模拟卷09（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题9 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设正实数满足，则的值为 ． 2．已知等比数列的公比，成公差为的等差数列，则的最小值为 ． 3．已知函数在上的值域是．若，且，则的最小值为 ． 4．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是 ． 5．设复数z满足，则的实部的取值范围是 ． 6．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 ． 7．已知抛物线的焦点为，直线l与C交于两点，若，则l的斜率为 ． 8．已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75，方差为80，则这9位学生成绩的中位数的最大值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知存在实数，使得函数的图象关于直线对称，求的最小值． 10．（本题满分20分）已知凸四边形ABCD内接于圆，，，求的最大值． 11.（本题满分20分）求所有的非负实数，使得对于任意实数，均有 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题9参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设正实数满足，则的值为 ． 答案：108． 解：设，则．故 ． 2．已知等比数列的公比，成公差为的等差数列，则的最小值为 ． 答案：3． 解：由题意得，即，故． 从而．因此当时， ， 当且仅当时等号成立．所以的最小值为3． 3．已知函数在上的值域是．若，且，则的最小值为 ． 答案：． 解：当取最小值时，的最小正周期最大，在上单调，且 ， 所以，解得． 4．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是 ． 答案：． 解：从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，不同的取法种数为；从圆内接正八边形的8个顶点中任取2个顶点连成线段，其中有4条为圆的直径，所以可以构成直角三角形的个数为． 因此所求事件的概率． 5．设复数z满足，则的实部的取值范围是 ． 答案：． 解：设，则，故．所以 ． 6．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 ． 答案：． 解：如图，作出正四棱台的轴截面，分别与切于点． 设，则，进而． 注意到且，因此，即，解得． 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2． 故该正四棱台的体积． 7．已知抛物线的焦点为，直线l与C交于两点，若，则l的斜率为 ． 答案：． 解：右图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点在C的准线上的射影分别为，，垂足为． 设，，则． 而，所以，l的斜率为． 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． （另一种可能的情形是l经过坐标原点，过程同上） 8．已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75，方差为80，则这9位学生成绩的中位数的最大值为 ． 答案：83． 解：设9位学生的成绩分别为，且． 记的平均数为，方差为；的平均数为，方差为． 由平均值为75得，即． 由分层抽样的方差公式，可知 ， 得，解得，进而有． 又当时，取到83，因此中位数的最大值为83． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知存在实数，使得函数的图象关于直线对称，求的最小值． 解：由二项式定理，． 因为的定义域为，故其图象如果关于直线对称，只能有，即是偶函数． 因此有和x前的系数均为，从而，． 由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值． 10．（本题满分20分）已知凸四边形ABCD内接于圆，，，求的最大值． 解：设，其中． 在中，由正弦定理可得；在中，由正弦定理可得．故． 又，所以，因此 ， 解得． 进而可得． 由正弦定理可得，故 ， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 11.（本题满分20分）求所有的非负实数，使得对于任意实数，均有 ． 解：考虑的取值范围．所求实数r的全体即为． 设．当时，令，定义的函数 ， 并补充定义． 用表示的值域． 根据的性质，有以下结论： 当时，； 当时，； 当时，． 注意到，恒等式．故对于任意的正整数，均有 ． 又，从而． 因此，所求实数r为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$