模拟卷06（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题6 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合是的非空子集，满足 则所有可能的子集的个数为_____． 2．方程在上的所有根之和为_____． 3．正整数满足，这里表示不超过实数的最大整数．如果构成等比数列，则的值等于_____． 4．正方体的棱长为2，其表面的中心为，点在正方体另一个表面上运动，且满足，则点运动的轨迹长度为_____． 5．椭圆的左焦点为．过且不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线为．已知原点到的距离为，则的斜率的可能值为_____． 6．复数满足关于的方程的解中包含一对共轭复数，其中为虚数单位．则的值为_____． 7．等腰梯形，如果其内部存在一点，满足4，则的值为_____． 8．田忌赛马是一个著名的古代故事．现有甲、乙两人进行赛马比赛，他们分别有编号为1至6的赛马各一匹，满足：编号小的赛马永远比编号大的赛马跑得快，而对于编号相同的赛马，甲的那匹永远比乙的那匹跑得快．他们依次进行6场比赛，每匹赛马恰出场一次．已知甲在第场比赛会派出编号为的赛马．乙希望安排自己赛马的出场顺序，使得最终赢得至少4场比赛．则这样的安排方法数为_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．圆O：与直线交于两点，设圆C在线段AB上方，且与圆O内切于D，与线段AB相切于E．记D在直线CE上的投影为H，当的最大值时，求C点的坐标． 10．在正项数列中， 其中是数列的前项之和． （1）证明：以为三边长的三角形有一个内角为定值； （2）试求数列的通项公式． 11．求所有的二次函数，使得对于任意实数，都有成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题6参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合是的非空子集，满足 则所有可能的子集的个数为_____． 【答案】7 【详解】条件等价于任意，都有．于是中的元素只可能为0，4，8．所以满足条件的有个． 2．方程在上的所有根之和为_____． 【答案】 【详解】对于，有，于是 于是，，可以解得：，两根之和为． 3．正整数满足，这里表示不超过实数的最大整数．如果构成等比数列，则的值等于_____． 【答案】13或7 【详解】若，则．由可知．所以，不符合题意． 故，此时．代入验证可知和满足条件． 4．正方体的棱长为2，其表面的中心为，点在正方体另一个表面上运动，且满足，则点运动的轨迹长度为_____． 【答案】 【详解】设面的中心为，不难发现与平面垂直，于是，又由于，于是，那么； 另一方面，我们熟知，那么与平面垂直，则，取的中点为的中位线，则，于是． 综上所述，与平面垂直，再根据，且点在平面上运动，可以得出点的运动轨迹为线段，其长度为． 5．椭圆的左焦点为．过且不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线为．已知原点到的距离为，则的斜率的可能值为_____． 【答案】±1 【详解】设斜率为坐标为坐标为中点坐标为． 令，则直线的方程为．联立与椭圆的方程 消去得 由韦达定理，所以 于是方程为，从而点到的距离为 令，则． 代入，得．于是 注意到，所以，于是．此时． 6．复数满足关于的方程的解中包含一对共轭复数，其中为虚数单位．则的值为_____． 【答案】 【详解】和均以这对共轭复数为解．将两式相加和相减后化简可得 故存在实数使得．于是 解得 7．等腰梯形，如果其内部存在一点，满足4，则的值为_____． 【答案】 【详解】设，以中点为原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨设，则，再假设，于是 两式相减得： 另一方面， 两式相减， 结合，可以得出． 8．田忌赛马是一个著名的古代故事．现有甲、乙两人进行赛马比赛，他们分别有编号为1至6的赛马各一匹，满足：编号小的赛马永远比编号大的赛马跑得快，而对于编号相同的赛马，甲的那匹永远比乙的那匹跑得快．他们依次进行6场比赛，每匹赛马恰出场一次．已知甲在第场比赛会派出编号为的赛马．乙希望安排自己赛马的出场顺序，使得最终赢得至少4场比赛．则这样的安排方法数为_____． 【答案】58 【详解】我们构造序列，其中表示乙在第场比赛派出的马的编号．则显然，且乙在第场比赛获胜等价于． 若乙在至少4场比赛获胜，则至多有两个不同的，使得．注意到，我们接下来分以下两种情况讨论： 情形1：满足的恰有一个． 由知；因为且，所以．依次类推可知此时只有一个满足条件的数列，即． 情形2：满足的恰有两个．我们设这两个数为． 以为例，我们先考虑满足的序列的个数．易知．接下来我们依次确定取值为6，5，4，3，2的项的下标．注意到若，则必有，所以取值为6的下标只有1，3这两种可能；取值为6的下标确定后，则取值为5的下标可为1，3中剩余的一个和6两种可能；无论取值为6，5的下标如何，取值为4的下标均有两种可能（若取值为5，6，则4的下标可为5或6；若某一个为，则4的下标可为1，3中剩余的一个和5这两种可能）．按此规律，6，5，4，3这4个数的下标均有两种可能的选择而2有唯一选择（因为已确定下来），于是序列有个．注意到这些序列中不满足的恰有1个，即，于是满足条件的序列有个． 对任意，满足的序列有个，其中不满足的恰有一个，于是满足条件的序列有个．故满足情形2的序列一共有个． 综上，可能的安排方法有种． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．圆O：与直线交于两点，设圆C在线段AB上方，且与圆O内切于D，与线段AB相切于E．记D在直线CE上的投影为H，当的最大值时，求C点的坐标． 【答案】 【详解】设点坐标为，圆的半径为．则由圆与圆内切于，线段相切于可知 整理得，并且． 又由共线可知，结合为在直线上的投影，可得 所以． 令，则． 所以． 令． 讨论易知为极大值点． 此时点坐标为． 10．在正项数列中， 其中是数列的前项之和． （1）证明：以为三边长的三角形有一个内角为定值； （2）试求数列的通项公式． 【详解】（1）证明：由题意，，故 设长度为的两边夹角为，则由余弦定理 于是，故以为三边长的三角形有一个内角为定值． （2）构造为射线上一点且为射线上的一列点且．由知为正三角形． 由（1）知，． 于是时，，故为等腰三角形． 所以，继而 故时，由正弦定理知． 由此解得． 此对也成立，故数列通项公式为． 11．求所有的二次函数，使得对于任意实数，都有成立． 【详解】令，得，故． 若，令，得，故． 所以此时必有．故一定存在正实数，使得． 再令，得 矛盾．故． 此时．代入，得 时，整理得 故． 固定，设 由知，对任意实数． 于是．又因为，故． 代入，得． 带回检验，有 符合题意． 综上所述，所有满足条件的二次函数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$