专题03 可化为一元一次方程的分式方程-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题03 可化为一元一次方程的分式方程的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、解分式方程 2 类型二、已知分式方程的增根求参数 5 类型三、已知分式方程的无解求参数 7 类型四、根据分式方程解的情况求值 9 类型五、列分式方程 12 类型六、分式方程的实际应用 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 压轴题型讲练 类型一、解分式方程 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）解分式方程 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）解方程： (1)； (2) 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）解方程： (1) (2) 类型二、已知分式方程的增根求参数 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程有增根，那么 ． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）若分式方程有增根，则 ． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 类型三、已知分式方程的无解求参数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 2．（18-19八年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 类型四、根据分式方程解的情况求值 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）若关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 类型五、列分式方程 例题：（24-25八年级上·全国·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山西临汾·期中）近几年，人们越来越意识到城市要想持续发展，环境的保护不得不成为我们必须重视的一个问题．“蓝天”工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，根据题意列方程得 ． 2．（2024·山东滨州·二模）某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为 ． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ． 类型六、分式方程的实际应用 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）八年级甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 植树总数 所用时间（时） 甲班 60 乙班 (1)若设甲班每小时种x棵树，利用题目中的条件填写表格； (2)列出方程（组），并求出问题的解． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·天津和平·期末）小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． (1)求这种大麻花的单价； (2)12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（） A． B． C．且 D．且 二、填空题 5．（天津市红桥区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）分式方程的解为 ． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如果关于的方程有增根，那么 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）若关于x的方程无解，则m的值 ． 8．（24-25八年级上·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·广西贵港·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（2024九年级下·山东·专题练习）《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 12．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 13．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）随着冷链需求的快速增长，和叠加政策的推动，某企业决定用万元，购进型、型新能源冷藏车各辆，已知每辆型车进价的倍比型车进价多万元． (1)型、型新能源冷藏车的进价各是多少？ (2)已知A型车的运载量是型车的运载量的，型车单独完成吨货物的运载任务所需要的数量比型车单独完成运载任务所需的数量多辆，若型车、型车共同去恰好完成吨的运载，如何安排型车、型车数量？ 14．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 可化为一元一次方程的分式方程的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、解分式方程 2 类型二、已知分式方程的增根求参数 5 类型三、已知分式方程的无解求参数 7 类型四、根据分式方程解的情况求值 9 类型五、列分式方程 12 类型六、分式方程的实际应用 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 压轴题型讲练 类型一、解分式方程 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得： 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键． （1）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时， 所以原分式方程的解为； （2）解： 方程两边同乘得： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 所以原分式方程的解是． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： 两边都乘以去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解： ∴ 两边都乘以去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根是解题的关键． （1）去分母，转化为整式方程计算即可； （2）去分母，转化为整式方程计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验是原分式方程的解； （2）解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验是增根， 原分式方程无解． 类型二、已知分式方程的增根求参数 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解题的关键，方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解： 方程两边都乘以得， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，，此时原分式方程无解，不符合题意． 所以的值为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）若分式方程有增根，则 ． 【答案】4 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可. 【详解】解： 原分式方程去掉分母可得：， 则 ∵原分式方程有增根， ∴， 即：， 将代入方程可得： ， ∴， 故答案为：4. 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．去分母后代入增根即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，原方程有增根，那么或，即 将代入，可得 解得 故答案为：． 类型三、已知分式方程的无解求参数 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故答案为：1或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，先根据解分式方程的一般步骤求出整式方程的解，再根据分式方程无解，求出答案．根据解分式方程的一般步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得的值． 【详解】解：∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， ∴， 经检验是方程的解； 故答案为：或． 2．（18-19八年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【详解】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程．根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， 等式两边同时乘以得， ， 去括号得，， 移项得， ， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵分式方程无解，即或或， 即或或， ∴，解得，， ，解得，， 综上所述，的值为或或， 故答案为： 或或． 类型四、根据分式方程解的情况求值 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式训练】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程可得，结合题意得出，，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，， ∴且， 故答案为：且． 2．（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数、有理数加法运算 【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求参数，有理数的加法，先求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解可得，再解分式方程，根据分式方程有非负数解得，即得，再根据得出满足条件的整数的值即可求解，根据不等式组和分式方程解的情况求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 分式方程去分母得，， ∴， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴满足条件的所有整数为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）若关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据至少有两个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵分式方程解为整数，a为整数，， ∴或或1或3， ∴或（舍去）或或1， ∵， ∴或1， ∴． 故答案为：． 类型五、列分式方程 例题：（24-25八年级上·全国·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据题意得： ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山西临汾·期中）近几年，人们越来越意识到城市要想持续发展，环境的保护不得不成为我们必须重视的一个问题．“蓝天”工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，根据题意列方程得 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意是解题的关键．由原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，利用结果提前30天完成了这一任务，再建立方程即可； 【详解】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， ∴实际工作时每天绿化的面积为万平方米． 依题意，得：， 故答案为：． 2．（2024·山东滨州·二模）某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程，根据题意找出等量关系是解题关键．根据机器台数不变，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件列方程即可． 【详解】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品， ∵机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件， ∴， 故答案为： 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 原计划速度为，则实际速度为，根据时间路程速度结合实际比原计划提前到达，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 类型六、分式方程的实际应用 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）八年级甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 植树总数 所用时间（时） 甲班 60 乙班 (1)若设甲班每小时种x棵树，利用题目中的条件填写表格； (2)列出方程（组），并求出问题的解． 【答案】(1)、66、 (2)甲：20棵，乙：22棵 【知识点】按要求构造分式、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树，则甲班所用时间为小时，由乙班种66棵树，得乙班所用时间为小时即可； （2）由题意：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树， ∴甲班所用时间为小时， ∵乙班种66棵树， ∴乙班所用时间为小时， 故答案为：、66、； （2）由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树． 故答案为：甲：20棵，乙：22棵 【变式训练】 1．（24-25八年级上·天津和平·期末）小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒． (1)求这种大麻花的单价； (2)12月，这种大麻花的单价降至元／盒，两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小． 【答案】(1)这种大麻花的单价为15元盒 (2)小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等 【知识点】分式方程的其它实际问题、分式乘除混合运算、分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设这种大麻花的单价为元盒，根据小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒，列出方程，解方程即可； （2）先求出小天的平均单价为：元，小津的平均单价为：元，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：设这种大麻花的单价为元盒，由题意得， ， 方程两边乘，得 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：这种大麻花的单价为15元盒． （2）解：由题意得：小天两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， 小津两次一共购进的大麻花的数量为： 盒， ∴小天的平均单价为：元， 小津的平均单价为：元． 即． ∴小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价相等． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进、两种机器处理垃圾．其中型机器每天比型机器少处理吨垃圾，且型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同． (1)求、两种机器每天各处理垃圾多少吨？ (2)现有吨垃圾需要处理，若型机器每天维护所需费用为元，型机器每天维护所需费用为元，那么在总维护费用不超过元的情况下，至多安排型机器工作多少天？ 【答案】(1)型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． (2)至多安排型机器工作天． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，根据型机器处理吨垃圾与型机器处理吨垃圾所需天数相同列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设型机器人工作天，由题意列出不等式组，为整数，求出的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）解：设型机器人每天处理的重量为吨，则型机器人每天处理的重量为吨，由题意列方程为： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则， ∴型机器人每天处理的重量为吨，型机器人每天处理的重量为吨． （2）解：设型机器人工作天，型机器人工作天， 由题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴最小为， 将代入中，解得工作天数约为，总费用为：，符合题意， ∴至多安排型机器工作天． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)，，“丰收号” (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式方程的其它实际问题 【分析】（）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解； 本题考查了分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收号”小麦试验田的单位面积产量为 ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴单位面积产量高的是“丰收号”， 故答案为：，，“丰收号”； （2）解：由题意可得， ， 方程两边同乘得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的边长为． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）分式方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，求出分式方程的解即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于0．先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数建立不等式求的取值范围． 【详解】解：去分母得，， 解得，， 方程的解是正数， 解这个不等式得，， ， 则的取值范围是． 故选：B． 二、填空题 5．（天津市红桥区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如果关于的方程有增根，那么 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将方程化为整式方程得：，再将增根代入即可得到答案． 【详解】解：将方程化为整式方程得：， 原方程有增根， ，即， 把代入得： ， 解得； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·期末）若关于x的方程无解，则m的值 ． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解方程得，，由方程无解可得，计算求解即可． 【详解】解：， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得，， 故答案为：1 8．（24-25八年级上·青海果洛·期末）定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·广西贵港·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是方程的解 (2)原分式方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程， 对于（1），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验即可； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， 化简得：， 解得． 经检验，当时，， ∴是方程的解； （2）解：方程两边同时乘以，得 化简得， 解得． 经检验，当时，， ∴原分式方程无解． 10．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握因式分解，将分式方程转换为整式方程求解的方法，检验根是否符合题意是解题的关键． （1）运用因式分解确定分式的公分母，将分式方程转换为整式方程得到，解一元一次方程，检验根的情况即可求解； （2）将分式方程转换为整式方程，求解，检验根即可求解． 【详解】（1）解：, 原方程可化为 方程两边同乘，得， 解得，， 检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解： 等式两边都乘以得，， ∴， 解得，， 当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 11．（2024九年级下·山东·专题练习）《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 【答案】《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了解分式方程的应用；设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据等量关系：用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，列出分式方程即可求解；根据等量关系列出方程是解题的关键，注意解分式方程要检验． 【详解】解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意，得， 解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以（元）． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元． 12．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【知识点】等式的性质、解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 13．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）随着冷链需求的快速增长，和叠加政策的推动，某企业决定用万元，购进型、型新能源冷藏车各辆，已知每辆型车进价的倍比型车进价多万元． (1)型、型新能源冷藏车的进价各是多少？ (2)已知A型车的运载量是型车的运载量的，型车单独完成吨货物的运载任务所需要的数量比型车单独完成运载任务所需的数量多辆，若型车、型车共同去恰好完成吨的运载，如何安排型车、型车数量？ 【答案】(1)型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元 (2)安排型车辆，型车辆 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的工程问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，分式方程的应用； （1）设型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型车的运载量为吨，则型车的运载量为吨，根据题意，列出分式方程，解方程得出，并检验，进而设安排型车辆，型车辆，根据，都是正整数，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元，根据题意得， ， 解得：， 答：型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元 （2）解：设型车的运载量为吨，则型车的运载量为吨，根据题意， ， 解得：，经检验是原方程的解； ∴型车的运载量为吨，型车的运载量为吨； 设安排型车辆，型车辆， ∴ ∴ ∵，都是正整数， ∴， 答：安排型车辆，型车辆． 14．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 15．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$