专题04 分式与分式方程中含参数问的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题04 分式与分式方程中含参数问的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 2 类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值 3 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 4 类型四、根据分式方程增根问题求参数 6 类型五、根据分式方程无解问题求参数 7 类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值 9 压轴能力测评（20题） 12 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 压轴题型讲练 类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若分式的值是整数，则满足条件的整数m的个数有 个． 【变式训练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【变式训练2】（2023·山西吕梁·模拟预测）若，其中a，b为常数，则 ． 类型四、根据分式方程增根问题求参数 例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ． 类型五、根据分式方程无解问题求参数 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式训练1】（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 【变式训练1】（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 【变式训练3】（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 4．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）对于分式的值，下列说法错误的是（    ） A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数 C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 5．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若分式的值为整数，则正整数 ． 8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若关于x的分式方程无解，则实数 ． 10．（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 13．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 15．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 16．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式与分式方程中含参数问的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 2 类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值 3 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 4 类型四、根据分式方程增根问题求参数 6 类型五、根据分式方程无解问题求参数 7 类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值 9 压轴能力测评（20题） 12 解题知识必备 1.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 2.分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 压轴题型讲练 类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为正数， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若分式的值是整数，则满足条件的整数m的个数有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握，即可解题.首先根据题意判断出分式的整数值，然后求出m的值即可. 【详解】解：分式的值是整数， 或， 解得或或或， ∴满足条件的整数m的个数有4个， 故答案为：4. 【变式训练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 【变式训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 【变式训练2】（2023·山西吕梁·模拟预测）若，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 类型四、根据分式方程增根问题求参数 例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查解分式方程，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵原方程有增根，     ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得． 故答案为：3． 【变式训练1】（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为，求出的值，然后把分式方程化为整式方程，再将的值代入整式方程，解关于的方程即可． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得：， 增根是， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：， 解得：， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得，可求出m的值． 【详解】， 去分母，得， 解得． ∵原方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 类型五、根据分式方程无解问题求参数 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值． 【详解】解：， 去分母得，，整理得， ∵分式方程无解， ∴无解或者的解是分式方程的增根， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 【变式训练1】（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 【答案】 0 0或2 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键． （1）根据分式方程有增根的情况求解即可； （2）根据分式方程无解的情况求解即可． 【详解】解：（1）去分母得，， 方程有增根， 或， 当时，；当时，整式方程无解， 方程的增根为，的值为0， 故答案为：0；； （2）关于的方程无解， 整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解． ，， 当整式方程的解是分式方程的增根时，或， 当时，，当时，整式方程无解， 当整式方程无解时，， ，故分式方程无解时的值为0或2， 故答案为：0或2． 类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 根据题意且 ∴ ∴ ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式训练1】（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把看作常数，根据分式方程的解法求出的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵分式方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵， ∴且，解得：且， 综上可知：且， 故答案为：且． 【变式训练2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【变式训练3】（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案． 【详解】分式两边都乘以，得， 得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴的值为1或2或3， ∴所有满足条件的整数a的值为2或或， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】约分、求使分式值为整数时未知数的整数值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，代入即可求出k的值． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， 把代入， 解得：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】A 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的增根进行解答即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为 解得， 由于原方程无解，即或， ∴分式方程有增根或， ∴或 ∴， 故选：A． 4．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）对于分式的值，下列说法错误的是（    ） A．当时，该分式的值是正数 B．当且时，该分式的值是负数 C．当时，该分式的值为0 D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解． 【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意； B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意； C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意； D、当时，，为整数，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键． 5．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 移项及合并同类项，得 ， ∵分式方程的解是非负数，， ∴， 解得，且， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若分式的值为整数，则正整数 ． 【答案】2或3/3或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握有理数的整除的性质是解题的关键． 利用已知条件得到的值，进而解答即可． 【详解】解：∵分式的值是整数，m是正整数， ∴的可能值为：1，2， ∴或3． ∴正整数2或3． 故答案为： 2或3． 8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，根据原方程无解得，即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵分式方程无解， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·重庆江北·期末）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】8 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式组等知识点，掌握解分式方程、解不等式组的方法成为解题的关键． 先解不等式组，再根据关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围，然后根据范围确定出a的取值，最后相加即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴，解得：， 解方程，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，是偶数，解得且，a是偶数， ∴且，a是偶数， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：8． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程有增根的含义求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． 13．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 15．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、分式加减混合运算、加减消元法 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 16．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【知识点】分式的判断、分式的求值、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$