8.3 实数及其简单运算（1）（教案，新教材）-2024-2025学年七年级数学下册同步备课教案（人教版2024）

8.3 实数及其简单运算（1）（教案　新教材） 第八章　实数 8.3 实数及其简单运算（1） 【教学目标】 1．通过和有理数类比探究无理数,理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数； 2．理解实数的概念，会把实数进行分类． 3．通过类比、分类、转化等数学思想方法的应用，积累发展数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验． 【教学重点】实数的概念． 【教学难点】实数的分类．　　　　　 【教学过程】 一、情境导入 引入 在前面的学习中，我们通过引入一类新的数——负数，使数的范围扩充到有理数。本章我们认识了像这样的无限不循环小数，它们是有理数吗?如果不是，我们将再次扩充数的范围.本节课开始学习，课题是：8.3 实数及其简单运算（1）（展示课题） 二、合作探究 探究一：无理数概念 活动1 探究 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么? · 学生操作，并归纳：可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 追问1：整数可以写成小数形式吗？ 学生讨论：整数可以写成小数点后为0的小数. 追问2： 有理数都可以写成什么样的小数形式？ 学生归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或 无限循环小数也都是有理数. 追问3：从上面的结论看，有理数一定能写成两个整数之比(分数)的数？你能说出理由吗？ 学生发表意见：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，有限小数或无限循环小数都能写成两个整数之比(分数)的形式. 教师强调：看一个是否是有理数，就看这个数能否表示为两个整数之比(分数)的形式. 活动2：什么是无理数？ 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如√2，等.π=3.141 59265…也是无限不循环小数. 追问1：从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是有理数.我们需要再次扩充数的范围，无限不循环小数又叫作什么数呢？ 学生交流：叫无理数，即无限不循环小数又叫无理数. 追问2：你认为无限不循环小数可以表示成两个整数之比(分数)的形式吗？如果能，举一例. 学生讨论，教师强调：无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 活动3：无理数的分类. 追问1：类比有理数，无理数怎样分类？你能举例吗？ 学生讨论：无理数也有正负之分. 追问2：有理数分为正数、0、负数，为什么无理数只有正、负之分呢？ 学生比较：无理数不含0. 活动4：溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法” 探究二：实数及分类 活动5：再次扩充数的范围后，有理数和无理数合在一起是什么实数呢？ 师生共同：有理数和无理数统称实数. 活动6：怎样给实数分类？ 追问1：前面我们给数进行分类，是按什么原则进行的？ 学生交流、讨论：不重复，不遗漏. 追问2：如果按照有理、无理你想怎样进行分类？ 学生讨论：实数分类如下: 这样满足每一类数不重不漏. 追问3：如果按正、负来分，实数又怎么分？ 学生讨论：实数分类如下: 活动6：概念辨别 例1 把下列各数分别填到相应的括号内： －3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.10100…. (1)有理数：{　　　　　　　…}； (2)无理数：{　　　　　　　…}； (3)整数：{　　　　　　　　…}； (4)负实数：{　　　　　　　…}． 学生活动：根据实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复，将符合条件的数填入相应括号． 解：(1)有理数集合{－3.6，，5，0，－，，3.14，…}； (2)无理数集合{，，，0.10100…，…}； (3)整数集合{，5，0，－，…}； (4)负实数集合{－3.6，，－，…}． 例2 下列说法中，正确的是（    ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．正实数包括正有理数和正无理数 学生活动：根据实数的分类可进行判断． 解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误；B、无限不循环小数是无理数，原说法错误；C、实数可分为正实数、零和负实数，原说法错误；D、正实数包括正有理数和正无理数，说法正确； 故选D． 探究三：实数与数轴 活动7：回顾数轴 学生复习：规定了原点、单位长度、正方向的直线；任何一个有理数都可以在数轴上的点表示． 问题：有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示吗？ 我们以π，为例，看一看如何在数轴上表示无理数. 活动8：无理数π如何在数轴上表示. 思考 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，点对应的数是多少? 从图中可以看出，的长是这个圆的周长π，所以点对应的数是π.这样，数轴上的点就表示无理数π. 活动9：如何在数轴上表示. 学生操作：以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示. 追问1：为什么这两点分别表示的是点？ 学生从前面平方根的引入中加以说明. 追问2：类比有理数，无理数也可以用数轴上的点表示，无理数与数轴上点之间有什么关系？ 学生讨论归纳：数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度;表示负无理数-b (b>0)的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度. 活动10：实数和数轴上的点之间的关系 追问1：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示吗？ 师生共同归纳：有理数、无理数都可以用数轴上的点表示，表明当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示. 追问2：数轴上的每一个点都可以表示一个实数吗？实数与数轴上的点是什么对应关系？ 师生共同归纳：数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的. 活动11：在数轴上的点表示的数的大小比较. 师生共同归纳：与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 活动12： 例3 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 师生共同分析：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 解：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个． 故选C. 三、强化巩固 1．练习：1、2、3． 小组合作完成． 2．拓展训练：阅读理解： 一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，，则A，B两点的距离．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为，4，则记，，因为，显然A，B两点的距离．若点C为线段的中点，则，所以，即．    解决问题： (1)直接写出线段的中点C表示的实数 ； (2)在点B右侧的数轴上有点P，且，求点P表示的实数； (3)在（2）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，那么点B的速度为每秒多少个单位长度？ 【分析】（1）根据阅读材料可得线段的中点C表示的实数； （2）在点B右侧的数轴上有点P，且，列出方程即可求点P表示的实数xP； （3）在（2）的条件下，根据点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，即可求出点B的速度． 【解】（1）∵，，点C为线段的中点， ∴． 故答案为； （2）∵， ∴， 解得 答：点P表示的实数； （3）如图，    ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴   ∴ ∵A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍， ∴的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，则， 设点B的速度为每秒x个单位长度，则点A的速度为每秒个单位长度，根据题意可知：3秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， 当点A在点B左侧时，， 解得； 当点A在点B右侧时，，解得． 答：B点速度为每秒1或个单位长度． 四、总结拓展 1．无限不循环小数又叫无理数；有理数与无理数统称为实数； 2．实数通常按两种方法进行分类； 3.实数与数轴上的点是一一对应关系；和有理数的大小一样，数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 4．实数的概念主要是与有理数进行类比，通过类比、分类讨论、转化等数学思想方法的应用，积累数学发展的思想方法和基本经验． 五、作业布置 必做作业：课本习题8.3第1、2、6题． 选做作业：课本习题8.3第7题． 附：板书设计 ( 例1. 例2. 例 3. 学生练习板演（拓展训练） ) ( 8.3 实数及其简单运算（ 1 ） 探究一： 无理数概念 探究二：实数及分类 探究三：实数与数轴 ) 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$