精品解析：安徽省安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷

安庆石化一中九年级开学随堂练习数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出． 【详解】解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 3. 由二次函数，可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合，得出其图象开口向上，对称轴为最小值为1，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其图象开口向上，故A不正确； ∴对称轴为故B不正确； ∴最小值为1，故C正确； ∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故D不正确． 故选：C． 4. 计算： ( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，把，，的相应三角函数值代入进行计算即可求解．熟记特殊角，，的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A. AB2＝AC•BC B. BC2＝AC•BC C. AC＝BC D. BC＝AC 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项． 【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC， ∴，即AC2=BC•AB，故A、B错误； ∴AC=AB，故C错误； BC=AC，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∵ ∴ 则 所以． 故选：A． 8. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 9. 已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　） A. 16 B. 15 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入y整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解． 【详解】解：∵a+b＝3，c﹣3a＝﹣6， ∴b＝3﹣a，c＝3a﹣6， ∵b，c都是非负数， ∴， 解不等式①得，a≤3， 解不等式②得，a≥2， ∴2≤a≤3， y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a﹣6＝a2+2a﹣3， ∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1， ∴a＝2时，最小值n＝22+2×2﹣3＝5， a＝3时，最大值m＝32+2×3﹣3＝12， ∴m﹣n＝12﹣5＝7 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出y关于a的函数关系式． 10. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB；其中正确的是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由△BPC是等边三角形，得出∠ABE＝∠DCF＝30°，可得结论①正确；证明△DEP∽△BED，可得结论④正确；由∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB可得结论③正确；进而可结论②正确． 【详解】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， 在正方形ABCD中， ∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90° ∴∠ABE＝∠DCF＝30°， ∴（ASA）， ∴AE＝BE＝CF；故①正确； ∵PC＝CD，∠PCD＝30°， ∴∠PDC＝75°， ∴∠FDP＝15°， ∵∠DBA＝45°， ∴∠PBD＝15°， ∴∠EDP＝∠EBD， ∵∠DEP＝∠DEP， ∴△DEP∽△BED， ∴＝，即ED2＝EP•EB，故④正确； ∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB， ∴△PDE∽△DBE，故③正确； ∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°， ∴∠BPD＝135°，故②正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理． 二．填空题（每小题5分，共20分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 12. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BO，再利用30°的直角三角形的性质得到CO，再利用勾股定理求出DO，相减可得BD． 【详解】解：由题意知： AB=CD=4，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∠DCO=60°， ∴AO=BO， 在△AOB中，， 解得：AO=BO=， ∵∠DCO=60°， ∴∠CDO=30°， ∴CO=CD=2， ∴DO=, ∴BD=DO-BO=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解实际情境，灵活运用勾股定理． 13. 如图，Rt中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO，S△AOC，根据相似三角形的性质得到（）26，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D， 则∠BDO＝∠ACO＝90°， ∵顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上， ∴S△BDO，S△AOC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∴△BDO∽△OCA， ∴（）26， ∴， ∴tan∠BAO， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 14. 若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1）________； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）将代入即可求解； （2）结合图象分别求出直线经过，两点时，经过，两点时，经过，两点时，n的值即可解答． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）得，二次函数解析式为， 令，则，二次函数与y轴交点坐标为， 令，则， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像有两个交点， 当直线经过，两点时， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得：， 故此时直线的解析式为， 令，则， 即，，此时，直线与的图像只有一个交点， ∵， ∴顶点坐标为， 根据图象可得，当直线经过，两点时，直线与图像只有一个交点， 此时直线的解析式为， 故，； 综上，根据图象可得：当，直线与的图像只有一个交点时，或， 故答案为：或． 三．解答题（共 90 分） 15. 某抛物线经过点，，，求此抛物线的函数关系式并写出它的顶点和对称轴． 【答案】，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求函数解析式，设设抛物线的函数关系式为，将，，代入得方程组，解方程组即可得抛物线的函数关系式，再将解析式写成顶点式即可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解：设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：． ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【小问1详解】 解：如图1，点为所作，， 【小问2详解】 解：如图2，为所作． 17. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 【答案】该桨轮船的轮子直径为10m 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，本题先表示m，求解m，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：设半径为rm，则m， ∴m． ∵m，， ∴m． 在中有，即， 解得m 则该桨轮船的轮子直径为10m． 18. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为．求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】飞船从A处到B处的平均速度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题、含30度角的直角三角形的性、勾股定理等知识点，正确运算三角函数解决时间问题是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后在中解直角三角形求得，进而求得，最后根据速度、时间和路程的关系解答即可． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴飞船从A处到B处的平均速度． 答：飞船从A处到B处的平均速度约为． 19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 【答案】（1）见解析; （2）5 【解析】 【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1＝∠P，根据可以确定∠C＝∠P，又知∠1＝∠C，即可得∠1＝∠P； （2）根据题意可知∠P＝∠CAB，则sin∠CAB＝，即，所以可以求得圆的直径． 【详解】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C， ∴∠1=∠P.∴CB∥PD. （2）连接AC， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. 又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB. ∴sin∠CAB=sin∠P =，即. 又∵BC=3，∴AB=5. ∴⊙O的直径为5. 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】（1），不能 （2）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得；当时，，知球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入即可． 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得：（舍去）或． ∴当时他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点O正上方处． 21. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围； （2）若点A的坐标是，且，求m的值和一次函数的解析式； （3）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，求反比例函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由反比例函数图象位于第四象限，得出，则，即可作答． （2）先求出反比例函数解析式为，再根据，则，解出，得出点B的坐标是，最后运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （3）运用数形结合思想，根据已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，且点B的坐标是，点，根据，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，反比例函数图象位于第四象限， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴ 解得，则 ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 设点B的坐标为， 则点B到x轴的距离为，点A到x轴的距离为4， ∴， 解得， ∴ 解得， ∴点B的坐标是， 设这个一次函数的解析式为， ∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点， ∴， 解得 ， ∴一次函数的解析式是． 【小问3详解】 解：由图象得，当时，不等式， 则x的取值范围是或 22. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． （1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）能，当时，四边形能构成矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，可证，得到，即可得到，令，得到，可得； （2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可． 小问1详解】 解：：∵， ， ， ， ， ，， ， ； 设， ∴， ，， 设， ， ； 令，则， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：当四边形为矩形时，，即， 则， 解得， (舍)，， ∴当时，四边形能构成矩形． 23. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、点F分别是AB、AC上的点，与EF交于点P． （1）如图1，若∠AFE＝∠B，求证：AP•AB＝AD•AF； （2）在（1）的条件下，若，AB＝12，点E为AB的中点，求AC的长； （3）如图2，连接BP，若EF⊥AD，BP平分∠ABC，BE＝5，CF＝2.求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9；（3） 【解析】 【分析】（1）证明再利用相似三角形的性质可得结论； （2）先求解 再利用 求解 再证明 再利用相似三角形的性质可得答案； （3）如图，连接 分别平分 证明 可得 再利用相似三角形的性质列方程求解即可. 【详解】证明：（1） AD平分∠BAC， AP•AB＝AD•AF. （2）为的中点， 由（1）可知 （3）如图，连接 分别平分 平分 平分 同理： 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟练的确定需要的两个三角形，再证明这两个三角形相似是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆石化一中九年级开学随堂练习数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 由二次函数，可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 4 计算： ( ) A. 1 B. C. 2 D. 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A. AB2＝AC•BC B. BC2＝AC•BC C. AC＝BC D. BC＝AC 7. 如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　） A B. C. D. 8. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　） A 16 B. 15 C. 9 D. 7 10. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP•EB；其中正确的是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题5分，共20分） 11. 已知，则________． 12. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 13. 如图，Rt中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为______． 14. 若二次函数的图像经过，直线经过，两点． （1）________； （2）当时，直线与的图像只有一个交点，则的取值范围________． 三．解答题（共 90 分） 15. 某抛物线经过点，，，求此抛物线的函数关系式并写出它的顶点和对称轴． 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 17. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径． 18. 2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为．求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到，参考数据：，，） 19. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 21. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围； （2）若点A的坐标是，且，求m的值和一次函数的解析式； （3）请根据图象，在时，直接写出不等式的解集． 22. 如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． （1）设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 23. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、点F分别是AB、AC上点，与EF交于点P． （1）如图1，若∠AFE＝∠B，求证：AP•AB＝AD•AF； （2）在（1）的条件下，若，AB＝12，点E为AB的中点，求AC的长； （3）如图2，连接BP，若EF⊥AD，BP平分∠ABC，BE＝5，CF＝2.求EF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$