限坐的人数，得到可以租几辆还剩几名同学，余下的人数可以租1辆限坐人数较少的车，从而找到租车方案，如果有空座位，可调整租车方案至空座位最少甚至没有空座位；再根据所租的两种车的辆数分别乘对应的每辆车的单价，再把两种车的总价相加。即求到租车的费用。据此解答。 【解答】36÷3＝12（元） 40÷4＝10（元） 10＜12 所以，尽量多租40元/限坐4人的车； 方案一： 38÷4＝9（辆）……2（人） 可以租9辆40元/限坐4人的车和1辆36元/限坐3人的车（空1个座位）； 40×9＋36×1 ＝360＋36 ＝396（元） 方案二： 38÷4＝9（辆）……2（人） 9－1＝8（辆） （38－8×4）÷3 ＝（38－32）÷3 ＝6÷3 ＝2（辆） 可以租8辆40元/限坐4人的车和2辆36元/限坐3人的车（没有空座位）； 40×8＋36×2 ＝320＋72 ＝392（元） 392＜396 答：租8辆40元/限坐4人的车和2辆36元/限坐3人的车最划算，费用是392元。 【点评】本题解题关键是要找到尽量多租人均价格较低的车，并且空座位最少甚至没有空座位的租车方案，才是最划算的方案。 【变式7-1】今年暑假，四年级师生130人计划到科技馆进行研学活动。你认为怎样租车更合算？一共要花费多少线？ 租车价格 大车：450元/30人 小车：400元/20人 【分析】450÷30＝15（元），400÷20＝20（元），即大车每人15元，小车每人20元。所以在没有空位的情况下，租大车更划算。130÷30＝4（辆）……10（人），即租4辆大车后还剩下10人，此时10人坐小车更划算。但此时小车上还有空位，可以把1辆大车上的人和剩下的10人合起来一起去坐小车。30＋10＝40（人），40÷2＝20（人）。即让这40人去租2辆小车就没有空位，比较划算。即一共租3辆大车，2辆小车比较划算。然后用乘法分别算出租大车和小车的钱，最后把他们加起来即可。 【解答】450÷30＝15（元），400÷20＝20（元） 15＜20，即不空位的情况下，租大车更划算。 130÷30＝4（辆）……10（人） 租4辆大车，还多10人，这10人租小车比较划算，但是会有空位。 让1辆大车的人和剩下的10人一起去租小车 30＋10＝40（人），40÷20＝2（辆） 4－1＝3（辆） 即一共需要租3辆大车，2辆小车。 450×3＋400×2 ＝1350＋800 ＝2150（元） 答：租3辆大车，2辆小车比较划算，一共需要2150元。 【变式7-2】实验小学四年级的师生去参加“只有河南•戏剧幻城”的研学活动，学生共312人，教师28人。怎样租车最省钱？ 大车：限乘40人租金900元 小车：限乘30人租金700元 【分析】租大车每人需要：900÷40＝22（元）……20（元），租小车每人需要：700÷30＝23（元）……10（元），所以租大车省钱，要尽量多租大车，最好不要有空位，最省钱。首先用312＋28＝340（人），求出老师和学生的总人数，再用总人数除以每辆大车限乘的人数，340÷40＝8（辆）……20（人），租8辆大车，剩余的人数租1辆小车（此时有空位），用每辆大车的租金乘8，求出租8辆大车的钱数，再用租8辆大车的钱数加上租1辆小车的租金，求出租8辆大车和1辆小车需要的钱数。租7辆大车，2辆小车，7×40＝280（人），340－280＝60（人），租7辆大车，剩余人数刚好租2辆小车，且没有空位，用每辆大车的租金乘7，求出租7辆大车的钱数，用每辆小车的租金乘2，求出租2辆小车的钱数，再把租7辆大车的钱数和租2辆小车的钱数相加，求出租7辆大车和租2辆小车需要的钱数，最后再把两种方案所需要的钱数进行比较，即可解答。 【解答】900÷40＝22（元）……20（元） 700÷30＝23（元）……10（元） 尽量租大车 312＋28＝340（人） 340÷40＝8（辆）……20（人） 租8辆大车，1辆小车， 租8辆大车，1辆小车，需要的钱数： 900×8＋700×1 ＝7200＋700×1 ＝7200＋700 ＝7900（元） 租7辆大车，2辆小车， 7×40＝280（人） 340－280＝60（人） 租7辆大车，剩余人数刚好租2辆小车，且没有空位。 租7辆大车，2辆小车，需要的钱数： 900×7＋700×2 ＝6300＋700×2 ＝6300＋1400 ＝7700（元） 7900元＜7700元   答：租7辆大车和2辆小车最省钱。 【变式7-3】幸福超市有两种不同包装的酸奶（如下图），李阿姨要买20盒酸奶。怎样购买最省钱？最少要花多少元？ 【分析】要使购买的酸奶最省钱，则应尽量买最便宜的一款酸奶，因此用需要购买的总酸奶数除以每款酸奶中酸奶个数，求出需要买几箱酸奶，再根据计算出的结果，乘每箱酸奶的价格进行解答即可。 一共需要的费用＝购买A款酸奶的箱数×A款酸奶一箱的价格＋购买B款酸奶的箱数×B款酸奶一箱的价格，依此计算并解答。 【解答】方案一：只购买B款酸奶。 20÷4＝5（箱） 5×16＝80（元） 方案二：既购买B款酸奶，又购买A款酸奶。 20÷6＝3（箱）……2（盒） ①：若买3箱A款酸奶，还需要买1箱B款酸奶。 3×20＋1×16 ＝60＋16 ＝76（元） ②：若买2箱A款酸奶，还需要买2箱B款酸奶。 2×20＋2×16 ＝40＋32 ＝72（元） 72＜76＜80 答：买2箱A款，2箱B款最省钱，至少花费72元。 【点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 重难点八 购票问题 【典例15】下面是某电影院推出的两种购票方案。 四一班的语文老师、数学老师和英语老师带领本班45名学生去看电影，按哪种方案买票更优惠？优惠多少元？ 【分析】已知有3位成人，45位儿童，分别求出按照A方案和B方案所需钱数，再进行大小比较即可。所花钱数少的则更优惠，再用钱数多的减去钱数少的，就是多优惠的价钱。 【解答】A方案：成人花费票钱：38×3＝114（元） 儿童花费票钱：（38÷2）×45 ＝19×45 ＝855（元） 一共花费：114＋855＝969（元） B方案：20×（3＋45） ＝20×48 ＝960（元） 960＜969 按B方案买票更优惠 多优惠：969－960＝9（元） 答：按B方案买票更优惠，优惠9元。 【典例16】四年级的四个班共170名学生，校运动会后四年级学生由每班两位老师带领去植物园游玩。他们去植物园购票最少需要多少钱？ 成人票：60元/人 学生票：40元/人 团体票：（10人及以上）：50元/人 【分析】4×2＝8（位），一共有8位老师，根据题意一共有3种方案，第一种8位老师买成人票，学生买学生票；第二种所有人都买团体票；第三种是8位老师和2名学生买团体票，剩下的学生买学生票，据此算出三种方案的钱数，选出花钱最少的即可。 【解答】第一种8位老师买成人票，170名学生买学生票：60×8＝480（元） 170×40＝6800（元） 480＋6800＝7280（元） 第二种所有人都买团体票：（170＋8）×50 ＝178×50 ＝8900（元） 第三种8位老师和2名学生买团体票，剩下的学生买学生票：10×50＝500（元） （170－2）×40 ＝168×40 ＝6720（元） 6720＋500＝7220（元） 7220元＜7280元＜8900元 答：他们去植物园购票最少需要7220元。 【变式8-1】某游乐园推出以下两种“水上嘉年华活动”的方案： 方案一 成人每人130元 儿童每人70元 方案二 团体10人以上（包含10人） 每人100元 （1）若有成人8人，儿童2人，选哪种方案合算？ （2）若有成人2人，儿童8人，哪种方案合算？ 【分析】将两种方案所需的钱计算出来，进行比较即可。方案一需要的钱＝130×成人的人数＋70×儿童的人数，方案二需要的钱＝100×团体的人数，据此解答。 【解答】（1）8×130＋2×70 ＝1040＋2×70 ＝1040＋140 ＝1180（元） 10×100＝1000（元） 1000＜1180 答：若有成人8人，儿童2人，选方案二合算。 （2）2×130＋8×70 ＝260＋560 ＝820 10×100＝1000（元） 820＜1000 答：若有成人2人，儿童8人，选方案一合算。 【变式8-2】希望小学组织12位志愿者带领69名学生去恐龙博物馆去研学。怎样购票比较划算，请你设计出2～3套方案，并优选方案。 售票处 成人票：60元人 学生票：半价 团体票：30人及以上，40元/人 【分析】方案一成人买成人票，儿童买儿童票；方案二都买团体票；方案三12名志愿者加上18名学生买团体票，其余学生买学生票。求出需要的票钱再优选。 【解答】方案一成人买成人票，儿童买儿童票需票钱： 60×12＋30×69 ＝720＋2070 ＝2790（元） 方案二都买团体票需票钱： （12＋69）×40 ＝81×40 ＝3240（元） 方案三12名志愿者加上18名学生买团体票，其余学生买学生票需票钱： （12＋18）×40＋（69－18）×30 ＝30×40＋51×30 ＝1200＋1530 ＝2730（元） 3240＞2790＞2730 答：12名志愿者加上18名学生买团体票，其余学生买学生票最划算。 【变式8-3】某动物园推出“一日游”两种购票方案。 方案一：成人每人120元，儿童每人50元。 方案二：10人及10人以上，每人80元。 现有4个大人带7个儿童一起去动物园玩，怎样买票最合算？需要多少钱？ 【分析】根据题意可知，一共有三种购票方案，方案一：购买4张成人票和7张儿童票，分别求出需要的钱数，然后相加即可； 方案二：都购买团体票，就是购买（4＋7）张团体票，用张数乘票价求出需要的钱数； 方案三：4个大人和6个儿童购买团体票，剩下的1个儿童购买儿童票，分别求出需要的钱数再相加； 然后比较三个方案，找出需要花费钱数最少的即可。 【解答】方案一：购买4张成人票和7张儿童票，需要： 120×4＋50×7 ＝480＋350 ＝830（元） 方案二：都购买团体票，需要： 80×（4＋7） ＝80×11 ＝880（元） 方案三：4个成人与6个儿童购买团体票，剩下的1个儿童购买儿童票，需要： （4＋6）×80＋（7－6）×50 ＝10×80＋1×50 ＝800＋50 ＝850（元） 830＜850＜880 答：购买4张成人票和7张儿童票最合算；需要830元。 一、填空题 1．如果要改变6＋3×5的运算顺序，那么添上括号后的算式是( )，结果是( )。 【答案】（6＋3）×5 45 【分析】根据四则混合运算顺序，在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，要从左往右依次计算；如果既有加减法，又有乘除法，要先算乘除法再算加减法；如果有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；所以原算式6＋3×5的运算顺序是先算乘法，再算加法；如果要改变其运算顺序，就是先算加法，再算乘法，根据括号可以改变运算顺序的作用，即需在加法这一步加上括号，即把6＋3添上括号，运算顺序变为先算加法，再算乘法；据此解答。 【解答】根据分析可知： （6＋3）×5 ＝9×5 ＝45 所以，如果要改变6＋35的运算顺序，那么添上括号后的算式是6＋3，结果是45。 2．计算18×50－35÷5时，先算( )法和( )法，再算( )法。 【答案】乘 除 减 【分析】一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。18×50－35÷5是不含括号的两级运算，且乘法、除法分别在减法的两侧，因此可以先同时计算乘法和除法，再计算减法。 【解答】18×50－35÷5 ＝900－7 ＝893 计算18×50－35÷5时，先算乘法和除法，再算减法。 3．妈妈带了160元钱买了一箱西瓜，还剩64元，每箱西瓜有6个。乐乐列出算式64÷[（160－64）÷6]，他解决的问题是( )。 【答案】剩下的钱能买几个西瓜 【分析】由四则运算的顺序可知，先算的小括号内的160－64，即用带的钱数减去剩下的钱数，计算的结果表示这箱西瓜用的钱数；再算中括号里面的，中括号内是一箱西瓜的钱数除以这箱西瓜的个数，求的是每个西瓜的钱数；最后算的是括号外的，用剩余的钱数除以每个西瓜的钱数，求的是剩余的钱能买西瓜的个数；据此可解此题。 【解答】由分析可知，乐乐列出算式64÷[（160－64）÷6]，他解决的问题是剩下的钱能买几个西瓜。 4．一桶油，连桶重38千克，用去一半油后连桶重20千克。桶重( )千克，原来这桶油净重( )千克。 【答案】2 36 【分析】倒出了一半的油，那么原来的总重量减去后来的总重量就是一半油的重量，求出一半油的重量再乘2就是油的总重量；然后，用原来的总重量（油和桶）减去油的总重量，就是桶的重量，据此解答。 【解答】 （千克） 桶的重量：（千克） 所以桶重2千克，原来这桶油净重36千克。 5．把438÷73＝6，920－6＝914，914×34＝31076这三个算式改写成一个综合算式是( )。 【答案】（920－438÷73）×34＝31076 【分析】先用438除以73求出商，再用920减去求出的商，求出差，最后用求出的差乘34即可求解。 【解答】（920－438÷73）×34 ＝（920－6）×34 ＝914×34 ＝31076 把438÷73＝6，920－6＝914，914×34＝31076这三个算式改写成一个综合算式是（920－438÷73）×34＝31076。 6．有44名学生去公园划船，大船限乘6人，每条船24元，小船限乘4人，每条船20元。租( )条大船，( )条小船最省钱。 【答案】6 2 【分析】根据题意，先用24÷6求出大船的人均租金，用20÷4求出小船的人均租金，尽量租便宜的，用总人数除以限乘人数，求出的商即为需要租的条数，余数即为剩下的人数，看是否正好可以租另一种船，或者少租一条便宜的多租一条贵的，据此填空即可。 【解答】大船：24÷6＝4（元） 小船：20÷4＝5（元） 4＜5，尽量租大船。 44÷6＝7（条）……2（人） 租7条大船1条小船： 24×7＋20 ＝168＋20 ＝188（元） 6×6＝36（人） （44－36）÷4 ＝8÷4 ＝2（条） 租6条大船2条小船： 24×6＋20×2 ＝144＋40 ＝184（元） 184＜188 租6条大船，2条小船最省钱。 7．下面4张扑克牌，每张都用一次，请写出结果是24的两个算式：( )、( )。 【答案】（3－2）×4×6＝24 （6－2＋4）×3＝24 【分析】从图中可知：这4个数分别是2、3、4、6，利用得数是24的算式：如4×6＝24，3×8＝24等，利用四则运算及小括号，列出结果是24的综合算式即可。 【解答】（3－2）×4×6 ＝1×4×6 ＝4×6 ＝24 （6－2＋4）×3 ＝（4＋4）×3 ＝8×3 ＝24 所以，结果是24的两个算式是：（3－2）×4×6＝24、（6－2＋4）×3＝24。（答案不唯一） 8．某小学由两名老师带领28名学生去踏青写生。大帐篷每顶住4人，租金100元；小帐篷每顶住2人，租金60元。租( )顶大帐篷和( )顶小帐篷最省钱。 【答案】7 1 【分析】先分别计算出大帐篷、小帐篷平均每人的钱数，然后进行比较，看哪种帐篷便宜，在设计方案时尽量租便宜的帐篷，而且不留空位时费用最低。 【解答】100÷4＝25（元） 60÷2＝30（元） 25＜30，大帐篷便宜。 2＋28＝30（人） 30÷4＝7（顶）……2（人） 租7顶大帐篷，还多余2人，再租1顶小帐篷刚住完，并且没有空位。 100×7＋60×1 ＝700＋60 ＝760（元） 租7顶大帐篷和1顶小帐篷最省钱。 9．______，苹果树的棵数比梨树棵数的2倍少30棵，苹果树和梨树一共多少棵？ (1)补上信息后，可以这样列式：350×2－30＋350，要补的信息是( )。 (2)补上信息后，可以这样列式：（350＋30）÷2＋350，要补的信息是( )。 【答案】(1)梨树有350棵 (2)苹果树有350棵 【分析】（1）根据题意，用梨树的棵数乘2再减去少的30棵即可求出苹果树的棵数，再加上梨树的棵数，即可求出苹果树和梨树一共多少棵，补充的信息为梨树有350棵。 （2）用苹果树的棵数加上少的30棵再除以2即可求出梨树的棵数，再加上苹果树的棵数，即可求出苹果树和梨树一共多少棵，补充的信息为苹果树有350棵。 【解答】（1）350×2－30＋350 ＝700－30＋350 ＝670＋350 ＝1020（棵） 列式：350×2－30＋350，要补的信息是梨树有350棵。 （2）（350＋30）÷2＋350 ＝380÷2＋350 ＝190＋350 ＝540（棵） 列式：（350＋30）÷2＋350，要补的信息是苹果树有350棵。 10．苏绣构思巧妙、绣工细致、针法活泼，是到苏州旅游必带的赠友佳品。赵阿姨和钱阿姨买同样的苏绣丝巾，赵阿姨买了5条，钱阿姨买了8条，赵阿姨比钱阿姨少花168元。苏绣丝巾的单价是( )元/条。 【答案】56 【分析】根据题意可知用钱阿姨买苏绣丝巾的数量减去赵阿姨买苏绣丝巾的数量，求出钱阿姨比赵阿姨多买了几条，再用168元除以多买的条数即可。 【解答】168÷（8－5） ＝168÷3 ＝56（元） 苏绣丝巾的单价是56元/条。 二、选择题 11．选择：如果△－○＝□，则下面的算式正确的是（    ）。 A．△－□＝○ B．△＋□＝○ C．○－□＝△ D．○－△＝□ 【答案】A 【分析】根据加、减法的意义和各部分间的关系：由被减数－减数＝差可知，被减数－差＝减数，差＋减数＝被减数，减数＋差＝被减数据此解答即可。 【解答】根据△－○＝□可知，△－□＝○、□＋○＝△或○＋□＝△。 即如果△－○＝□，算式正确的是△－□＝○。 故答案为：A 12．下面算式中，得数不是0的是（    ）。 A．（35－35）÷7 B．35－35÷7 C．8×9－9×8 【答案】B 【分析】0除以任何不为0的数都得0，计算时，有小括号要先算小括号里的数，然后算乘除再算加减，分别计算出算式的结果即可。 【解答】A．（35－35）÷7 ＝0÷7 ＝0 B．35－35÷7 ＝35－5 ＝30 C．8×9－9×8 ＝72－72 ＝0 故答案为：B 13．入窑一色，出窑万彩。钧瓷，始于唐、盛于宋，是我国古代五大名瓷之一，以独特的釉料及烧制方法产生的神奇窑变而闻名于世。为了让学生体会千年古镇悠远而厚重的钧瓷文化，某学校组织四年级216名学生去神垕古镇进行了研学实践活动，体验手拉坯，感受匠人心。体验活动要分组分轮进行，一轮可以参与两组，每组12名学生，需要进行多少轮才能使学生全部体验一次？龙龙想先算出一轮可以参与多少名学生，再算出需要进行多少轮才能使学生全部体验一次。下面符合龙龙想法的是（    ）。 A．216÷12÷2 B．216÷12×2 C．216÷（12×2） D．216÷（12÷2） 【答案】C 【分析】先算出一轮可以参与多少名学生，再算出需要进行多少轮才能使学生全部体验一次。先用每组的人数乘每轮可以参与的组数，求出一轮可以参与（12×2）名学生，再用总人数除以每轮参与的人数，即需要进行216÷（12×2）轮。据此选择即可。 【解答】由分析可知，龙龙想先算出一轮可以参与多少名学生，再算出需要进行多少轮才能使学生全部体验一次。符合龙龙想法的是216÷（12×2）。 故答案为：C 14．根据250＋50＝300，300÷25＝12。列成一个综合算式是（    ）。 A．250＋50÷25 B．（250＋50）÷25 C．250÷25＋50 【答案】B 【分析】根据题意，先算250与50的和，所得的和再除以25，据此列出综合算式进行解答，即把算式300÷25＝12中是300换成（250＋50）。 【解答】由分析可知，根据250＋50＝300，300÷25＝12，列成一个综合算式是（250＋50）÷25。 故答案为：B 15．四（1）班几位男生和几位女生一起摆花盆，平均每位男生摆了5盆，平均每位女生摆了3盆，他们一共摆了49盆花。女生比男生多（    ）人。 A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】A 【分析】男生与女生摆的花盆总数是49盆，男生摆的花盆数是5的倍数，女生摆的花盆数是3的倍数，5与5的积是25，而3与8的积是24，且24与25的和正好是49，由此可知男生有5人，女生有8人，8减5即可求出女生比男生多几人。 【解答】5×5＝25（盆） 3×8＝24（盆） 24＋25＝49（盆） 8－5＝3（人） 女生比男生多3人。 故答案为：A 16．钱塘区中小学校已全面实现午休“舒心躺睡”。X小学购买了一批“躺睡”垫子，因数量太多需要分批运送，前3次每次运了230块，后4次一共运了896块。根据以上信息，不能解决的问题是（    ）。 A．7次一共运了多少块垫子？ B．这批垫子还剩多少块没有运？ C．这7次平均每次运了多少块垫子？ D．后4次平均每次运了多少块垫子？ 【答案】B 【分析】（1）230乘3等于前3次运的块数，再加上后4次运的块数896，即等于7次一共运垫子的块数； （2）根据（1）可知，可以求出7次一共运的垫子的块数，但不知这批垫子总共的块数，所以求不出这批垫子还剩多少块没有运； （3）根据（1）可知，可以求出7次一共运的垫子的块数，7次一共运的垫子的块数除以7等于这7次平均每次运垫子的块数； （4）后4次一共运了896块，用896除以4等于后4次平均每次运垫子的块数。 【解答】A．根据分析可知，230乘3等于前3次运的块数，再加896等于7次一共运垫子的块数。 B．根据分析可知，这批垫子的块数减7次一共运垫子的块数，可以求出7次一共运垫子，但不知这批垫子的块数，所以求不出这批垫还剩多少块没有运。 C．根据分析可知，7次一共运垫子的块数除以7，即等于这7次平均每次运了多少块垫子。      D．根据分析可知，用896除以4等于后4次平均每次运垫子的块数。 所以根据以上信息，不能解决的问题是：这批垫子还剩多少块没有运？ 故答案为：B 17．如图所示，华华的作业纸不小心粘上了墨水，请根据他的算式推测，看不清的这部分信息可能是（    ）。 A．5盒杨梅和4千克橙子 B．5盒杨梅和5千克橙子 C．4盒杨梅和5千克橙子 D．4盒杨梅和4千克橙子 【答案】C 【分析】根据题意可知，一盒杨梅28元，表示4盒的杨梅的价格；要求橙子每千克多少元，需要知道买了几千克橙子，根据算式可知，先用总钱数减去买杨梅的钱数，求出买橙子的钱数；然后再除以橙子的重量，即可求出橙子每千克多少元，据此解答。 【解答】根据分析可知，这部分条件可能是4盒蓝莓和5千克橙子。 故答案为：C 18．小新在计算“96÷[（6＋□）×3]”时，忽略了括号的存在，结果得数是22，正确的得数是（    ）。 A．2 B．4 C．22 D．36 【答案】B 【分析】小新在计算“96÷[（6＋□）×3]”时，忽略了括号的存在，即96÷6＋□×3＝22，先算96除以6的商，用22减去16所得的差是口×3，再用所得的差除以3求出口表示的数，然后再按照正确的运算顺序进行计算。 【解答】96÷6＝16 22－16＝6 6÷3＝2 所以，□表示的数是2； 96÷[（6＋□）×3] ＝96÷[8×3] ＝96÷24 ＝4 正确的得数是4。 故答案为：B 19．古龙酱油的酿造技艺被列入“非物质文化遗产”。如果一桶酱油3千克，一箱装4桶，360千克酱油能装几箱？下面列式正确的是（    ）。 A．360÷3÷4 B．360÷4×3 C．360÷3×4 D．360×4×3 【答案】A 【分析】方法1：先用360除以3，求出360千克酱油能装多少桶；再除以4，求出能装多少箱；方法2：先用3乘4，求出一箱能装多少千克酱油；再用360除以一箱酱油的千克数，求出360千克能装多少箱。 【解答】方法1： 360÷3÷4 ＝120÷4 ＝30（箱） 方法2： 360÷（3×4） ＝360÷12 ＝30（箱） 360千克酱油能装30箱。 列式正确的为：360÷3÷4。 故答案为：A 20．红星小学组织58名教师到市区参加学术交流活动。下面是车型和费用表，租车最省钱的是（    ）。 大车 小车 限乘客14人 限乘客8人 每辆租金300元 每辆租金200元 A．租3辆大车、2辆小车 B．租4辆大车、1辆小车 C．租1辆大车、7辆小车 【答案】A 【分析】先用租车的辆数乘每种车可以乘坐的人数，判断58人是否可以全部坐下，再用租车的辆数乘每种车的租金，求出总费用，再将三个选项的总费用进行比较即可。 【解答】A．3×14＋2×8 ＝42＋16 ＝58（人） 租3辆大车、2辆小车正好全部坐满，总费用为： 3×300＋2×200 ＝900＋400 ＝1300（元） B．4×14＋1×8 ＝56＋8 ＝64（人） 租4辆大车、1辆小车可以全部坐下，且有空位，总费用为： 4×300＋1×200 ＝1200＋200 ＝1400（元） C．1×14＋7×8 ＝14＋56 ＝70（人） 租1辆大车、7辆小车可以全部坐下，且有空位，总费用为： 1×300＋7×200 ＝300＋1400 ＝1700（元） 1300＜1400＜1700，所以租3辆大车、2辆小车最省钱。 故答案为：A 三、计算题 21．脱式计算。 32×[275÷（70－15）]            209＋17×11－128 【答案】160；268 【分析】在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，都要从左往右按顺序计算。在没有括号的算式里，既有乘除法，又有加减法的要先算乘除法，再算加减法，算式里有括号要先算括号里的，再算括号外面的，中括号和小括号的运算顺序为先算小括号，再算中括号。 【解答】32×[275÷（70－15）] ＝32×[275÷55] ＝32×5 ＝160 209＋17×11－128 ＝209＋187－128 ＝396－128 ＝268 四、解答题 22．附小学生为地震灾区孩子们捐书。三年级捐书230本，四年级捐的是三年级的2倍，比五年级少捐160本，三个年级共捐书多少本？ 【答案】1310本 【分析】根据题意，用三年级捐书的本数乘2，求出四年级捐书的本数，再根据四年级比五年级少捐160本，用四年级捐书的本数加上160本，求出五年级捐书的本数，最后把三个年级捐书的本数相加，即可求出三个年级共捐书多少本。 【解答】230＋230×2＋（230×2＋160） ＝230＋460＋（230×2＋160） ＝230＋460＋（460＋160） ＝230＋460＋620 ＝690＋620 ＝1310（本） 答：三个年级共捐书1310本。 23．一款新型无人驾驶汽车进行测试中，第1小时行驶80千米，后4小时共行驶350千米。这辆车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】86千米 【分析】根据已知条件可知第1小时的路程和后4小时的路程，相加就是总路程；又知道时间是前1小时和后4小时，相加就是总时间。最后根据速度＝路程÷时间进行计算就可解答。 【解答】（80＋350）÷（1＋4） ＝430÷5 ＝86（千米） 答：这辆车平均每小时行驶86千米。 24．王叔叔驾驶小轿车从甲地前往乙地。 ①小轿车平均每小时行60千米。 ②小轿车的速度是货车的2倍。 ③王叔叔还要行驶30千米才到两地中点。 ④王叔叔已经行驶2小时。 要求甲乙两地相距多少千米？选择的信息有（    ）。（填序号） 列式解答： 【答案】①③④ （60×2＋30）×2 ＝（120＋30）×2 ＝150×2 ＝300（千米） 【分析】依据题意可知，选择信息是①③④，利用路程＝时间×速度，计算行驶2小时的路程，再加上30千米，求出甲乙两地距离的一半，再乘2，即可求出两地的距离，由此解答本题。 【解答】选择信息是①③④， 列式计算：（60×2＋30）×2 ＝（120＋30）×2 ＝150×2 ＝300（千米） 答：两地相距300千米。 25．四年级同学“六一”儿童节坐大巴车去外地研学，大巴车前2小时都按75千米/小时行驶，第3个小时行驶了90千米正好到达，这辆大巴车去时的平均速度是多少？ 【答案】80千米/小时 【分析】速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度；先用2乘75计算出前2小时行驶的总路程，再加上90计算出去时的总路程，再除以3计算出这辆大巴车去时的平均速度；据此解答。 【解答】（2×75＋90）÷3 ＝（150＋90）÷3 ＝240÷3 ＝80（千米/小时） 答：这辆大巴车去时的平均速度是80千米/小时。 26．旅行社推出“××风景区一日游”的两种价格方案。 方案一 成人每人140元。 儿童每人60元。 方案二 团体10人以上（包括10人）每人100元。 （1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？ （2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？ 【答案】（1）方案二 （2）方案一 【分析】（1）结合题中信息，成人6人，儿童4人，恰好10人，可以分别将这两种方案所花的钱数求出来再进行比较，选择花钱少的方案即可。 （2）成人4人，儿童6人，恰好10人，可以分别将这两种方案所花的钱数求出来再进行比较，选择花钱少的方案即可。 【解答】（1）方案一：140×6＋60×4 ＝840＋240 ＝1080（元） 方案二：100×（6＋4） ＝100×10 ＝1000（元） 1080＞1000 答：选择方案二更合算。 （2）方案一：140×4＋60×6 ＝560＋360 ＝920（元） 方案二：100×（6＋4） ＝100×10 ＝1000（元） 920＜1000 答：选择方案一更合算。 27．王老师采购羽毛球和乒乓球。①他买了25筒羽毛球，每筒32元。②他还买了9盒乒乓球，每盒乒乓球有12个。③他一共花了1124元。 （1）如果要求买乒乓球花了多少元？需要用到的数学信息是：______（填序号）。 列式计算： （2）请再提出一个有价值的数学问题并解答。________________________？ 【答案】（1）①③；324元 （2）每盒乒乓球多少钱？；36元（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意，要求买乒乓球花了多少元，先要知道花的总钱数和买羽毛球花的钱数，用总钱数减去买羽毛球花的钱数，即可求出买乒乓球花了多少元，据此解答即可。 （2）可以提问每盒乒乓球多少钱，用买乒乓球花的钱数除以9即可求出每盒乒乓球多少钱。（答案不唯一） 【解答】（1）需要用到的数学信息是：①③。 1124－25×32 ＝1124－800 ＝324（元） 答：买乒乓球花了324元。 （2）每盒乒乓球多少钱？ 324÷9＝36（元） 答：每盒乒乓球36元。（答案不唯一） 28．阳光小学组织师生研学旅行，有10名教师和250名学生参加此次活动。怎样租车最省钱？至少需要多少钱？ 类别 租金 限乘（不含司机） 中巴车 200元/辆 20人 大巴车 320元/辆 40人 【答案】租1辆中巴车和6辆大巴车；2120元 【分析】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出租中巴车和大巴车时每人需要的钱，要使租车最省钱，则应尽量租最便宜的一种车型，并且使每辆车都坐满，没有空位；因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数，再根据计算出的结果进行解答即可。 一共需要的租金＝租中巴车的辆数×每辆中巴车的租金＋租大巴车的辆数×每辆大巴车的租金，依此计算并解答。 【解答】200÷20＝10（元/人） 320÷40＝8（元/人） 10元＞8元 10＋250＝260（人） 260÷40＝6（辆）……20（人） 剩下的20人刚好可以租一辆中巴车，且没有空位 200＋6×320 ＝200＋1920 ＝2120（元） 答：租1辆中巴车和6辆大巴车最省钱，至少需要2120元。 29．疫情期间，运输公司需要运送30吨防疫物资，用两种载重车进行运送。一种是大车每辆载重质量为8吨，另一种是小车每辆载重质量为6吨。 （1）如果每辆车都装满，怎样安排能恰好一次运完？ （2）如果大车每辆运费700元，小车每辆运费500元，怎样安排用钱最少是多少元？ 【答案】（1）大车安排3辆，小车安排1辆 （2）大车3辆，小车1辆这样安排用钱最少是2600元 【分析】（1）第一种：假设大车租1辆，能装走8吨，那么还剩下30－8＝22（吨），22÷6＝3（辆）……4（吨），说明剩下的不能装满每辆小车，这种方法不合适；第二种：假设大车租2辆，能装走8×2＝16（吨），那么还剩下30－16＝4（吨），剩下的4吨不能装满一辆小车，这种方法不合适；第三种：假设大车租3辆，能装走8×3＝24（吨），还剩下30－24＝6（吨），剩下的6吨正好可以装一辆小车，这种方法合适； （2）通常每辆车都装满计算出的总价就是最少花的钱，单价×数量＝总价，分别用乘法计算出两种车的总价，再相加即可；据此解答。 【解答】（1）大车3辆：8×3＝24（吨） 小车： （30－24）÷6 ＝6÷6 ＝1（辆） 答：大车安排3辆，小车安排1辆能恰好一次运完。 （2）700×3＋500×1 ＝2100＋500 ＝2600（元） 答：大车3辆，小车1辆这样安排用钱最少是2600元。 30．四（1）班50名同学和4名老师要去租电瓶车游园。现在有大、小两种电瓶车可以选择。 价目表 大电瓶车 小电瓶车 限乘8人 租车费100元/辆 限乘6人 租车费90元/辆 （1）聪聪列出了算式“（50＋4）÷6×90＝810（元）”，这道算式解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】（1）全部坐小电瓶车一共需要多少元钱？ （2）租6辆大电瓶车和1辆小电瓶车。最少要花690元。 【分析】（1）50＋4表示的是一共的人数，（50＋4）÷6表示都租小电动车需要租几辆，租车费90元/辆，（50＋4）÷6×90表示都租小电动车需要多少钱； （2）先算出租两种车型平均一人的价格，100÷8＝12（元）……4（元），90÷6＝15（元），15＞12，所以大电瓶车比较便宜，然后尽可能多的租大电瓶车，剩余的人数租小电瓶车，无空座时最便宜；据此解题。 【解答】（1）聪聪列出了算式“（50＋4）÷6×90＝810（元）”，这道算式解决的是全部坐小电瓶车一共需要多少元钱？ （2）100÷8＝12（元）……4（元） 90÷6＝15（元） 15＞12，所以大电瓶车比较便宜； （50＋4）÷8 ＝54÷8 ＝6（辆）……6（人） 正好租6辆大电瓶车和1辆小电瓶车，此时花费： 100×6＋90 ＝600＋90 ＝690（元） 答：租6辆大电瓶车和1辆小电瓶车。最少要花690元。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 四则运算 一、加减法的意义和各部分间的为关系 二、乘除法的意义和各部分间的为关系 三、带小括号的混合运算 四、带中括号的混合运算 五、巧填运算符号 六、四则混合脱式计算 七、租船问题 八、购票问题 知识点1加减法的意义和各部分间的为关系 1、把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 2、已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，所求的加数叫做差。减法是加法的逆运算。 3、加法各部分间的关系：和=加数+加数 加数=和-另一个加数 4、减法各部分间的关系：差=被减数-减数 减数=被减数-差 被减数=减数+差 重难点一 空间向量的有关概念 【典例1】小红在计算一道减法题时，不小心把墨水洒在作业本上，如图，这道题只留下了验算的竖式，那么他计算的算式可能是( )，也可能是( )（要写完整的一道算式）。 【典例2】根据410－90＝320，写出1道加法算式和1道减法算式。 ( )      ( ) 【变式1-1】利用加、减法各部分间的关系，填出括号中的数。（用竖式计算。） (1)255－( )＝178 (2)( )＋145＝201 【变式1-2】填数。 【变式1-3】根据加、减法各部分间的关系，填一填。 加数 80 143 加数 70 202 和 198 328 被减数 324 230 减数 140 175 差 53 102 知识点2乘除法的意义和各部分间的为关系 1、求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 2、已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。除法是乘法的逆运算。 3、乘法各部分间的关系：积=因数x因数 因数=积÷另一个因数 4、除法各部分间的关系：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=商x除数 重难点二 空间向量的加减运算 【典例3】432÷27的意义是：已知两个数的( )是432，和其中( )是27，求另一个因数的( )。 【典例4】根据720－□÷3＝510，得出□÷3＝( )，□＝( )。 【变式2-1】根据168－54＝114，206×67＝13802，直接写出各题的得数。168－114＝( )，13802÷206＝( )。 【变式2-2】根据算式120×15＝1800写出两个除法算式( )和( )。 【变式2-3】一道没有余数的除法中，被除数、除数与商的和487，商是7，被除数是( )，除数是( )。 知识点3乘除法的意义和各部分间的为关系 1、一个算式里，有小括号，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2、一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 3、解决租船类问题 处理这类问题一般用假设法。假设法是一种常用的推测性的思考方法，先假设几 种情况，再根据不同情况得出结论，最后综合分析得到最优方案。处理好船数与多余人数之间的关系是解决租船类问题的关键。 重难点三 带小括号的混合运算 【典例5】一位司机从2004年7月至今，总共违反交通规则110次，累计罚款8750元。你能根据这些情况填出括号里的数吗？ 不遵守交通信号 85次 每次罚款100元 违反禁停规定 25次 每次罚款( )元 【典例6】小汽车和卡车从相距680km的两地同时相向而行，在离中点20km的地方相遇。已知卡车每小时行40km，两车开出后( )小时相遇。 【变式3-1】一列慢车车身长125米，车速是每秒17米，一列快车车身长140米，车速是每秒22米，相距70米，快车从后面追上并完全超过需要( )秒。 【变式3-2】阳光小学四（2）班的同学去清华古洞游玩，师生共48人，中午订盒饭，每份10元，买5份赠1份，至少需要( )元钱。 【变式3-3】四（8）班学生分2个组打扫操场卫生，操场总面积是3000平方米，1组有40人，负责打扫运动区，平均每人打扫60平方米，2组有6人，负责打扫看台。下面是班长计算2组学生平均每人打扫卫生面积的算式：40×60＝2400，3000－2400＝600，600÷6＝100，合并成一道综合算式是：( )。 重难点四 带中括号的混合运算 【典例7】计算时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 【典例8】算式25×32＋48÷16，如果要添上括号改变运算顺序，使改变后的算式先算加法，再算除法，最后算乘法，那么算式应变为( )。 【变式4-1】根据图中信息想一想： 算式“12÷[（60－12）÷12]”解决的问题是( )。 【变式4-2】四（1）班举行“财富小舵手”财商启航活动，有22名男生和20名女生共同参与，每支财富小队由6位成员携手合作。老师计划要把245枚货币平均分给这些财富小队，每队分得多少枚货币？列综合算式为： 。 【变式4-3】小红爱吃糖，妈妈规定平均每天吃4颗，小红前10天平均每天吃了5颗，那么后5天中平均吃( )颗才能达到妈妈的要求。 重难点五 巧填运算符号 【典例9】在横线填适当的运算符号，让等式成立。 378－62－16＝378 （62＋16）        600÷20÷5＝600÷（20 5） 【典例10】在括号填上运算符号，在横线填上合适的数字。 253－97＝253( )100( )3          2039999＜20 0000 【变式5-1】在括号内填上运算符号，使等式成立。 3( )3( )3( )3＝24 4( )4( )4( )4＝2 【变式5-2】巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 【变式5-3】填上合适的“＋、－、×、÷、（    ）、［］”运算符号使等式成立。 如：；1　　2　　3　　4＝24；8　　6　　6　　4　　＝24。 重难点六 四则混合脱式计算 【典例11】计算下面各题。 560÷[（603－253）÷50]            471＋102÷（61－44） 【典例12】计算。 （420－42×5）÷3        （450÷15－13）×30         15×[42÷（3＋11）]        1800÷[（15＋10）×3] 【变式6-1】脱式计算。 324－45×6÷27        595÷[81－（863－799）] 【变式6-2】计算下面各题。 42×105－85÷5           42×（105－85÷5）          42×[（105－85）÷5] 【变式6-3】计算。 （120－85）×12÷7            22×[（416－96）÷8]      （216－25×8）＋198 （252＋340）÷（82－45）  940×[128－（154－37）]   720÷（15－3×2） 重难点七 租船问题 【典例13】电商“爱心助农”活动中，一位消费者下单了50千克沃柑。商家怎样包装最省运费？运费最少是多少钱？ 每个能装5千克     每个能装8千克 每个运费20元     每个运费24元 【典例14】四（1）班38名同学租观光自行车游灵湖，他们如何租车最划算，费用是多少元？ 【变式7-1】今年暑假，四年级师生130人计划到科技馆进行研学活动。你认为怎样租车更合算？一共要花费多少线？ 租车价格 大车：450元/30人 小车：400元/20人 【变式7-2】实验小学四年级的师生去参加“只有河南•戏剧幻城”的研学活动，学生共312人，教师28人。怎样租车最省钱？ 大车：限乘40人租金900元 小车：限乘30人租金700元 【变式7-3】幸福超市有两种不同包装的酸奶（如下图），李阿姨要买20盒酸奶。怎样购买最省钱？最少要花多少元？ 重难点八 购票问题 【典例15】下面是某电影院推出的两种购票方案。 四一班的语文老师、数学老师和英语老师带领本班45名学生去看电影，按哪种方案买票更优惠？优惠多少元？ 【典例16】四年级的四个班共170名学生，校运动会后四年级学生由每班两位老师带领去植物园游玩。他们去植物园购票最少需要多少钱？ 成人票：60元/人 学生票：40元/人 团体票：（10人及以上）：50元/人 【变式8-1】某游乐园推出以下两种“水上嘉年华活动”的方案： 方案一 成人每人130元 儿童每人70元 方案二 团体10人以上（包含10人） 每人100元 （1）若有成人8人，儿童2人，选哪种方案合算？ （2）若有成人2人，儿童8人，哪种方案合算？ 【变式8-2】希望小学组织12位志愿者带领69名学生去恐龙博物馆去研学。怎样购票比较划算，请你设计出2～3套方案，并优选方案。 售票处 成人票：60元人 学生票：半价 团体票：30人及以上，40元/人 【变式8-3】某动物园推出“一日游”两种购票方案。 方案一：成人每人120元，儿童每人50元。 方案二：10人及10人以上，每人80元。 现有4个大人带7个儿童一起去动物园玩，怎样买票最合算？需要多少钱？ 一、填空题 1．如果要改变6＋3×5的运算顺序，那么添上括号后的算式是( )，结果是( )。 2．计算18×50－35÷5时，先算( )法和( )法，再算( )法。 3．妈妈带了160元钱买了一箱西瓜，还剩64元，每箱西瓜有6个。乐乐列出算式64÷[（160－64）÷6]，他解决的问题是( )。 4．一桶油，连桶重38千克，用去一半油后连桶重20千克。桶重( )千克，原来这桶油净重( )千克。 5．把438÷73＝6，920－6＝914，914×34＝31076这三个算式改写成一个综合算式是( )。 6．有44名学生去公园划船，大船限乘6人，每条船24元，小船限乘4人，每条船20元。租( )条大船，( )条小船最省钱。 7．下面4张扑克牌，每张都用一次，请写出结果是24的两个算式：( )、( )。 8．某小学由两名老师带领28名学生去踏青写生。大帐篷每顶住4人，租金100元；小帐篷每顶住2人，租金60元。租( )顶大帐篷和( )顶小帐篷最省钱。 9．______，苹果树的棵数比梨树棵数的2倍少30棵，苹果树和梨树一共多少棵？ (1)补上信息后，可以这样列式：350×2－30＋350，要补的信息是( )。 (2)补上信息后，可以这样列式：（350＋30）÷2＋350，要补的信息是( )。 10．苏绣构思巧妙、绣工细致、针法活泼，是到苏州旅游必带的赠友佳品。赵阿姨和钱阿姨买同样的苏绣丝巾，赵阿姨买了5条，钱阿姨买了8条，赵阿姨比钱阿姨少花168元。苏绣丝巾的单价是( )元/条。 二、选择题 11．选择：如果△－○＝□，则下面的算式正确的是（    ）。 A．△－□＝○ B．△＋□＝○ C．○－□＝△ D．○－△＝□ 12．下面算式中，得数不是0的是（    ）。 A．（35－35）÷7 B．35－35÷7 C．8×9－9×8 13．入窑一色，出窑万彩。钧瓷，始于唐、盛于宋，是我国古代五大名瓷之一，以独特的釉料及烧制方法产生的神奇窑变而闻名于世。为了让学生体会千年古镇悠远而厚重的钧瓷文化，某学校组织四年级216名学生去神垕古镇进行了研学实践活动，体验手拉坯，感受匠人心。体验活动要分组分轮进行，一轮可以参与两组，每组12名学生，需要进行多少轮才能使学生全部体验一次？龙龙想先算出一轮可以参与多少名学生，再算出需要进行多少轮才能使学生全部体验一次。下面符合龙龙想法的是（    ）。 A．216÷12÷2 B．216÷12×2 C．216÷（12×2） D．216÷（12÷2） 14．根据250＋50＝300，300÷25＝12。列成一个综合算式是（    ）。 A．250＋50÷25 B．（250＋50）÷25 C．250÷25＋50 15．四（1）班几位男生和几位女生一起摆花盆，平均每位男生摆了5盆，平均每位女生摆了3盆，他们一共摆了49盆花。女生比男生多（    ）人。 A．3 B．5 C．8 D．13 16．钱塘区中小学校已全面实现午休“舒心躺睡”。X小学购买了一批“躺睡”垫子，因数量太多需要分批运送，前3次每次运了230块，后4次一共运了896块。根据以上信息，不能解决的问题是（    ）。 A．7次一共运了多少块垫子？ B．这批垫子还剩多少块没有运？ C．这7次平均每次运了多少块垫子？ D．后4次平均每次运了多少块垫子？ 17．如图所示，华华的作业纸不小心粘上了墨水，请根据他的算式推测，看不清的这部分信息可能是（    ）。 A．5盒杨梅和4千克橙子 B．5盒杨梅和5千克橙子 C．4盒杨梅和5千克橙子 D．4盒杨梅和4千克橙子 18．小新在计算“96÷[（6＋□）×3]”时，忽略了括号的存在，结果得数是22，正确的得数是（    ）。 A．2 B．4 C．22 D．36 19．古龙酱油的酿造技艺被列入“非物质文化遗产”。如果一桶酱油3千克，一箱装4桶，360千克酱油能装几箱？下面列式正确的是（    ）。 A．360÷3÷4 B．360÷4×3 C．360÷3×4 D．360×4×3 20．红星小学组织58名教师到市区参加学术交流活动。下面是车型和费用表，租车最省钱的是（    ）。 大车 小车 限乘客14人 限乘客8人 每辆租金300元 每辆租金200元 A．租3辆大车、2辆小车 B．租4辆大车、1辆小车 C．租1辆大车、7辆小车 三、计算题 21．脱式计算。 32×[275÷（70－15）]            209＋17×11－128 四、解答题 22．附小学生为地震灾区孩子们捐书。三年级捐书230本，四年级捐的是三年级的2倍，比五年级少捐160本，三个年级共捐书多少本？ 23．一款新型无人驾驶汽车进行测试中，第1小时行驶80千米，后4小时共行驶350千米。这辆车平均每小时行驶多少千米？ 24．王叔叔驾驶小轿车从甲地前往乙地。 ①小轿车平均每小时行60千米。 ②小轿车的速度是货车的2倍。 ③王叔叔还要行驶30千米才到两地中点。 ④王叔叔已经行驶2小时。 要求甲乙两地相距多少千米？选择的信息有（    ）。（填序号） 列式解答： 25．四年级同学“六一”儿童节坐大巴车去外地研学，大巴车前2小时都按75千米/小时行驶，第3个小时行驶了90千米正好到达，这辆大巴车去时的平均速度是多少？ 26．旅行社推出“××风景区一日游”的两种价格方案。 方案一 成人每人140元。 儿童每人60元。 方案二 团体10人以上（包括10人）每人100元。 （1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？ （2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？ 27．王老师采购羽毛球和乒乓球。①他买了25筒羽毛球，每筒32元。②他还买了9盒乒乓球，每盒乒乓球有12个。③他一共花了1124元。 （1）如果要求买乒乓球花了多少元？需要用到的数学信息是：______（填序号）。 列式计算： （2）请再提出一个有价值的数学问题并解答。________________________？ 28．阳光小学组织师生研学旅行，有10名教师和250名学生参加此次活动。怎样租车最省钱？至少需要多少钱？ 类别 租金 限乘（不含司机） 中巴车 200元/辆 20人 大巴车 320元/辆 40人 29．疫情期间，运输公司需要运送30吨防疫物资，用两种载重车进行运送。一种是大车每辆载重质量为8吨，另一种是小车每辆载重质量为6吨。 （1）如果每辆车都装满，怎样安排能恰好一次运完？ （2）如果大车每辆运费700元，小车每辆运费500元，怎样安排用钱最少是多少元？ 30．四（1）班50名同学和4名老师要去租电瓶车游园。现在有大、小两种电瓶车可以选择。 价目表 大电瓶车 小电瓶车 限乘8人 租车费100元/辆 限乘6人 租车费90元/辆 （1）聪聪列出了算式“（50＋4）÷6×90＝810（元）”，这道算式解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$